# Basic lemmas about natural numbers #

The primary purpose of the lemmas in this file is to assist with reasoning about sizes of objects, array indices and such.

This file was upstreamed from Std, and later these lemmas should be organised into other files more systematically.

### le/lt #

theorem Nat.lt_asymm {a : Nat} {b : Nat} (h : a < b) :
¬b < a
@[inline, reducible]
abbrev Nat.not_lt_of_gt {a : Nat} {b : Nat} (h : a < b) :
¬b < a
Equations
Instances For
@[inline, reducible]
abbrev Nat.not_lt_of_lt {a : Nat} {b : Nat} (h : a < b) :
¬b < a
Equations
Instances For
theorem Nat.lt_iff_le_not_le {m : Nat} {n : Nat} :
m < n m n ¬n m
@[inline, reducible]
abbrev Nat.lt_iff_le_and_not_ge {m : Nat} {n : Nat} :
m < n m n ¬n m
Equations
Instances For
theorem Nat.lt_iff_le_and_ne {m : Nat} {n : Nat} :
m < n m n m n
theorem Nat.ne_iff_lt_or_gt {a : Nat} {b : Nat} :
a b a < b b < a
@[inline, reducible]
abbrev Nat.lt_or_gt {a : Nat} {b : Nat} :
a b a < b b < a
Equations
Instances For
@[inline, reducible]
abbrev Nat.le_or_ge (m : Nat) (n : Nat) :
m n n m
Equations
Instances For
@[inline, reducible]
abbrev Nat.le_or_le (m : Nat) (n : Nat) :
m n n m
Equations
Instances For
theorem Nat.eq_or_lt_of_not_lt {a : Nat} {b : Nat} (hnlt : ¬a < b) :
a = b b < a
theorem Nat.lt_or_eq_of_le {n : Nat} {m : Nat} (h : n m) :
n < m n = m
theorem Nat.le_iff_lt_or_eq {n : Nat} {m : Nat} :
n m n < m n = m
theorem Nat.lt_succ_iff {m : Nat} {n : Nat} :
m < m n
theorem Nat.lt_succ_iff_lt_or_eq {m : Nat} {n : Nat} :
m < m < n m = n
theorem Nat.eq_of_lt_succ_of_not_lt {m : Nat} {n : Nat} (hmn : m < n + 1) (h : ¬m < n) :
m = n
theorem Nat.eq_of_le_of_lt_succ {n : Nat} {m : Nat} (h₁ : n m) (h₂ : m < n + 1) :
m = n

## zero/one/two #

theorem Nat.le_zero {i : Nat} :
i 0 i = 0
@[inline, reducible]
abbrev Nat.one_pos :
0 < 1
Equations
Instances For
theorem Nat.two_pos :
0 < 2
theorem Nat.add_one_ne_zero (n : Nat) :
n + 1 0
theorem Nat.ne_zero_iff_zero_lt {n : Nat} :
n 0 0 < n
theorem Nat.one_lt_two :
1 < 2
theorem Nat.eq_zero_of_not_pos {n : Nat} (h : ¬0 < n) :
n = 0

