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analysis.special_functions.pow

Power function on , , ℝ≥0, and ℝ≥0∞ #

We construct the power functions x ^ y where

We also prove basic properties of these functions.

noncomputable def complex.cpow (x y : ) :

The complex power function x^y, given by x^y = exp(y log x) (where log is the principal determination of the logarithm), unless x = 0 where one sets 0^0 = 1 and 0^y = 0 for y ≠ 0.

Equations
@[protected, instance]
noncomputable def complex.has_pow  :
Equations
@[simp]
theorem complex.cpow_eq_pow (x y : ) :
x.cpow y = x ^ y
theorem complex.cpow_def (x y : ) :
x ^ y = ite (x = 0) (ite (y = 0) 1 0) (complex.exp (complex.log x * y))
theorem complex.cpow_def_of_ne_zero {x : } (hx : x 0) (y : ) :
@[simp]
theorem complex.cpow_zero (x : ) :
x ^ 0 = 1
@[simp]
theorem complex.cpow_eq_zero_iff (x y : ) :
x ^ y = 0 x = 0 y 0
@[simp]
theorem complex.zero_cpow {x : } (h : x 0) :
0 ^ x = 0
theorem complex.zero_cpow_eq_iff {x a : } :
0 ^ x = a x 0 a = 0 x = 0 a = 1
theorem complex.eq_zero_cpow_iff {x a : } :
a = 0 ^ x x 0 a = 0 x = 0 a = 1
@[simp]
theorem complex.cpow_one (x : ) :
x ^ 1 = x
@[simp]
theorem complex.one_cpow (x : ) :
1 ^ x = 1
theorem complex.cpow_add {x : } (y z : ) (hx : x 0) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem complex.cpow_mul {x y : } (z : ) (h₁ : -real.pi < (complex.log x * y).im) (h₂ : (complex.log x * y).im real.pi) :
x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
theorem complex.cpow_neg (x y : ) :
x ^ -y = (x ^ y)⁻¹
theorem complex.cpow_sub {x : } (y z : ) (hx : x 0) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem complex.cpow_neg_one (x : ) :
x ^ -1 = x⁻¹
@[simp, norm_cast]
theorem complex.cpow_nat_cast (x : ) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
@[simp]
theorem complex.cpow_two (x : ) :
x ^ 2 = x ^ 2
@[simp, norm_cast]
theorem complex.cpow_int_cast (x : ) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
theorem complex.cpow_nat_inv_pow (x : ) {n : } (hn : 0 < n) :
(x ^ (n)⁻¹) ^ n = x
theorem zero_cpow_eq_nhds {b : } (hb : b 0) :
theorem cpow_eq_nhds {a b : } (ha : a 0) :
(λ (x : ), x.cpow b) =ᶠ[nhds a] λ (x : ), complex.exp (complex.log x * b)
theorem cpow_eq_nhds' {p : × } (hp_fst : p.fst 0) :
(λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) =ᶠ[nhds p] λ (x : × ), complex.exp (complex.log x.fst * x.snd)
theorem continuous_at_const_cpow {a b : } (ha : a 0) :
theorem continuous_at_const_cpow' {a b : } (h : b 0) :
theorem continuous_at_cpow {p : × } (hp_fst : 0 < p.fst.re p.fst.im 0) :
continuous_at (λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) p

The function z ^ w is continuous in (z, w) provided that z does not belong to the interval (-∞, 0] on the real line. See also complex.continuous_at_cpow_zero_of_re_pos for a version that works for z = 0 but assumes 0 < re w.

theorem continuous_at_cpow_const {a b : } (ha : 0 < a.re a.im 0) :
continuous_at (λ (x : ), x.cpow b) a
theorem filter.tendsto.cpow {α : Type u_1} {l : filter α} {f g : α → } {a b : } (hf : filter.tendsto f l (nhds a)) (hg : filter.tendsto g l (nhds b)) (ha : 0 < a.re a.im 0) :
filter.tendsto (λ (x : α), f x ^ g x) l (nhds (a ^ b))
theorem filter.tendsto.const_cpow {α : Type u_1} {l : filter α} {f : α → } {a b : } (hf : filter.tendsto f l (nhds b)) (h : a 0 b 0) :
filter.tendsto (λ (x : α), a ^ f x) l (nhds (a ^ b))
theorem continuous_within_at.cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {s : set α} {a : α} (hf : continuous_within_at f s a) (hg : continuous_within_at g s a) (h0 : 0 < (f a).re (f a).im 0) :
continuous_within_at (λ (x : α), f x ^ g x) s a
theorem continuous_within_at.const_cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {s : set α} {a : α} {b : } (hf : continuous_within_at f s a) (h : b 0 f a 0) :
continuous_within_at (λ (x : α), b ^ f x) s a
theorem continuous_at.cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {a : α} (hf : continuous_at f a) (hg : continuous_at g a) (h0 : 0 < (f a).re (f a).im 0) :
continuous_at (λ (x : α), f x ^ g x) a
theorem continuous_at.const_cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {a : α} {b : } (hf : continuous_at f a) (h : b 0 f a 0) :
continuous_at (λ (x : α), b ^ f x) a
theorem continuous_on.cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {s : set α} (hf : continuous_on f s) (hg : continuous_on g s) (h0 : ∀ (a : α), a s0 < (f a).re (f a).im 0) :
continuous_on (λ (x : α), f x ^ g x) s
theorem continuous_on.const_cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {s : set α} {b : } (hf : continuous_on f s) (h : b 0 ∀ (a : α), a sf a 0) :
continuous_on (λ (x : α), b ^ f x) s
theorem continuous.cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } (hf : continuous f) (hg : continuous g) (h0 : ∀ (a : α), 0 < (f a).re (f a).im 0) :
continuous (λ (x : α), f x ^ g x)
theorem continuous.const_cpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {b : } (hf : continuous f) (h : b 0 ∀ (a : α), f a 0) :
continuous (λ (x : α), b ^ f x)
theorem continuous_on.cpow_const {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {s : set α} {b : } (hf : continuous_on f s) (h : ∀ (a : α), a s0 < (f a).re (f a).im 0) :
continuous_on (λ (x : α), f x ^ b) s
noncomputable def real.rpow (x y : ) :

The real power function x^y, defined as the real part of the complex power function. For x > 0, it is equal to exp(y log x). For x = 0, one sets 0^0=1 and 0^y=0 for y ≠ 0. For x < 0, the definition is somewhat arbitary as it depends on the choice of a complex determination of the logarithm. With our conventions, it is equal to exp (y log x) cos (πy).

