Sigma instances for additive and multiplicative actions

This file defines instances for arbitrary sum of additive and multiplicative actions.

See also

• GroupTheory.GroupAction.Pi
• GroupTheory.GroupAction.Prod
• GroupTheory.GroupAction.Sum

instance Sigma.VAdd {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] : VAdd M ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] : SMul M ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.vadd_def {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] (a : M) (x : (i : ι) × α i) : a +ᵥ x = Sigma.map id (fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 +ᵥ x_2) a) x

theorem Sigma.smul_def {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] (a : M) (x : (i : ι) × α i) : a • x = Sigma.map id (fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 • x_2) a) x

@[simp]

theorem Sigma.vadd_mk {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] (a : M) (i : ι) (b : α i) : a +ᵥ { fst := i, snd := b } = { fst := i, snd := a +ᵥ b }

@[simp]

theorem Sigma.smul_mk {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] (a : M) (i : ι) (b : α i) : a • { fst := i, snd := b } = { fst := i, snd := a • b }

theorem Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd N (α i)] [VAdd M N] [∀ (i : ι), VAddAssocClass M N (α i)] : VAddAssocClass M N ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd N (α i)] [VAdd M N] [∀ (i : ι), VAddAssocClass M N (α i)] : VAddAssocClass M N ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] [(i : ι) → SMul N (α i)] [SMul M N] [∀ (i : ι), IsScalarTower M N (α i)] : IsScalarTower M N ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instVAddCommClassSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd N (α i)] [∀ (i : ι), VAddCommClass M N (α i)] : VAddCommClass M N ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.instVAddCommClassSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd N (α i)] [∀ (i : ι), VAddCommClass M N (α i)] : VAddCommClass M N ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instSMulCommClassSigmaInstSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] [(i : ι) → SMul N (α i)] [∀ (i : ι), SMulCommClass M N (α i)] : SMulCommClass M N ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.instIsCentralVAddSigmaInstVAddSigmaAddOpposite.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_3} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd Mᵃᵒᵖ (α i)] [∀ (i : ι), IsCentralVAdd M (α i)] : IsCentralVAdd M ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instIsCentralVAddSigmaInstVAddSigmaAddOpposite {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [(i : ι) → VAdd Mᵃᵒᵖ (α i)] [∀ (i : ι), IsCentralVAdd M (α i)] : IsCentralVAdd M ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instIsCentralScalarSigmaInstSMulSigmaMulOpposite {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] [(i : ι) → SMul Mᵐᵒᵖ (α i)] [∀ (i : ι), IsCentralScalar M (α i)] : IsCentralScalar M ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.FaithfulVAdd' {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] (i : ι) [FaithfulVAdd M (α i)] : FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)

This is not an instance because i becomes a metavariable.

theorem Sigma.FaithfulSMul' {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] (i : ι) [FaithfulSMul M (α i)] : FaithfulSMul M ((i : ι) × α i)

This is not an instance because i becomes a metavariable.

instance Sigma.instFaithfulVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [Nonempty ι] [∀ (i : ι), FaithfulVAdd M (α i)] : FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.instFaithfulVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_3} [(i : ι) → VAdd M (α i)] [Nonempty ι] [∀ (i : ι), FaithfulVAdd M (α i)] : FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instFaithfulSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} [(i : ι) → SMul M (α i)] [Nonempty ι] [∀ (i : ι), FaithfulSMul M (α i)] : FaithfulSMul M ((i : ι) × α i)

instance Sigma.instAddActionSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} {m : AddMonoid M} [(i : ι) → AddAction M (α i)] : AddAction M ((i : ι) × α i)

theorem Sigma.instAddActionSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ι → Type u_2} {m : AddMonoid M} [(i : ι) → AddAction M (α i)] (x : (i : ι) × α i) : 0 +ᵥ x = x

theorem Sigma.instAddActionSigma.proof_2 {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ι → Type u_2} {m : AddMonoid M} [(i : ι) → AddAction M (α i)] (a : M) (b : M) (x : (i : ι) × α i) : a + b +ᵥ x = a +ᵥ (b +ᵥ x)

instance Sigma.instMulActionSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ι → Type u_4} {m : Monoid M} [(i : ι) → MulAction M (α i)] : MulAction M ((i : ι) × α i)