## succ/pred #

theorem Nat.succ_ne_self (n : Nat) :
n
theorem Nat.succ_le {n : Nat} {m : Nat} :
m n < m
theorem Nat.lt_succ {m : Nat} {n : Nat} :
m < m n
theorem Nat.lt_succ_of_lt {a : Nat} {b : Nat} (h : a < b) :
a <
theorem Nat.succ_pred_eq_of_ne_zero {n : Nat} :
n 0Nat.succ () = n
theorem Nat.succ_inj' {a : Nat} {b : Nat} :
a = b
theorem Nat.succ_le_succ_iff {a : Nat} {b : Nat} :
a b
theorem Nat.succ_lt_succ_iff {a : Nat} {b : Nat} :
a < b
theorem Nat.pred_inj {a : Nat} {b : Nat} :
0 < a0 < ba = b
theorem Nat.pred_ne_self {a : Nat} :
a 0 a
theorem Nat.pred_lt_self {a : Nat} :
0 < a < a
theorem Nat.pred_lt_pred {n : Nat} {m : Nat} :
n 0n < m
theorem Nat.pred_le_iff_le_succ {n : Nat} {m : Nat} :
m n
theorem Nat.le_succ_of_pred_le {n : Nat} {m : Nat} :
mn
theorem Nat.pred_le_of_le_succ {n : Nat} {m : Nat} :
n m
theorem Nat.lt_pred_iff_succ_lt {n : Nat} {m : Nat} :
n < < m
theorem Nat.succ_lt_of_lt_pred {n : Nat} {m : Nat} :
n < < m
theorem Nat.lt_pred_of_succ_lt {n : Nat} {m : Nat} :
< mn <
theorem Nat.le_pred_iff_lt {n : Nat} {m : Nat} :
0 < m(n n < m)
theorem Nat.lt_of_le_pred {m : Nat} {n : Nat} (h : 0 < m) :
n n < m
theorem Nat.le_pred_of_lt {n : Nat} {m : Nat} (h : n < m) :
n
theorem Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero {n : Nat} :
n 0∃ (k : Nat), n =

a + b + (c + d) = a + c + (b + d)
theorem Nat.one_add (n : Nat) :
1 + n =
theorem Nat.succ_eq_one_add (n : Nat) :
= 1 + n
+ b = a +
theorem Nat.eq_zero_of_add_eq_zero_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n + m = 0) :
n = 0
theorem Nat.add_eq_zero_iff {n : Nat} {m : Nat} :
n + m = 0 n = 0 m = 0
theorem Nat.add_left_cancel_iff {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} :
n + m = n + k m = k
theorem Nat.add_right_cancel_iff {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} :
m + n = k + n m = k
theorem Nat.add_le_add_iff_left {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} :
n + m n + k m k
theorem Nat.lt_of_add_lt_add_right {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} :
k + n < m + nk < m
theorem Nat.lt_of_add_lt_add_left {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} :
n + k < n + mk < m
theorem Nat.add_lt_add_iff_left {k : Nat} {n : Nat} {m : Nat} :
k + n < k + m n < m
theorem Nat.add_lt_add_iff_right {k : Nat} {n : Nat} {m : Nat} :
n + k < m + k n < m
theorem Nat.add_lt_add_of_le_of_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hle : a b) (hlt : c < d) :
a + c < b + d
theorem Nat.add_lt_add_of_lt_of_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hlt : a < b) (hle : c d) :
a + c < b + d
theorem Nat.lt_add_left {a : Nat} {b : Nat} (c : Nat) (h : a < b) :
a < c + b
theorem Nat.lt_add_right {a : Nat} {b : Nat} (c : Nat) (h : a < b) :
a < b + c
theorem Nat.lt_add_of_pos_right {k : Nat} {n : Nat} (h : 0 < k) :
n < n + k
theorem Nat.lt_add_of_pos_left {k : Nat} {n : Nat} :
0 < kn < k + n
theorem Nat.pos_of_lt_add_right {n : Nat} {k : Nat} (h : n < n + k) :
0 < k
theorem Nat.pos_of_lt_add_left {n : Nat} {k : Nat} :
n < k + n0 < k
theorem Nat.lt_add_right_iff_pos {n : Nat} {k : Nat} :
n < n + k 0 < k
theorem Nat.lt_add_left_iff_pos {n : Nat} {k : Nat} :
n < k + n 0 < k
theorem Nat.add_pos_left {m : Nat} (h : 0 < m) (n : Nat) :
0 < m + n
theorem Nat.add_pos_right {n : Nat} (m : Nat) (h : 0 < n) :
0 < m + n
theorem Nat.add_self_ne_one (n : Nat) :
n + n 1