Equations
@[protected, instance]
noncomputable def real.has_pow  :
Equations
@[simp]
theorem real.rpow_eq_pow (x y : ) :
x.rpow y = x ^ y
theorem real.rpow_def (x y : ) :
x ^ y = (x ^ y).re
theorem real.rpow_def_of_nonneg {x : } (hx : 0 x) (y : ) :
x ^ y = ite (x = 0) (ite (y = 0) 1 0) (real.exp (real.log x * y))
theorem real.rpow_def_of_pos {x : } (hx : 0 < x) (y : ) :
x ^ y = real.exp (real.log x * y)
theorem real.exp_mul (x y : ) :
real.exp (x * y) = real.exp x ^ y
theorem real.rpow_eq_zero_iff_of_nonneg {x y : } (hx : 0 x) :
x ^ y = 0 x = 0 y 0
theorem real.rpow_def_of_neg {x : } (hx : x < 0) (y : ) :
theorem real.rpow_def_of_nonpos {x : } (hx : x 0) (y : ) :
x ^ y = ite (x = 0) (ite (y = 0) 1 0) (real.exp (real.log x * y) * real.cos (y * real.pi))
theorem real.rpow_pos_of_pos {x : } (hx : 0 < x) (y : ) :
0 < x ^ y
@[simp]
theorem real.rpow_zero (x : ) :
x ^ 0 = 1
@[simp]
theorem real.zero_rpow {x : } (h : x 0) :
0 ^ x = 0
theorem real.zero_rpow_eq_iff {x a : } :
0 ^ x = a x 0 a = 0 x = 0 a = 1
theorem real.eq_zero_rpow_iff {x a : } :
a = 0 ^ x x 0 a = 0 x = 0 a = 1
@[simp]
theorem real.rpow_one (x : ) :
x ^ 1 = x
@[simp]
theorem real.one_rpow (x : ) :
1 ^ x = 1
theorem real.zero_rpow_le_one (x : ) :
0 ^ x 1
theorem real.zero_rpow_nonneg (x : ) :
0 0 ^ x
theorem real.rpow_nonneg_of_nonneg {x : } (hx : 0 x) (y : ) :
0 x ^ y
theorem real.abs_rpow_of_nonneg {x y : } (hx_nonneg : 0 x) :
|x ^ y| = |x| ^ y
theorem real.abs_rpow_le_abs_rpow (x y : ) :
|x ^ y| |x| ^ y
theorem real.norm_rpow_of_nonneg {x y : } (hx_nonneg : 0 x) :
x ^ y = x ^ y
theorem complex.of_real_cpow {x : } (hx : 0 x) (y : ) :
(x ^ y) = x ^ y
theorem complex.of_real_cpow_of_nonpos {x : } (hx : x 0) (y : ) :
theorem complex.abs_cpow_of_ne_zero {z : } (hz : z 0) (w : ) :
theorem complex.abs_cpow_le (z w : ) :
@[simp]
theorem complex.abs_cpow_real (x : ) (y : ) :
@[simp]
theorem complex.abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos {x : } (hx : 0 < x) (y : ) :
complex.abs (x ^ y) = x ^ y.re
theorem complex.abs_cpow_eq_rpow_re_of_nonneg {x : } (hx : 0 x) {y : } (hy : y.re 0) :
complex.abs (x ^ y) = x ^ y.re
theorem real.rpow_add {x : } (hx : 0 < x) (y z : ) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem real.rpow_add' {x y z : } (hx : 0 x) (h : y + z 0) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem real.rpow_add_of_nonneg {x y z : } (hx : 0 x) (hy : 0 y) (hz : 0 z) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem real.le_rpow_add {x : } (hx : 0 x) (y z : ) :
x ^ y * x ^ z x ^ (y + z)

For 0 ≤ x, the only problematic case in the equality x ^ y * x ^ z = x ^ (y + z) is for x = 0 and y + z = 0, where the right hand side is 1 while the left hand side can vanish. The inequality is always true, though, and given in this lemma.

