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Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Sigma

Sigma instances for additive and multiplicative actions #

This file defines instances for arbitrary sum of additive and multiplicative actions.

• GroupTheory.GroupAction.Pi
• GroupTheory.GroupAction.Prod
• GroupTheory.GroupAction.Sum
instance Sigma.VAdd {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] :
VAdd M ((i : ι) × α i)
Equations
• Sigma.VAdd = { vadd := fun a => Sigma.map id fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 +ᵥ x_2) a }
instance Sigma.instSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] :
SMul M ((i : ι) × α i)
Equations
• Sigma.instSMulSigma = { smul := fun a => Sigma.map id fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 x_2) a }
theorem Sigma.vadd_def {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] (a : M) (x : (i : ι) × α i) :
a +ᵥ x = Sigma.map id (fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 +ᵥ x_2) a) x
theorem Sigma.smul_def {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] (a : M) (x : (i : ι) × α i) :
a x = Sigma.map id (fun x => (fun x_1 x_2 => x_1 x_2) a) x
@[simp]
theorem Sigma.vadd_mk {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] (a : M) (i : ι) (b : α i) :
a +ᵥ { fst := i, snd := b } = { fst := i, snd := a +ᵥ b }
@[simp]
theorem Sigma.smul_mk {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] (a : M) (i : ι) (b : α i) :
a { fst := i, snd := b } = { fst := i, snd := a b }
def Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd N (α i)] [inst : VAdd M N] [inst : ∀ (i : ι), VAddAssocClass M N (α i)] :
VAddAssocClass M N ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd N (α i)] [inst : VAdd M N] [inst : ∀ (i : ι), VAddAssocClass M N (α i)] :
VAddAssocClass M N ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instIsScalarTowerSigmaInstSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] [inst : (i : ι) → SMul N (α i)] [inst : SMul M N] [inst : ∀ (i : ι), IsScalarTower M N (α i)] :
IsScalarTower M N ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instVAddCommClassSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd N (α i)] [inst : ∀ (i : ι), VAddCommClass M N (α i)] :
VAddCommClass M N ((i : ι) × α i)
Equations
def Sigma.instVAddCommClassSigmaInstVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd N (α i)] [inst : ∀ (i : ι), VAddCommClass M N (α i)] :
VAddCommClass M N ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instSMulCommClassSigmaInstSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {α : ιType u_4} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] [inst : (i : ι) → SMul N (α i)] [inst : ∀ (i : ι), SMulCommClass M N (α i)] :
SMulCommClass M N ((i : ι) × α i)
Equations
def Sigma.instIsCentralVAddSigmaInstVAddSigmaAddOpposite.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd Mᵃᵒᵖ (α i)] [inst : ∀ (i : ι), IsCentralVAdd M (α i)] :
IsCentralVAdd M ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instIsCentralVAddSigmaInstVAddSigmaAddOpposite {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : (i : ι) → VAdd Mᵃᵒᵖ (α i)] [inst : ∀ (i : ι), IsCentralVAdd M (α i)] :
IsCentralVAdd M ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instIsCentralScalarSigmaInstSMulSigmaMulOpposite {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] [inst : (i : ι) → SMul Mᵐᵒᵖ (α i)] [inst : ∀ (i : ι), IsCentralScalar M (α i)] :
IsCentralScalar M ((i : ι) × α i)
Equations
theorem Sigma.FaithfulVAdd' {ι : Type u_3} {M : Type u_1} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] (i : ι) [inst : FaithfulVAdd M (α i)] :
FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)

This is not an instance because i becomes a metavariable.

theorem Sigma.FaithfulSMul' {ι : Type u_3} {M : Type u_1} {α : ιType u_2} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] (i : ι) [inst : FaithfulSMul M (α i)] :
FaithfulSMul M ((i : ι) × α i)

This is not an instance because i becomes a metavariable.

instance Sigma.instFaithfulVAddSigmaInstVAddSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : ] [inst : ∀ (i : ι), FaithfulVAdd M (α i)] :
FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)
Equations
def Sigma.instFaithfulVAddSigmaInstVAddSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → VAdd M (α i)] [inst : ] [inst : ∀ (i : ι), FaithfulVAdd M (α i)] :
FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instFaithfulSMulSigmaInstSMulSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} [inst : (i : ι) → SMul M (α i)] [inst : ] [inst : ∀ (i : ι), FaithfulSMul M (α i)] :
FaithfulSMul M ((i : ι) × α i)
Equations
instance Sigma.instAddActionSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} {m : } [inst : (i : ι) → AddAction M (α i)] :
AddAction M ((i : ι) × α i)
Equations
• Sigma.instAddActionSigma = AddAction.mk (_ : ∀ (x : (i : ι) × α i), 0 +ᵥ x = x) (_ : ∀ (a b : M) (x : (i : ι) × α i), a + b +ᵥ x = a +ᵥ (b +ᵥ x))
def Sigma.instAddActionSigma.proof_1 {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} {m : } [inst : (i : ι) → AddAction M (α i)] (x : (i : ι) × α i) :
0 +ᵥ x = x
Equations
def Sigma.instAddActionSigma.proof_2 {ι : Type u_1} {M : Type u_3} {α : ιType u_2} {m : } [inst : (i : ι) → AddAction M (α i)] (a : M) (b : M) (x : (i : ι) × α i) :
a + b +ᵥ x = a +ᵥ (b +ᵥ x)
Equations
instance Sigma.instMulActionSigma {ι : Type u_1} {M : Type u_2} {α : ιType u_3} {m : } [inst : (i : ι) → MulAction M (α i)] :
MulAction M ((i : ι) × α i)
Equations
• Sigma.instMulActionSigma = MulAction.mk (_ : ∀ (x : (i : ι) × α i), 1 x = x) (_ : ∀ (a b : M) (x : (i : ι) × α i), (a * b) x = a b x)