## sub #

theorem Nat.sub_one (n : Nat) :
n - 1 =
theorem Nat.one_sub (n : Nat) :
1 - n = if n = 0 then 1 else 0
theorem Nat.succ_sub_sub_succ (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) :
- m - = n - m - k
theorem Nat.sub_right_comm (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
m - n - k = m - k - n
theorem Nat.add_sub_cancel_right (n : Nat) (m : Nat) :
n + m - m = n
@[simp]
theorem Nat.add_sub_cancel' {n : Nat} {m : Nat} (h : m n) :
m + (n - m) = n
theorem Nat.succ_sub_one (n : Nat) :
- 1 = n
theorem Nat.add_one_sub_one (n : Nat) :
n + 1 - 1 = n
theorem Nat.one_add_sub_one (n : Nat) :
1 + n - 1 = n
theorem Nat.sub_sub_self {n : Nat} {m : Nat} (h : m n) :
n - (n - m) = m
theorem Nat.sub_add_comm {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : k n) :
n + m - k = n - k + m
theorem Nat.sub_eq_zero_iff_le {n : Nat} {m : Nat} :
n - m = 0 n m
theorem Nat.sub_pos_iff_lt {n : Nat} {m : Nat} :
0 < n - m m < n
theorem Nat.sub_le_iff_le_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
a - b c a c + b
theorem Nat.sub_le_iff_le_add' {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
a - b c a b + c
theorem Nat.le_sub_iff_add_le {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : k m) :
n m - k n + k m
theorem Nat.add_le_to_le_sub {m : Nat} {k : Nat} (n : Nat) (h : m k) :
n + m k n k - m
theorem Nat.add_le_of_le_sub' {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} (h : m k) :
n k - mm + n k
theorem Nat.add_le_of_le_sub_left {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} (h : m k) :
n k - mm + n k
theorem Nat.le_sub_of_add_le' {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} :
m + n kn k - m
theorem Nat.le_sub_iff_add_le' {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : k m) :
n m - k k + n m
theorem Nat.le_of_sub_le_sub_left {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} :
n kk - m k - nn m
theorem Nat.sub_le_sub_iff_left {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n k) :
k - m k - n n m
theorem Nat.sub_lt_of_pos_le {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a b) :
b - a < b
@[inline, reducible]
abbrev Nat.sub_lt_self {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a b) :
b - a < b
Equations
Instances For
theorem Nat.add_lt_of_lt_sub' {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
b < c - aa + b < c
theorem Nat.sub_add_lt_sub {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} (h₁ : m + k n) (h₂ : 0 < k) :
n - (m + k) < n - m
theorem Nat.le_sub_one_of_lt {a : Nat} {b : Nat} :
a < ba b - 1
theorem Nat.sub_one_lt_of_le {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a b) :
a - 1 < b
theorem Nat.sub_lt_succ (a : Nat) (b : Nat) :
a - b <
theorem Nat.sub_one_sub_lt {i : Nat} {n : Nat} (h : i < n) :
n - 1 - i < n
theorem Nat.exists_eq_add_of_le {m : Nat} {n : Nat} (h : m n) :
∃ (k : Nat), n = m + k
theorem Nat.exists_eq_add_of_le' {m : Nat} {n : Nat} (h : m n) :
∃ (k : Nat), n = k + m
theorem Nat.exists_eq_add_of_lt {m : Nat} {n : Nat} (h : m < n) :
∃ (k : Nat), n = m + k + 1

