mathlib documentation

data.prod

Extra facts about prod

This file defines prod.swap : α × β → β × α and proves various simple lemmas about prod.

@[simp]
theorem prod.forall {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β → Prop} :
(∀ (x : α × β), p x) ∀ (a : α) (b : β), p (a, b)

@[simp]
theorem prod.exists {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β → Prop} :
(∃ (x : α × β), p x) ∃ (a : α) (b : β), p (a, b)

@[simp]
theorem prod_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) (p : α × β) :
prod.map f g p = (f p.fst, g p.snd)

@[simp]
theorem prod.map_mk {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) (a : α) (b : β) :
prod.map f g (a, b) = (f a, g b)

theorem prod.map_fst {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) (p : α × β) :
(prod.map f g p).fst = f p.fst

theorem prod.map_snd {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) (p : α × β) :
(prod.map f g p).snd = g p.snd

theorem prod.map_fst' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) :

theorem prod.map_snd' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α → γ) (g : β → δ) :

@[simp]
theorem prod.mk.inj_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {a₁ a₂ : α} {b₁ b₂ : β} :
(a₁, b₁) = (a₂, b₂) a₁ = a₂ b₁ = b₂

theorem prod.mk.inj_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) :

theorem prod.mk.inj_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} (b : β) :
function.injective (λ (a : α), (a, b))

theorem prod.ext_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p q : α × β} :
p = q p.fst = q.fst p.snd = q.snd

@[ext]
theorem prod.ext {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p q : α × β} :
p.fst = q.fstp.snd = q.sndp = q

theorem prod.map_def {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {f : α → γ} {g : β → δ} :
prod.map f g = λ (p : α × β), (f p.fst, g p.snd)

theorem prod.id_prod {α : Type u_1} :
(λ (p : α × α), (p.fst, p.snd)) = id

theorem prod.fst_surjective {α : Type u_1} {β : Type u_2} [h : nonempty β] :

theorem prod.snd_surjective {α : Type u_1} {β : Type u_2} [h : nonempty α] :

theorem prod.fst_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} [subsingleton β] :

theorem prod.snd_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} [subsingleton α] :

def prod.swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} :
α × ββ × α

Swap the factors of a product. swap (a, b) = (b, a)

Equations
@[simp]
theorem prod.swap_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (x : α × β) :
x.swap.swap = x

@[simp]
theorem prod.fst_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β} :

@[simp]
theorem prod.snd_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β} :

@[simp]
theorem prod.swap_prod_mk {α : Type u_1} {β : Type u_2} {a : α} {b : β} :
(a, b).swap = (b, a)

@[simp]
theorem prod.swap_swap_eq {α : Type u_1} {β : Type u_2} :

@[simp]
theorem prod.swap_left_inverse {α : Type u_1} {β : Type u_2} :

@[simp]
theorem prod.swap_right_inverse {α : Type u_1} {β : Type u_2} :

theorem prod.eq_iff_fst_eq_snd_eq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p q : α × β} :
p = q p.fst = q.fst p.snd = q.snd

theorem prod.fst_eq_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β} {x : α} :
p.fst = x p = (x, p.snd)

theorem prod.snd_eq_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α × β} {x : β} :
p.snd = x p = (p.fst, x)

theorem prod.lex_def {α : Type u_1} {β : Type u_2} (r : α → α → Prop) (s : β → β → Prop) {p q : α × β} :
prod.lex r s p q r p.fst q.fst p.fst = q.fst s p.snd q.snd

@[instance]
def prod.lex.decidable {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] (r : α → α → Prop) (s : β → β → Prop) [decidable_rel r] [decidable_rel s] :

Equations
theorem function.injective.prod_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {f : α → γ} {g : β → δ} :

theorem function.surjective.prod_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {f : α → γ} {g : β → δ} :