theorem real.rpow_sum_of_pos {ι : Type u_1} {a : } (ha : 0 < a) (f : ι → ) (s : finset ι) :
a ^ s.sum (λ (x : ι), f x) = s.prod (λ (x : ι), a ^ f x)
theorem real.rpow_sum_of_nonneg {ι : Type u_1} {a : } (ha : 0 a) {s : finset ι} {f : ι → } (h : ∀ (x : ι), x s0 f x) :
a ^ s.sum (λ (x : ι), f x) = s.prod (λ (x : ι), a ^ f x)
theorem real.rpow_mul {x : } (hx : 0 x) (y z : ) :
x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
theorem real.rpow_neg {x : } (hx : 0 x) (y : ) :
x ^ -y = (x ^ y)⁻¹
theorem real.rpow_sub {x : } (hx : 0 < x) (y z : ) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem real.rpow_sub' {x : } (hx : 0 x) {y z : } (h : y - z 0) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem real.rpow_add_int {x : } (hx : x 0) (y : ) (n : ) :
x ^ (y + n) = x ^ y * x ^ n
theorem real.rpow_add_nat {x : } (hx : x 0) (y : ) (n : ) :
x ^ (y + n) = x ^ y * x ^ n
theorem real.rpow_sub_int {x : } (hx : x 0) (y : ) (n : ) :
x ^ (y - n) = x ^ y / x ^ n
theorem real.rpow_sub_nat {x : } (hx : x 0) (y : ) (n : ) :
x ^ (y - n) = x ^ y / x ^ n
theorem real.rpow_add_one {x : } (hx : x 0) (y : ) :
x ^ (y + 1) = x ^ y * x
theorem real.rpow_sub_one {x : } (hx : x 0) (y : ) :
x ^ (y - 1) = x ^ y / x
@[simp, norm_cast]
theorem real.rpow_int_cast (x : ) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
@[simp, norm_cast]
theorem real.rpow_nat_cast (x : ) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
@[simp]
theorem real.rpow_two (x : ) :
x ^ 2 = x ^ 2
theorem real.rpow_neg_one (x : ) :
x ^ -1 = x⁻¹
theorem real.mul_rpow {x y z : } (h : 0 x) (h₁ : 0 y) :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
theorem real.inv_rpow {x : } (hx : 0 x) (y : ) :
x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
theorem real.div_rpow {x y : } (hx : 0 x) (hy : 0 y) (z : ) :
(x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
theorem real.log_rpow {x : } (hx : 0 < x) (y : ) :
real.log (x ^ y) = y * real.log x
theorem real.rpow_lt_rpow {x y z : } (hx : 0 x) (hxy : x < y) (hz : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z
theorem real.rpow_le_rpow {x y z : } (h : 0 x) (h₁ : x y) (h₂ : 0 z) :
x ^ z y ^ z
theorem real.rpow_lt_rpow_iff {x y z : } (hx : 0 x) (hy : 0 y) (hz : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z x < y
theorem real.rpow_le_rpow_iff {x y z : } (hx : 0 x) (hy : 0 y) (hz : 0 < z) :
x ^ z y ^ z x y
theorem real.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt {x y z : } (hx : 1 < x) (hyz : y < z) :
x ^ y < x ^ z
theorem real.rpow_le_rpow_of_exponent_le {x y z : } (hx : 1 x) (hyz : y z) :
x ^ y x ^ z
@[simp]
theorem real.rpow_le_rpow_left_iff {x y z : } (hx : 1 < x) :
x ^ y x ^ z y z
@[simp]
theorem real.rpow_lt_rpow_left_iff {x y z : } (hx : 1 < x) :
x ^ y < x ^ z y < z
theorem real.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt {x y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y) :
x ^ y < x ^ z
theorem real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge {x y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x 1) (hyz : z y) :
x ^ y x ^ z
@[simp]
theorem real.rpow_le_rpow_left_iff_of_base_lt_one {x y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) :
x ^ y x ^ z z y
@[simp]
theorem real.rpow_lt_rpow_left_iff_of_base_lt_one {x y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) :
x ^ y < x ^ z z < y
theorem real.rpow_lt_one {x z : } (hx1 : 0 x) (hx2 : x < 1) (hz : 0 < z) :
x ^ z < 1
theorem real.rpow_le_one {x z : } (hx1 : 0 x) (hx2 : x 1) (hz : 0 z) :
x ^ z 1
theorem real.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg {x z : } (hx : 1 < x) (hz : z < 0) :
x ^ z < 1
theorem real.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos {x z : } (hx : 1 x) (hz : z 0) :
x ^ z 1
theorem real.one_lt_rpow {x z : } (hx : 1 < x) (hz : 0 < z) :
1 < x ^ z
theorem real.one_le_rpow {x z : } (hx : 1 x) (hz : 0 z) :
1 x ^ z
theorem real.one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg {x z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0) :
1 < x ^ z
theorem real.one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos {x z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x 1) (hz : z 0) :
1 x ^ z
theorem real.rpow_lt_one_iff_of_pos {x y : } (hx : 0 < x) :
x ^ y < 1 1 < x y < 0 x < 1 0 < y
theorem real.rpow_lt_one_iff {x y : } (hx : 0 x) :
x ^ y < 1 x = 0 y 0 1 < x y < 0 x < 1 0 < y
theorem real.one_lt_rpow_iff_of_pos {x y : } (hx : 0 < x) :
1 < x ^ y 1 < x 0 < y x < 1 y < 0
theorem real.one_lt_rpow_iff {x y : } (hx : 0 x) :
1 < x ^ y 1 < x 0 < y 0 < x x < 1 y < 0
theorem real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge' {x y z : } (hx0 : 0 x) (hx1 : x 1) (hz : 0 z) (hyz : z y) :
x ^ y x ^ z
theorem real.rpow_left_inj_on {x : } (hx : x 0) :
set.inj_on (λ (y : ), y ^ x) {y : | 0 y}
theorem real.le_rpow_iff_log_le {x y z : } (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) :
x y ^ z real.log x z * real.log y
theorem real.le_rpow_of_log_le {x y z : } (hx : 0 x) (hy : 0 < y) (h : real.log x z * real.log y) :
x y ^ z
theorem real.lt_rpow_iff_log_lt {x y z : } (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) :
x < y ^ z real.log x < z * real.log y
theorem real.lt_rpow_of_log_lt {x y z : } (hx : 0 x) (hy : 0 < y) (h : real.log x < z * real.log y) :
x < y ^ z
theorem real.rpow_le_one_iff_of_pos {x y : } (hx : 0 < x) :
x ^ y 1 1 x y 0 x 1 0 y
theorem real.abs_log_mul_self_rpow_lt (x t : ) (h1 : 0 < x) (h2 : x 1) (ht : 0 < t) :
|real.log x * x ^ t| < 1 / t

Bound for |log x * x ^ t| in the interval (0, 1], for positive real t.