### min/max #

theorem Nat.succ_min_succ (x : Nat) (y : Nat) :
min () () = Nat.succ (min x y)
@[simp]
theorem Nat.min_self (a : Nat) :
min a a = a
@[simp]
theorem Nat.zero_min (a : Nat) :
min 0 a = 0
@[simp]
theorem Nat.min_zero (a : Nat) :
min a 0 = 0
theorem Nat.min_assoc (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min (min a b) c = min a (min b c)
theorem Nat.sub_sub_eq_min (a : Nat) (b : Nat) :
a - (a - b) = min a b
theorem Nat.sub_eq_sub_min (n : Nat) (m : Nat) :
n - m = n - min n m
@[simp]
theorem Nat.sub_add_min_cancel (n : Nat) (m : Nat) :
n - m + min n m = n
theorem Nat.max_eq_right {a : Nat} {b : Nat} (h : a b) :
max a b = b
theorem Nat.max_eq_left {a : Nat} {b : Nat} (h : b a) :
max a b = a
theorem Nat.succ_max_succ (x : Nat) (y : Nat) :
max () () = Nat.succ (max x y)
theorem Nat.max_le_of_le_of_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
a cb cmax a b c
theorem Nat.max_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
max a b c a c b c
theorem Nat.max_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
max a b < c a < c b < c
@[simp]
theorem Nat.max_self (a : Nat) :
max a a = a
@[simp]
theorem Nat.zero_max (a : Nat) :
max 0 a = a
@[simp]
theorem Nat.max_zero (a : Nat) :
max a 0 = a
theorem Nat.max_assoc (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max (max a b) c = max a (max b c)
theorem Nat.sub_add_eq_max (a : Nat) (b : Nat) :
a - b + b = max a b
theorem Nat.sub_eq_max_sub (n : Nat) (m : Nat) :
n - m = max n m - m
theorem Nat.max_min_distrib_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max a (min b c) = min (max a b) (max a c)
theorem Nat.min_max_distrib_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min a (max b c) = max (min a b) (min a c)
theorem Nat.max_min_distrib_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max (min a b) c = min (max a c) (max b c)
theorem Nat.min_max_distrib_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min (max a b) c = max (min a c) (min b c)
theorem Nat.add_max_add_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max (a + c) (b + c) = max a b + c
theorem Nat.add_min_add_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min (a + c) (b + c) = min a b + c
theorem Nat.add_max_add_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max (a + b) (a + c) = a + max b c
theorem Nat.add_min_add_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min (a + b) (a + c) = a + min b c
theorem Nat.pred_min_pred (x : Nat) (y : Nat) :
min () () = Nat.pred (min x y)
theorem Nat.pred_max_pred (x : Nat) (y : Nat) :
max () () = Nat.pred (max x y)
theorem Nat.sub_min_sub_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
min (a - c) (b - c) = min a b - c
theorem Nat.sub_max_sub_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) :
max (a - c) (b - c) = max a b - c

### mul #

@[deprecated Nat.mul_le_mul_left]
theorem Nat.mul_le_mul_of_nonneg_left {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
a bc * a c * b
@[deprecated Nat.mul_le_mul_right]
theorem Nat.mul_le_mul_of_nonneg_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} :
a ba * c b * c
theorem Nat.mul_right_comm (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) :
n * m * k = n * k * m
theorem Nat.mul_mul_mul_comm (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) (d : Nat) :
a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
theorem Nat.mul_two (n : Nat) :
n * 2 = n + n
theorem Nat.two_mul (n : Nat) :
2 * n = n + n
theorem Nat.mul_eq_zero {m : Nat} {n : Nat} :
n * m = 0 n = 0 m = 0
theorem Nat.mul_ne_zero_iff {n : Nat} {m : Nat} :
n * m 0 n 0 m 0
theorem Nat.mul_ne_zero {n : Nat} {m : Nat} :
n 0m 0n * m 0
theorem Nat.ne_zero_of_mul_ne_zero_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n * m 0) :
n 0
theorem Nat.mul_left_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (np : 0 < n) (h : n * m = n * k) :
m = k
theorem Nat.mul_right_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (mp : 0 < m) (h : n * m = k * m) :
n = k
theorem Nat.mul_left_cancel_iff {n : Nat} (p : 0 < n) (m : Nat) (k : Nat) :
n * m = n * k m = k
theorem Nat.mul_right_cancel_iff {m : Nat} (p : 0 < m) (n : Nat) (k : Nat) :
n * m = k * m n = k
theorem Nat.ne_zero_of_mul_ne_zero_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n * m 0) :
m 0
theorem Nat.le_mul_of_pos_left {n : Nat} (m : Nat) (h : 0 < n) :
m n * m
theorem Nat.le_mul_of_pos_right {m : Nat} (n : Nat) (h : 0 < m) :
n n * m
theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_le {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b d) (hd : 0 < d) :
a * b < c * d
theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_le' {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b d) (hb : 0 < b) :
a * b < c * d
theorem Nat.mul_lt_mul_of_le_of_lt {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a c) (hbd : b < d) (hc : 0 < c) :
a * b < c * d
theorem Nat.mul_lt_mul_of_le_of_lt' {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a c) (hbd : b < d) (ha : 0 < a) :
a * b < c * d
theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b < d) :
a * b < c * d
theorem Nat.succ_mul_succ (a : Nat) (b : Nat) :
= a * b + a + b + 1
theorem Nat.mul_le_add_right (m : Nat) (k : Nat) (n : Nat) :
k * m m + n (k - 1) * m n
theorem Nat.succ_mul_succ_eq (a : Nat) (b : Nat) :
= a * b + a + b + 1
theorem Nat.mul_self_sub_mul_self_eq (a : Nat) (b : Nat) :
a * a - b * b = (a + b) * (a - b)
theorem Nat.pos_of_mul_pos_left {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a * b) :
0 < b
theorem Nat.pos_of_mul_pos_right {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a * b) :
0 < a
@[simp]
theorem Nat.mul_pos_iff_of_pos_left {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a) :
0 < a * b 0 < b
@[simp]
theorem Nat.mul_pos_iff_of_pos_right {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < b) :
0 < a * b 0 < a

