# Sums and products over multisets #

In this file we define products and sums indexed by multisets. This is later used to define products and sums indexed by finite sets.

## Main declarations #

• Multiset.prod: s.prod f is the product of f i over all i ∈ s. Not to be mistaken with the cartesian product Multiset.product.
• Multiset.sum: s.sum f is the sum of f i over all i ∈ s.
theorem Multiset.sum.proof_1 {α : Type u_1} [] (x : α) (y : α) (z : α) :
x + (y + z) = y + (x + z)
def Multiset.sum {α : Type u_3} [] :
α

Sum of a multiset given a commutative additive monoid structure on α. sum {a, b, c} = a + b + c

Equations
Instances For
def Multiset.prod {α : Type u_3} [] :
α

Product of a multiset given a commutative monoid structure on α. prod {a, b, c} = a * b * c

Equations
Instances For
theorem Multiset.sum_eq_foldr {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.sum = Multiset.foldr (fun (x x_1 : α) => x + x_1) 0 s
theorem Multiset.prod_eq_foldr {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.prod = Multiset.foldr (fun (x x_1 : α) => x * x_1) 1 s
theorem Multiset.sum_eq_foldl {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.sum = Multiset.foldl (fun (x x_1 : α) => x + x_1) 0 s
theorem Multiset.prod_eq_foldl {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.prod = Multiset.foldl (fun (x x_1 : α) => x * x_1) 1 s
@[simp]
theorem Multiset.sum_coe {α : Type u_3} [] (l : List α) :
(l).sum = l.sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_coe {α : Type u_3} [] (l : List α) :
(l).prod = l.prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_toList {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.toList.sum = s.sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_toList {α : Type u_3} [] (s : ) :
s.toList.prod = s.prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_zero {α : Type u_3} [] :
@[simp]
theorem Multiset.prod_zero {α : Type u_3} [] :
@[simp]
theorem Multiset.sum_cons {α : Type u_3} [] (a : α) (s : ) :
(a ::ₘ s).sum = a + s.sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_cons {α : Type u_3} [] (a : α) (s : ) :
(a ::ₘ s).prod = a * s.prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_erase {α : Type u_3} [] {s : } {a : α} [] (h : a s) :
a + (s.erase a).sum = s.sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_erase {α : Type u_3} [] {s : } {a : α} [] (h : a s) :
a * (s.erase a).prod = s.prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_map_erase {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} [] {a : ι} (h : a m) :
f a + (Multiset.map f (m.erase a)).sum = ().sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_map_erase {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} [] {a : ι} (h : a m) :
f a * (Multiset.map f (m.erase a)).prod = ().prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_singleton {α : Type u_3} [] (a : α) :
{a}.sum = a
@[simp]
theorem Multiset.prod_singleton {α : Type u_3} [] (a : α) :
{a}.prod = a
theorem Multiset.sum_pair {α : Type u_3} [] (a : α) (b : α) :
{a, b}.sum = a + b
theorem Multiset.prod_pair {α : Type u_3} [] (a : α) (b : α) :
{a, b}.prod = a * b
@[simp]
theorem Multiset.sum_add {α : Type u_3} [] (s : ) (t : ) :
(s + t).sum = s.sum + t.sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_add {α : Type u_3} [] (s : ) (t : ) :
(s + t).prod = s.prod * t.prod
theorem Multiset.sum_nsmul {α : Type u_3} [] (m : ) (n : ) :
(n m).sum = n m.sum
abbrev Multiset.sum_nsmul.match_1 (motive : ) :
∀ (x : ), (Unitmotive 0)(∀ (n : ), motive n.succ)motive x
Equations
• =
Instances For
theorem Multiset.prod_nsmul {α : Type u_3} [] (m : ) (n : ) :
(n m).prod = m.prod ^ n
theorem Multiset.sum_filter_add_sum_filter_not {α : Type u_3} [] {s : } (p : αProp) [] :
().sum + (Multiset.filter (fun (a : α) => ¬p a) s).sum = s.sum
theorem Multiset.prod_filter_mul_prod_filter_not {α : Type u_3} [] {s : } (p : αProp) [] :
().prod * (Multiset.filter (fun (a : α) => ¬p a) s).prod = s.prod
@[simp]
theorem Multiset.sum_replicate {α : Type u_3} [] (n : ) (a : α) :
().sum = n a
@[simp]
theorem Multiset.prod_replicate {α : Type u_3} [] (n : ) (a : α) :
().prod = a ^ n
theorem Multiset.sum_map_eq_nsmul_single {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} [] (i : ι) (hf : ∀ (i' : ι), i' ii' mf i' = 0) :
().sum = f i
theorem Multiset.prod_map_eq_pow_single {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} [] (i : ι) (hf : ∀ (i' : ι), i' ii' mf i' = 1) :
().prod = f i ^
theorem Multiset.sum_eq_nsmul_single {α : Type u_3} [] {s : } [] (a : α) (h : ∀ (a' : α), a' aa' sa' = 0) :
s.sum = a
theorem Multiset.prod_eq_pow_single {α : Type u_3} [] {s : } [] (a : α) (h : ∀ (a' : α), a' aa' sa' = 1) :
s.prod = a ^
theorem Multiset.sum_eq_zero {α : Type u_3} [] {s : } (h : xs, x = 0) :
s.sum = 0
theorem Multiset.prod_eq_one {α : Type u_3} [] {s : } (h : xs, x = 1) :
s.prod = 1
theorem Multiset.nsmul_count {α : Type u_3} [] {s : } [] (a : α) :
a = (Multiset.filter (Eq a) s).sum
theorem Multiset.pow_count {α : Type u_3} [] {s : } [] (a : α) :
a ^ = (Multiset.filter (Eq a) s).prod
theorem Multiset.sum_hom {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {F : Type u_6} [FunLike F α β] [] (f : F) :
(Multiset.map (f) s).sum = f s.sum
theorem Multiset.prod_hom {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {F : Type u_6} [FunLike F α β] [] (f : F) :
(Multiset.map (f) s).prod = f s.prod