theorem real.pow_nat_rpow_nat_inv {x : } (hx : 0 x) {n : } (hn : 0 < n) :
(x ^ n) ^ (n)⁻¹ = x
theorem real.rpow_nat_inv_pow_nat {x : } (hx : 0 x) {n : } (hn : 0 < n) :
(x ^ (n)⁻¹) ^ n = x
theorem real.continuous_at_const_rpow {a b : } (h : a 0) :
theorem real.continuous_at_const_rpow' {a b : } (h : b 0) :
theorem real.rpow_eq_nhds_of_neg {p : × } (hp_fst : p.fst < 0) :
(λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) =ᶠ[nhds p] λ (x : × ), real.exp (real.log x.fst * x.snd) * real.cos (x.snd * real.pi)
theorem real.rpow_eq_nhds_of_pos {p : × } (hp_fst : 0 < p.fst) :
(λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) =ᶠ[nhds p] λ (x : × ), real.exp (real.log x.fst * x.snd)
theorem real.continuous_at_rpow_of_ne (p : × ) (hp : p.fst 0) :
continuous_at (λ (p : × ), p.fst ^ p.snd) p
theorem real.continuous_at_rpow_of_pos (p : × ) (hp : 0 < p.snd) :
continuous_at (λ (p : × ), p.fst ^ p.snd) p
theorem real.continuous_at_rpow (p : × ) (h : p.fst 0 0 < p.snd) :
continuous_at (λ (p : × ), p.fst ^ p.snd) p
theorem filter.tendsto.rpow {α : Type u_1} {l : filter α} {f g : α → } {x y : } (hf : filter.tendsto f l (nhds x)) (hg : filter.tendsto g l (nhds y)) (h : x 0 0 < y) :
filter.tendsto (λ (t : α), f t ^ g t) l (nhds (x ^ y))
theorem filter.tendsto.rpow_const {α : Type u_1} {l : filter α} {f : α → } {x p : } (hf : filter.tendsto f l (nhds x)) (h : x 0 0 p) :
filter.tendsto (λ (a : α), f a ^ p) l (nhds (x ^ p))
theorem continuous_at.rpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {x : α} (hf : continuous_at f x) (hg : continuous_at g x) (h : f x 0 0 < g x) :
continuous_at (λ (t : α), f t ^ g t) x
theorem continuous_within_at.rpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {s : set α} {x : α} (hf : continuous_within_at f s x) (hg : continuous_within_at g s x) (h : f x 0 0 < g x) :
continuous_within_at (λ (t : α), f t ^ g t) s x
theorem continuous_on.rpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } {s : set α} (hf : continuous_on f s) (hg : continuous_on g s) (h : ∀ (x : α), x sf x 0 0 < g x) :
continuous_on (λ (t : α), f t ^ g t) s
theorem continuous.rpow {α : Type u_1} [topological_space α] {f g : α → } (hf : continuous f) (hg : continuous g) (h : ∀ (x : α), f x 0 0 < g x) :
continuous (λ (x : α), f x ^ g x)
theorem continuous_within_at.rpow_const {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {s : set α} {x : α} {p : } (hf : continuous_within_at f s x) (h : f x 0 0 p) :
continuous_within_at (λ (x : α), f x ^ p) s x
theorem continuous_at.rpow_const {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {x : α} {p : } (hf : continuous_at f x) (h : f x 0 0 p) :
continuous_at (λ (x : α), f x ^ p) x
theorem continuous_on.rpow_const {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {s : set α} {p : } (hf : continuous_on f s) (h : ∀ (x : α), x sf x 0 0 p) :
continuous_on (λ (x : α), f x ^ p) s
theorem continuous.rpow_const {α : Type u_1} [topological_space α] {f : α → } {p : } (hf : continuous f) (h : ∀ (x : α), f x 0 0 p) :
continuous (λ (x : α), f x ^ p)
theorem real.sqrt_eq_rpow (x : ) :
real.sqrt x = x ^ (1 / 2)
theorem tendsto_rpow_at_top {y : } (hy : 0 < y) :

The function x ^ y tends to +∞ at +∞ for any positive real y.

theorem tendsto_rpow_neg_at_top {y : } (hy : 0 < y) :
filter.tendsto (λ (x : ), x ^ -y) filter.at_top (nhds 0)

The function x ^ (-y) tends to 0 at +∞ for any positive real y.

theorem tendsto_rpow_div_mul_add (a b c : ) (hb : 0 b) :
filter.tendsto (λ (x : ), x ^ (a / (b * x + c))) filter.at_top (nhds 1)

The function x ^ (a / (b * x + c)) tends to 1 at +∞, for any real numbers a, b, and c such that b is nonzero.

theorem tendsto_rpow_div  :
filter.tendsto (λ (x : ), x ^ (1 / x)) filter.at_top (nhds 1)

The function x ^ (1 / x) tends to 1 at +∞.

theorem tendsto_rpow_neg_div  :
filter.tendsto (λ (x : ), x ^ ((-1) / x)) filter.at_top (nhds 1)

The function x ^ (-1 / x) tends to 1 at +∞.