### div/mod #

theorem Nat.div_le_of_le_mul {m : Nat} {n : Nat} {k : Nat} :
m k * nm / k n
@[simp]
theorem Nat.mul_div_right (n : Nat) {m : Nat} (H : 0 < m) :
m * n / m = n
@[simp]
theorem Nat.mul_div_left (m : Nat) {n : Nat} (H : 0 < n) :
m * n / n = m
theorem Nat.div_self {n : Nat} (H : 0 < n) :
n / n = 1
theorem Nat.mul_div_cancel (m : Nat) {n : Nat} (H : 0 < n) :
m * n / n = m
theorem Nat.mul_div_cancel_left (m : Nat) {n : Nat} (H : 0 < n) :
n * m / n = m
theorem Nat.div_eq_of_eq_mul_left {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (H1 : 0 < n) (H2 : m = k * n) :
m / n = k
theorem Nat.div_eq_of_eq_mul_right {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (H1 : 0 < n) (H2 : m = n * k) :
m / n = k
theorem Nat.div_div_eq_div_mul (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
m / n / k = m / (n * k)
theorem Nat.mul_div_mul_left {m : Nat} (n : Nat) (k : Nat) (H : 0 < m) :
m * n / (m * k) = n / k
theorem Nat.mul_div_mul_right {m : Nat} (n : Nat) (k : Nat) (H : 0 < m) :
n * m / (k * m) = n / k
theorem Nat.mul_div_le (m : Nat) (n : Nat) :
n * (m / n) m
theorem Nat.mod_two_eq_zero_or_one (n : Nat) :
n % 2 = 0 n % 2 = 1
theorem Nat.le_of_mod_lt {a : Nat} {b : Nat} (h : a % b < a) :
b a
theorem Nat.mul_mod_mul_right (z : Nat) (x : Nat) (y : Nat) :
x * z % (y * z) = x % y * z
@[simp]
theorem Nat.mod_mod_of_dvd {c : Nat} {b : Nat} (a : Nat) (h : c b) :
a % b % c = a % c
theorem Nat.sub_mul_mod {x : Nat} {k : Nat} {n : Nat} (h₁ : n * k x) :
(x - n * k) % n = x % n
@[simp]
theorem Nat.mod_mod (a : Nat) (n : Nat) :
a % n % n = a % n
theorem Nat.mul_mod (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) :
a * b % n = a % n * (b % n) % n
@[simp]
theorem Nat.mod_add_mod (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
(m % n + k) % n = (m + k) % n
@[simp]
theorem Nat.add_mod_mod (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
(m + n % k) % k = (m + n) % k
theorem Nat.add_mod (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) :
(a + b) % n = (a % n + b % n) % n