theorem Multiset.sum_hom' {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {F : Type u_6} [FunLike F α β] [] (f : F) (g : ια) :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f (g i)) s).sum = f ().sum
theorem Multiset.prod_hom' {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {F : Type u_6} [FunLike F α β] [] (f : F) (g : ια) :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f (g i)) s).prod = f ().prod
theorem Multiset.sum_hom₂ {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [] [] [] (s : ) (f : αβγ) (hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a + b) (c + d) = f a c + f b d) (hf' : f 0 0 = 0) (f₁ : ια) (f₂ : ιβ) :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f (f₁ i) (f₂ i)) s).sum = f (Multiset.map f₁ s).sum (Multiset.map f₂ s).sum
theorem Multiset.prod_hom₂ {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [] [] [] (s : ) (f : αβγ) (hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d) (hf' : f 1 1 = 1) (f₁ : ια) (f₂ : ιβ) :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f (f₁ i) (f₂ i)) s).prod = f (Multiset.map f₁ s).prod (Multiset.map f₂ s).prod
theorem Multiset.sum_hom_rel {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {r : αβProp} {f : ια} {g : ιβ} (h₁ : r 0 0) (h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b cr (f a + b) (g a + c)) :
r ().sum ().sum
theorem Multiset.prod_hom_rel {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : ) {r : αβProp} {f : ια} {g : ιβ} (h₁ : r 1 1) (h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b cr (f a * b) (g a * c)) :
r ().prod ().prod
theorem Multiset.sum_map_zero {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } :
(Multiset.map (fun (x : ι) => 0) m).sum = 0
theorem Multiset.prod_map_one {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } :
(Multiset.map (fun (x : ι) => 1) m).prod = 1
@[simp]
theorem Multiset.sum_map_add {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} {g : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i + g i) m).sum = ().sum + ().sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_map_mul {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} {g : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i * g i) m).prod = ().prod * ().prod
theorem Multiset.sum_map_nsmul {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} {n : } :
(Multiset.map (fun (i : ι) => n f i) m).sum = n ().sum
theorem Multiset.prod_map_pow {ι : Type u_2} {α : Type u_3} [] {m : } {f : ια} {n : } :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i ^ n) m).prod = ().prod ^ n
theorem Multiset.sum_map_sum_map {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [] (m : ) (n : ) {f : βγα} :
(Multiset.map (fun (a : β) => (Multiset.map (fun (b : γ) => f a b) n).sum) m).sum = (Multiset.map (fun (b : γ) => (Multiset.map (fun (a : β) => f a b) m).sum) n).sum
theorem Multiset.prod_map_prod_map {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [] (m : ) (n : ) {f : βγα} :
(Multiset.map (fun (a : β) => (Multiset.map (fun (b : γ) => f a b) n).prod) m).prod = (Multiset.map (fun (b : γ) => (Multiset.map (fun (a : β) => f a b) m).prod) n).prod
theorem Multiset.sum_induction {α : Type u_3} [] (p : αProp) (s : ) (p_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a + b)) (p_one : p 0) (p_s : as, p a) :
p s.sum
theorem Multiset.prod_induction {α : Type u_3} [] (p : αProp) (s : ) (p_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a * b)) (p_one : p 1) (p_s : as, p a) :
p s.prod
theorem Multiset.sum_induction_nonempty {α : Type u_3} [] {s : } (p : αProp) (p_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a + b)) (hs : s ) (p_s : as, p a) :
p s.sum
theorem Multiset.prod_induction_nonempty {α : Type u_3} [] {s : } (p : αProp) (p_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a * b)) (hs : s ) (p_s : as, p a) :
p s.prod
theorem Multiset.prod_dvd_prod_of_le {α : Type u_3} [] {s : } {t : } (h : s t) :
s.prod t.prod
theorem map_multiset_sum {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] [FunLike F α β] [] (f : F) (s : ) :
f s.sum = (Multiset.map (f) s).sum
theorem map_multiset_prod {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] [FunLike F α β] [] (f : F) (s : ) :
f s.prod = (Multiset.map (f) s).prod
theorem AddMonoidHom.map_multiset_sum {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (f : α →+ β) (s : ) :
f s.sum = (Multiset.map (f) s).sum
theorem MonoidHom.map_multiset_prod {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (f : α →* β) (s : ) :
f s.prod = (Multiset.map (f) s).prod
theorem Multiset.dvd_prod {α : Type u_3} [] {s : } {a : α} :
a sa s.prod
theorem Multiset.fst_sum {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : Multiset (α × β)) :
s.sum.1 = (Multiset.map Prod.fst s).sum
theorem Multiset.fst_prod {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : Multiset (α × β)) :
s.prod.1 = (Multiset.map Prod.fst s).prod
theorem Multiset.snd_sum {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : Multiset (α × β)) :
s.sum.2 = (Multiset.map Prod.snd s).sum
theorem Multiset.snd_prod {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] [] (s : Multiset (α × β)) :
s.prod.2 = (Multiset.map Prod.snd s).prod
theorem Multiset.prod_dvd_prod_of_dvd {α : Type u_3} {β : Type u_4} [] {S : } (g1 : αβ) (g2 : αβ) (h : aS, g1 a g2 a) :
(Multiset.map g1 S).prod (Multiset.map g2 S).prod
def Multiset.sumAddMonoidHom {α : Type u_3} [] :
→+ α