The function exp(x) / x ^ s tends to +∞ at +∞, for any real number s.

theorem tendsto_exp_mul_div_rpow_at_top (s b : ) (hb : 0 < b) :

The function exp (b * x) / x ^ s tends to +∞ at +∞, for any real s and b > 0.

theorem tendsto_rpow_mul_exp_neg_mul_at_top_nhds_0 (s b : ) (hb : 0 < b) :
filter.tendsto (λ (x : ), x ^ s * real.exp (-b * x)) filter.at_top (nhds 0)

The function x ^ s * exp (-b * x) tends to 0 at +∞, for any real s and b > 0.

theorem asymptotics.is_O_with.rpow {α : Type u_1} {r c : } {l : filter α} {f g : α → } (h : asymptotics.is_O_with c l f g) (hc : 0 c) (hr : 0 r) (hg : 0 ≤ᶠ[l] g) :
asymptotics.is_O_with (c ^ r) l (λ (x : α), f x ^ r) (λ (x : α), g x ^ r)
theorem asymptotics.is_O.rpow {α : Type u_1} {r : } {l : filter α} {f g : α → } (hr : 0 r) (hg : 0 ≤ᶠ[l] g) (h : f =O[l] g) :
(λ (x : α), f x ^ r) =O[l] λ (x : α), g x ^ r
theorem asymptotics.is_o.rpow {α : Type u_1} {r : } {l : filter α} {f g : α → } (hr : 0 < r) (hg : 0 ≤ᶠ[l] g) (h : f =o[l] g) :
(λ (x : α), f x ^ r) =o[l] λ (x : α), g x ^ r
theorem is_o_rpow_exp_pos_mul_at_top (s : ) {b : } (hb : 0 < b) :
(λ (x : ), x ^ s) =o[filter.at_top] λ (x : ), real.exp (b * x)

x ^ s = o(exp(b * x)) as x → ∞ for any real s and positive b.

theorem is_o_zpow_exp_pos_mul_at_top (k : ) {b : } (hb : 0 < b) :
(λ (x : ), x ^ k) =o[filter.at_top] λ (x : ), real.exp (b * x)

x ^ k = o(exp(b * x)) as x → ∞ for any integer k and positive b.

theorem is_o_pow_exp_pos_mul_at_top (k : ) {b : } (hb : 0 < b) :
(λ (x : ), x ^ k) =o[filter.at_top] λ (x : ), real.exp (b * x)

x ^ k = o(exp(b * x)) as x → ∞ for any natural k and positive b.

theorem is_o_rpow_exp_at_top (s : ) :

x ^ s = o(exp x) as x → ∞ for any real s.

theorem is_o_log_rpow_at_top {r : } (hr : 0 < r) :
theorem is_o_log_rpow_rpow_at_top {r s : } (hr : 0 < r) (hs : 0 < s) :
(λ (x : ), real.log x ^ r) =o[filter.at_top] λ (x : ), x ^ s
theorem complex.continuous_at_cpow_zero_of_re_pos {z : } (hz : 0 < z.re) :
continuous_at (λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) (0, z)

See also complex.continuous_at_cpow and complex.continuous_at_cpow_of_re_pos.

theorem complex.continuous_at_cpow_of_re_pos {p : × } (h₁ : 0 p.fst.re p.fst.im 0) (h₂ : 0 < p.snd.re) :
continuous_at (λ (x : × ), x.fst ^ x.snd) p

See also complex.continuous_at_cpow for a version that assumes p.1 ≠ 0 but makes no assumptions about p.2.

theorem complex.continuous_at_cpow_const_of_re_pos {z w : } (hz : 0 z.re z.im 0) (hw : 0 < w.re) :
continuous_at (λ (x : ), x ^ w) z

See also complex.continuous_at_cpow_const for a version that assumes z ≠ 0 but makes no assumptions about w.

theorem complex.continuous_of_real_cpow_const {y : } (hs : 0 < y.re) :
continuous (λ (x : ), x ^ y)
noncomputable def nnreal.rpow (x : nnreal) (y : ) :

The nonnegative real power function x^y, defined for x : ℝ≥0 and y : ℝ as the restriction of the real power function. For x > 0, it is equal to exp (y log x). For x = 0, one sets 0 ^ 0 = 1 and 0 ^ y = 0 for y ≠ 0.