### pow #

theorem Nat.pow_succ' {m : Nat} {n : Nat} :
m ^ = m * m ^ n
@[simp]
theorem Nat.pow_eq {m : Nat} {n : Nat} :
Nat.pow m n = m ^ n
theorem Nat.shiftLeft_eq (a : Nat) (b : Nat) :
a <<< b = a * 2 ^ b
theorem Nat.one_shiftLeft (n : Nat) :
1 <<< n = 2 ^ n
theorem Nat.zero_pow {n : Nat} (H : 0 < n) :
0 ^ n = 0
@[simp]
theorem Nat.one_pow (n : Nat) :
1 ^ n = 1
@[simp]
theorem Nat.pow_one (a : Nat) :
a ^ 1 = a
theorem Nat.pow_two (a : Nat) :
a ^ 2 = a * a
theorem Nat.pow_add (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) :
a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
theorem Nat.pow_add' (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) :
a ^ (m + n) = a ^ n * a ^ m
theorem Nat.pow_mul (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) :
a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n
theorem Nat.pow_mul' (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) :
a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
theorem Nat.pow_right_comm (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) :
(a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m
theorem Nat.mul_pow (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) :
(a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n
@[inline, reducible]
abbrev Nat.pow_le_pow_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n m) (i : Nat) :
n ^ i m ^ i
Equations
Instances For
@[inline, reducible]
abbrev Nat.pow_le_pow_right {n : Nat} (hx : n > 0) {i : Nat} {j : Nat} :
i jn ^ i n ^ j
Equations
Instances For
theorem Nat.one_lt_two_pow {n : Nat} (h : n 0) :
1 < 2 ^ n
@[simp]
theorem Nat.one_lt_two_pow_iff {n : Nat} :
1 < 2 ^ n n 0
theorem Nat.one_le_two_pow {n : Nat} :
1 2 ^ n
theorem Nat.pow_pos {a : Nat} {n : Nat} (h : 0 < a) :
0 < a ^ n
theorem Nat.pow_lt_pow_succ {a : Nat} {n : Nat} (h : 1 < a) :
a ^ n < a ^ (n + 1)
theorem Nat.pow_lt_pow_of_lt {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) (w : n < m) :
a ^ n < a ^ m
theorem Nat.pow_le_pow_of_le {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) (w : n m) :
a ^ n a ^ m
theorem Nat.pow_le_pow_iff_right {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) :
a ^ n a ^ m n m
theorem Nat.pow_lt_pow_iff_right {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) :
a ^ n < a ^ m n < m

### log2 #

theorem Nat.le_log2 {n : Nat} {k : Nat} (h : n 0) :
k 2 ^ k n
theorem Nat.log2_lt {n : Nat} {k : Nat} (h : n 0) :
< k n < 2 ^ k
theorem Nat.log2_self_le {n : Nat} (h : n 0) :
2 ^ n
theorem Nat.lt_log2_self {n : Nat} :
n < 2 ^ ( + 1)

### dvd #

theorem Nat.dvd_sub {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (H : n m) (h₁ : k m) (h₂ : k n) :
k m - n
theorem Nat.mul_dvd_mul {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} :
a bc da * c b * d
theorem Nat.mul_dvd_mul_left {b : Nat} {c : Nat} (a : Nat) (h : b c) :
a * b a * c
theorem Nat.mul_dvd_mul_right {a : Nat} {b : Nat} (h : a b) (c : Nat) :
a * c b * c
@[simp]
theorem Nat.dvd_one {n : Nat} :
n 1 n = 1
theorem Nat.mul_div_assoc {k : Nat} {n : Nat} (m : Nat) (H : k n) :
m * n / k = m * (n / k)
theorem Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_left {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (kpos : 0 < k) (H : k * m k * n) :
m n
theorem Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_right {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (kpos : 0 < k) (H : m * k n * k) :
m n
theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_pow_le_pow {k : Nat} {l : Nat} {x : Nat} :
0 < x(x ^ k x ^ l x ^ k x ^ l)
theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_le_right {x : Nat} {k : Nat} {l : Nat} (w : 1 < x) :
x ^ k x ^ l k l

If 1 < x, then x^k divides x^l if and only if k is at most l.

theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_le_right' {b : Nat} {k : Nat} {l : Nat} :
(b + 2) ^ k (b + 2) ^ l k l
theorem Nat.eq_mul_of_div_eq_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H1 : b a) (H2 : a / b = c) :
a = b * c
theorem Nat.div_eq_iff_eq_mul_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H : 0 < b) (H' : b a) :
a / b = c a = b * c
theorem Nat.div_eq_iff_eq_mul_left {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H : 0 < b) (H' : b a) :
a / b = c a = c * b
theorem Nat.pow_dvd_pow {m : Nat} {n : Nat} (a : Nat) (h : m n) :
a ^ m a ^ n
theorem Nat.pow_sub_mul_pow (a : Nat) {m : Nat} {n : Nat} (h : m n) :
a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n
theorem Nat.pow_dvd_of_le_of_pow_dvd {p : Nat} {m : Nat} {n : Nat} {k : Nat} (hmn : m n) (hdiv : p ^ n k) :
p ^ m k
theorem Nat.dvd_of_pow_dvd {p : Nat} {k : Nat} {m : Nat} (hk : 1 k) (hpk : p ^ k m) :
p m
theorem Nat.pow_div {x : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : n m) (hx : 0 < x) :
x ^ m / x ^ n = x ^ (m - n)

### shiftLeft and shiftRight #

@[simp]
theorem Nat.shiftLeft_zero {n : Nat} :
n <<< 0 = n
theorem Nat.shiftLeft_succ_inside (m : Nat) (n : Nat) :
m <<< (n + 1) = (2 * m) <<< n

Shiftleft on successor with multiple moved inside.

theorem Nat.shiftLeft_succ (m : Nat) (n : Nat) :
m <<< (n + 1) = 2 * m <<< n

Shiftleft on successor with multiple moved to outside.

@[simp]
theorem Nat.shiftRight_zero {n : Nat} :
n >>> 0 = n
theorem Nat.shiftRight_succ (m : Nat) (n : Nat) :
m >>> (n + 1) = m >>> n / 2
theorem Nat.shiftRight_succ_inside (m : Nat) (n : Nat) :
m >>> (n + 1) = (m / 2) >>> n

Shiftright on successor with division moved inside.

@[simp]
theorem Nat.zero_shiftLeft (n : Nat) :
0 <<< n = 0
@[simp]
theorem Nat.zero_shiftRight (n : Nat) :
0 >>> n = 0
theorem Nat.shiftRight_add (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
m >>> (n + k) = m >>> n >>> k
theorem Nat.shiftLeft_shiftLeft (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) :
m <<< n <<< k = m <<< (n + k)
theorem Nat.shiftRight_eq_div_pow (m : Nat) (n : Nat) :
m >>> n = m / 2 ^ n
theorem Nat.mul_add_div {m : Nat} (m_pos : m > 0) (x : Nat) (y : Nat) :
(m * x + y) / m = x + y / m
theorem Nat.mul_add_mod (m : Nat) (x : Nat) (y : Nat) :
(m * x + y) % m = y % m
@[simp]
theorem Nat.mod_div_self (m : Nat) (n : Nat) :
m % n / n = 0

### Decidability of predicates #

instance Nat.decidableBallLT (n : Nat) (P : (k : Nat) → k < nProp) [(n_1 : Nat) → (h : n_1 < n) → Decidable (P n_1 h)] :
Decidable (∀ (n_1 : Nat) (h : n_1 < n), P n_1 h)
Equations
• One or more equations did not get rendered due to their size.
• =
instance Nat.decidableForallFin {n : Nat} (P : Fin nProp) [] :
Decidable (∀ (i : Fin n), P i)
Equations
instance Nat.decidableBallLE (n : Nat) (P : (k : Nat) → k nProp) [(n_1 : Nat) → (h : n_1 n) → Decidable (P n_1 h)] :
Decidable (∀ (n_1 : Nat) (h : n_1 n), P n_1 h)
Equations
instance Nat.decidableExistsLT {p : } [h : ] :
DecidablePred fun (n : Nat) => ∃ (m : Nat), m < n p m
Equations
instance Nat.decidableExistsLE {p : } [] :
DecidablePred fun (n : Nat) => ∃ (m : Nat), m n p m
Equations