Equations
@[protected, instance]
noncomputable def nnreal.real.has_pow  :
Equations
@[simp]
theorem nnreal.rpow_eq_pow (x : nnreal) (y : ) :
x.rpow y = x ^ y
@[simp, norm_cast]
theorem nnreal.coe_rpow (x : nnreal) (y : ) :
(x ^ y) = x ^ y
@[simp]
theorem nnreal.rpow_zero (x : nnreal) :
x ^ 0 = 1
@[simp]
theorem nnreal.rpow_eq_zero_iff {x : nnreal} {y : } :
x ^ y = 0 x = 0 y 0
@[simp]
theorem nnreal.zero_rpow {x : } (h : x 0) :
0 ^ x = 0
@[simp]
theorem nnreal.rpow_one (x : nnreal) :
x ^ 1 = x
@[simp]
theorem nnreal.one_rpow (x : ) :
1 ^ x = 1
theorem nnreal.rpow_add {x : nnreal} (hx : x 0) (y z : ) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem nnreal.rpow_add' (x : nnreal) {y z : } (h : y + z 0) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem nnreal.rpow_mul (x : nnreal) (y z : ) :
x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
theorem nnreal.rpow_neg (x : nnreal) (y : ) :
x ^ -y = (x ^ y)⁻¹
theorem nnreal.rpow_neg_one (x : nnreal) :
x ^ -1 = x⁻¹
theorem nnreal.rpow_sub {x : nnreal} (hx : x 0) (y z : ) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem nnreal.rpow_sub' (x : nnreal) {y z : } (h : y - z 0) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem nnreal.rpow_inv_rpow_self {y : } (hy : y 0) (x : nnreal) :
(x ^ y) ^ (1 / y) = x
theorem nnreal.rpow_self_rpow_inv {y : } (hy : y 0) (x : nnreal) :
(x ^ (1 / y)) ^ y = x
theorem nnreal.inv_rpow (x : nnreal) (y : ) :
x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
theorem nnreal.div_rpow (x y : nnreal) (z : ) :
(x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
theorem nnreal.sqrt_eq_rpow (x : nnreal) :
nnreal.sqrt x = x ^ (1 / 2)
@[simp, norm_cast]
theorem nnreal.rpow_nat_cast (x : nnreal) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
@[simp]
theorem nnreal.rpow_two (x : nnreal) :
x ^ 2 = x ^ 2
theorem nnreal.mul_rpow {x y : nnreal} {z : } :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
theorem nnreal.rpow_le_rpow {x y : nnreal} {z : } (h₁ : x y) (h₂ : 0 z) :
x ^ z y ^ z
theorem nnreal.rpow_lt_rpow {x y : nnreal} {z : } (h₁ : x < y) (h₂ : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z
theorem nnreal.rpow_lt_rpow_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z x < y
theorem nnreal.rpow_le_rpow_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ z y ^ z x y
theorem nnreal.le_rpow_one_div_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x y ^ (1 / z) x ^ z y
theorem nnreal.rpow_one_div_le_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ (1 / z) y x y ^ z
theorem nnreal.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt {x : nnreal} {y z : } (hx : 1 < x) (hyz : y < z) :
x ^ y < x ^ z
theorem nnreal.rpow_le_rpow_of_exponent_le {x : nnreal} {y z : } (hx : 1 x) (hyz : y z) :
x ^ y x ^ z
theorem nnreal.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt {x : nnreal} {y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y) :
x ^ y < x ^ z
theorem nnreal.rpow_le_rpow_of_exponent_ge {x : nnreal} {y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x 1) (hyz : z y) :
x ^ y x ^ z
theorem nnreal.rpow_pos {p : } {x : nnreal} (hx_pos : 0 < x) :
0 < x ^ p
theorem nnreal.rpow_lt_one {x : nnreal} {z : } (hx1 : x < 1) (hz : 0 < z) :
x ^ z < 1
theorem nnreal.rpow_le_one {x : nnreal} {z : } (hx2 : x 1) (hz : 0 z) :
x ^ z 1
theorem nnreal.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg {x : nnreal} {z : } (hx : 1 < x) (hz : z < 0) :
x ^ z < 1
theorem nnreal.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos {x : nnreal} {z : } (hx : 1 x) (hz : z 0) :
x ^ z 1
theorem nnreal.one_lt_rpow {x : nnreal} {z : } (hx : 1 < x) (hz : 0 < z) :
1 < x ^ z
theorem nnreal.one_le_rpow {x : nnreal} {z : } (h : 1 x) (h₁ : 0 z) :
1 x ^ z
theorem nnreal.one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg {x : nnreal} {z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0) :
1 < x ^ z
theorem nnreal.one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos {x : nnreal} {z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x 1) (hz : z 0) :
1 x ^ z
theorem nnreal.rpow_le_self_of_le_one {x : nnreal} {z : } (hx : x 1) (h_one_le : 1 z) :
x ^ z x
theorem nnreal.rpow_left_injective {x : } (hx : x 0) :
function.injective (λ (y : nnreal), y ^ x)
theorem nnreal.rpow_eq_rpow_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : z 0) :
x ^ z = y ^ z x = y
theorem nnreal.rpow_left_surjective {x : } (hx : x 0) :
function.surjective (λ (y : nnreal), y ^ x)
theorem nnreal.rpow_left_bijective {x : } (hx : x 0) :
function.bijective (λ (y : nnreal), y ^ x)
theorem nnreal.eq_rpow_one_div_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : z 0) :
x = y ^ (1 / z) x ^ z = y
theorem nnreal.rpow_one_div_eq_iff {x y : nnreal} {z : } (hz : z 0) :
x ^ (1 / z) = y x = y ^ z
theorem nnreal.pow_nat_rpow_nat_inv (x : nnreal) {n : } (hn : 0 < n) :
(x ^ n) ^ (n)⁻¹ = x
theorem nnreal.rpow_nat_inv_pow_nat (x : nnreal) {n : } (hn : 0 < n) :
(x ^ (n)⁻¹) ^ n = x
theorem nnreal.continuous_at_rpow {x : nnreal} {y : } (h : x 0 0 < y) :
continuous_at (λ (p : nnreal × ), p.fst ^ p.snd) (x, y)
theorem real.to_nnreal_rpow_of_nonneg {x y : } (hx : 0 x) :
(x ^ y).to_nnreal = x.to_nnreal ^ y
theorem filter.tendsto.nnrpow {α : Type u_1} {f : filter α} {u : α → nnreal} {v : α → } {x : nnreal} {y : } (hx : filter.tendsto u f (nhds x)) (hy : filter.tendsto v f (nhds y)) (h : x 0 0 < y) :
filter.tendsto (λ (a : α), u a ^ v a) f (nhds (x ^ y))
theorem nnreal.continuous_at_rpow_const {x : nnreal} {y : } (h : x 0 0 y) :
continuous_at (λ (z : nnreal), z ^ y) x
theorem nnreal.continuous_rpow_const {y : } (h : 0 y) :
continuous (λ (x : nnreal), x ^ y)
noncomputable def ennreal.rpow  :

The real power function x^y on extended nonnegative reals, defined for x : ℝ≥0∞ and y : ℝ as the restriction of the real power function if 0 < x < ⊤, and with the natural values for 0 and (i.e., 0 ^ x = 0 for x > 0, 1 for x = 0 and for x < 0, and ⊤ ^ x = 1 / 0 ^ x).

Equations
@[protected, instance]
noncomputable def ennreal.real.has_pow  :
Equations
@[simp]
theorem ennreal.rpow_eq_pow (x : ennreal) (y : ) :
x.rpow y = x ^ y
@[simp]
theorem ennreal.rpow_zero {x : ennreal} :
x ^ 0 = 1
theorem ennreal.top_rpow_def (y : ) :
^ y = ite (0 < y) (ite (y = 0) 1 0)
@[simp]
theorem ennreal.top_rpow_of_pos {y : } (h : 0 < y) :
@[simp]
theorem ennreal.top_rpow_of_neg {y : } (h : y < 0) :
^ y = 0
@[simp]
theorem ennreal.zero_rpow_of_pos {y : } (h : 0 < y) :
0 ^ y = 0
@[simp]
theorem ennreal.zero_rpow_of_neg {y : } (h : y < 0) :
0 ^ y =
theorem ennreal.zero_rpow_def (y : ) :
0 ^ y = ite (0 < y) 0 (ite (y = 0) 1 )
@[simp]
theorem ennreal.zero_rpow_mul_self (y : ) :
0 ^ y * 0 ^ y = 0 ^ y
@[norm_cast]
theorem ennreal.coe_rpow_of_ne_zero {x : nnreal} (h : x 0) (y : ) :
x ^ y = (x ^ y)
@[norm_cast]
theorem ennreal.coe_rpow_of_nonneg (x : nnreal) {y : } (h : 0 y) :
x ^ y = (x ^ y)
theorem ennreal.coe_rpow_def (x : nnreal) (y : ) :
x ^ y = ite (x = 0 y < 0) (x ^ y)
@[simp]
theorem ennreal.rpow_one (x : ennreal) :
x ^ 1 = x
@[simp]
theorem ennreal.one_rpow (x : ) :
1 ^ x = 1
@[simp]
theorem ennreal.rpow_eq_zero_iff {x : ennreal} {y : } :
x ^ y = 0 x = 0 0 < y x = y < 0
@[simp]
theorem ennreal.rpow_eq_top_iff {x : ennreal} {y : } :
x ^ y = x = 0 y < 0 x = 0 < y
theorem ennreal.rpow_eq_top_iff_of_pos {x : ennreal} {y : } (hy : 0 < y) :
x ^ y = x =
theorem ennreal.rpow_eq_top_of_nonneg (x : ennreal) {y : } (hy0 : 0 y) :
x ^ y = x =
theorem ennreal.rpow_ne_top_of_nonneg {x : ennreal} {y : } (hy0 : 0 y) (h : x ) :
x ^ y
theorem ennreal.rpow_lt_top_of_nonneg {x : ennreal} {y : } (hy0 : 0 y) (h : x ) :
x ^ y <
theorem ennreal.rpow_add {x : ennreal} (y z : ) (hx : x 0) (h'x : x ) :
x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
theorem ennreal.rpow_neg (x : ennreal) (y : ) :
x ^ -y = (x ^ y)⁻¹
theorem ennreal.rpow_sub {x : ennreal} (y z : ) (hx : x 0) (h'x : x ) :
x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
theorem ennreal.rpow_neg_one (x : ennreal) :
x ^ -1 = x⁻¹
theorem ennreal.rpow_mul (x : ennreal) (y z : ) :
x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
@[simp, norm_cast]
theorem ennreal.rpow_nat_cast (x : ennreal) (n : ) :
x ^ n = x ^ n
@[simp]
theorem ennreal.rpow_two (x : ennreal) :
x ^ 2 = x ^ 2
theorem ennreal.mul_rpow_eq_ite (x y : ennreal) (z : ) :
(x * y) ^ z = ite ((x = 0 y = x = y = 0) z < 0) (x ^ z * y ^ z)
theorem ennreal.mul_rpow_of_ne_top {x y : ennreal} (hx : x ) (hy : y ) (z : ) :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
@[norm_cast]
theorem ennreal.coe_mul_rpow (x y : nnreal) (z : ) :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
theorem ennreal.mul_rpow_of_ne_zero {x y : ennreal} (hx : x 0) (hy : y 0) (z : ) :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
theorem ennreal.mul_rpow_of_nonneg (x y : ennreal) {z : } (hz : 0 z) :
(x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
theorem ennreal.inv_rpow (x : ennreal) (y : ) :
x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
theorem ennreal.div_rpow_of_nonneg (x y : ennreal) {z : } (hz : 0 z) :
(x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
theorem ennreal.strict_mono_rpow_of_pos {z : } (h : 0 < z) :
strict_mono (λ (x : ennreal), x ^ z)
theorem ennreal.monotone_rpow_of_nonneg {z : } (h : 0 z) :
monotone (λ (x : ennreal), x ^ z)
noncomputable def ennreal.order_iso_rpow (y : ) (hy : 0 < y) :

Bundles λ x : ℝ≥0∞, x ^ y into an order isomorphism when y : ℝ is positive, where the inverse is λ x : ℝ≥0∞, x ^ (1 / y).

Equations
@[simp]
theorem ennreal.order_iso_rpow_apply (y : ) (hy : 0 < y) (x : ennreal) :
theorem ennreal.rpow_le_rpow {x y : ennreal} {z : } (h₁ : x y) (h₂ : 0 z) :
x ^ z y ^ z
theorem ennreal.rpow_lt_rpow {x y : ennreal} {z : } (h₁ : x < y) (h₂ : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z
theorem ennreal.rpow_le_rpow_iff {x y : ennreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ z y ^ z x y
theorem ennreal.rpow_lt_rpow_iff {x y : ennreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ z < y ^ z x < y
theorem ennreal.le_rpow_one_div_iff {x y : ennreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x y ^ (1 / z) x ^ z y
theorem ennreal.lt_rpow_one_div_iff {x y : ennreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x < y ^ (1 / z) x ^ z < y
theorem ennreal.rpow_one_div_le_iff {x y : ennreal} {z : } (hz : 0 < z) :
x ^ (1 / z) y x y ^ z
theorem ennreal.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt {x : ennreal} {y z : } (hx : 1 < x) (hx' : x ) (hyz : y < z) :
x ^ y < x ^ z
theorem ennreal.rpow_le_rpow_of_exponent_le {x : ennreal} {y z : } (hx : 1 x) (hyz : y z) :
x ^ y x ^ z
theorem ennreal.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt {x : ennreal} {y z : } (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y) :
x ^ y < x ^ z
theorem ennreal.rpow_le_rpow_of_exponent_ge {x : ennreal} {y z : } (hx1 : x 1) (hyz : z y) :
x ^ y x ^ z
theorem ennreal.rpow_le_self_of_le_one {x : ennreal} {z : } (hx : x 1) (h_one_le : 1 z) :
x ^ z x
theorem ennreal.le_rpow_self_of_one_le {x : ennreal} {z : } (hx : 1 x) (h_one_le : 1 z) :
x x ^ z
theorem ennreal.rpow_pos_of_nonneg {p : } {x : ennreal} (hx_pos : 0 < x) (hp_nonneg : 0 p) :
0 < x ^ p
theorem ennreal.rpow_pos {p : } {x : ennreal} (hx_pos : 0 < x) (hx_ne_top : x ) :
0 < x ^ p
theorem ennreal.rpow_lt_one {x : ennreal} {z : } (hx : x < 1) (hz : 0 < z) :
x ^ z < 1
theorem ennreal.rpow_le_one {x : ennreal} {z : } (hx : x 1) (hz : 0 z) :
x ^ z 1
theorem ennreal.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg {x : ennreal} {z : } (hx : 1 < x) (hz : z < 0) :
x ^ z < 1
theorem ennreal.rpow_le_one_of_one_le_of_neg {x : ennreal} {z : } (hx : 1 x) (hz : z < 0) :
x ^ z 1
theorem ennreal.one_lt_rpow {x : ennreal} {z : } (hx : 1 < x) (hz : 0 < z) :
1 < x ^ z
theorem ennreal.one_le_rpow {x : ennreal} {z : } (hx : 1 x) (hz : 0 < z) :
1 x ^ z
theorem ennreal.one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg {x : ennreal} {z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0) :
1 < x ^ z
theorem ennreal.one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_neg {x : ennreal} {z : } (hx1 : 0 < x) (hx2 : x 1) (hz : z < 0) :
1 x ^ z
theorem ennreal.to_nnreal_rpow (x : ennreal) (z : ) :
x.to_nnreal ^ z = (x ^ z).to_nnreal
theorem ennreal.to_real_rpow (x : ennreal) (z : ) :
x.to_real ^ z = (x ^ z).to_real
theorem ennreal.of_real_rpow_of_pos {x p : } (hx_pos : 0 < x) :
theorem ennreal.of_real_rpow_of_nonneg {x p : } (hx_nonneg : 0 x) (hp_nonneg : 0 p) :
theorem ennreal.rpow_left_injective {x : } (hx : x 0) :
function.injective (λ (y : ennreal), y ^ x)
theorem ennreal.rpow_left_surjective {x : } (hx : x 0) :
function.surjective (λ (y : ennreal), y ^ x)
theorem ennreal.rpow_left_bijective {x : } (hx : x 0) :
function.bijective (λ (y : ennreal), y ^ x)
theorem ennreal.tendsto_rpow_at_top {y : } (hy : 0 < y) :
filter.tendsto (λ (x : ennreal), x ^ y) (nhds ) (nhds )
@[continuity]
theorem ennreal.continuous_rpow_const {y : } :
continuous (λ (a : ennreal), a ^ y)
theorem ennreal.tendsto_const_mul_rpow_nhds_zero_of_pos {c : ennreal} (hc : c ) {y : } (hy : 0 < y) :
filter.tendsto (λ (x : ennreal), c * x ^ y) (nhds 0) (nhds 0)
theorem filter.tendsto.ennrpow_const {α : Type u_1} {f : filter α} {m : α → ennreal} {a : ennreal} (r : ) (hm : filter.tendsto m f (nhds a)) :
filter.tendsto (λ (x : α), m x ^ r) f (nhds (a ^ r))
theorem norm_num.rpow_pos (a b : ) (b' : ) (c : ) (hb : b' = b) (h : a ^ b' = c) :
a ^ b = c
theorem norm_num.rpow_neg (a b : ) (b' : ) (c c' : ) (a0 : 0 a) (hb : b' = b) (h : a ^ b' = c) (hc : c⁻¹ = c') :
a ^ -b = c'
meta def norm_num.prove_rpow (a b : expr) :

Evaluate real.rpow a b where a is a rational numeral and b is an integer. (This cannot go via the generalized version prove_rpow' because rpow_pos has a side condition; we do not attempt to evaluate a ^ b where a and b are both negative because it comes out to some garbage.)

meta def norm_num.prove_rpow' (pos neg zero : name) (α β one a b : expr) :

Generalized version of prove_cpow, prove_nnrpow, prove_ennrpow.

theorem norm_num.cpow_pos (a b : ) (b' : ) (c : ) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) :
a ^ b = c
theorem norm_num.cpow_neg (a b : ) (b' : ) (c c' : ) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) (hc : c⁻¹ = c') :
a ^ -b = c'
theorem norm_num.nnrpow_pos (a : nnreal) (b : ) (b' : ) (c : nnreal) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) :
a ^ b = c
theorem norm_num.nnrpow_neg (a : nnreal) (b : ) (b' : ) (c c' : nnreal) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) (hc : c⁻¹ = c') :
a ^ -b = c'
theorem norm_num.ennrpow_pos (a : ennreal) (b : ) (b' : ) (c : ennreal) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) :
a ^ b = c
theorem norm_num.ennrpow_neg (a : ennreal) (b : ) (b' : ) (c c' : ennreal) (hb : b = b') (h : a ^ b' = c) (hc : c⁻¹ = c') :
a ^ -b = c'
meta def norm_num.prove_cpow  :

Evaluate complex.cpow a b where a is a rational numeral and b is an integer.

meta def norm_num.prove_nnrpow  :

Evaluate nnreal.rpow a b where a is a rational numeral and b is an integer.

meta def norm_num.prove_ennrpow  :

Evaluate ennreal.rpow a b where a is a rational numeral and b is an integer.

Evaluates expressions of the form rpow a b, cpow a b and a ^ b in the special case where b is an integer and a is a positive rational (so it's really just a rational power).