Multiset.sum, the sum of the elements of a multiset, promoted to a morphism of AddCommMonoids.

Equations
• Multiset.sumAddMonoidHom = { toFun := Multiset.sum, map_zero' := , map_add' := }
Instances For
@[simp]
theorem Multiset.coe_sumAddMonoidHom {α : Type u_3} [] :
theorem Multiset.sum_map_neg' {α : Type u_3} (m : ) :
(Multiset.map Neg.neg m).sum = -m.sum
theorem Multiset.prod_map_inv' {α : Type u_3} (m : ) :
(Multiset.map Inv.inv m).prod = m.prod⁻¹
@[simp]
theorem Multiset.sum_map_neg {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => -f i) m).sum = -().sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_map_inv {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => (f i)⁻¹) m).prod = ().prod⁻¹
@[simp]
theorem Multiset.sum_map_sub {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} {g : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i - g i) m).sum = ().sum - ().sum
@[simp]
theorem Multiset.prod_map_div {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} {g : ια} :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i / g i) m).prod = ().prod / ().prod
theorem Multiset.sum_map_zsmul {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} {n : } :
(Multiset.map (fun (i : ι) => n f i) m).sum = n ().sum
theorem Multiset.prod_map_zpow {ι : Type u_2} {α : Type u_3} {m : } {f : ια} {n : } :
(Multiset.map (fun (i : ι) => f i ^ n) m).prod = ().prod ^ n
@[simp]
theorem Multiset.sum_map_singleton {α : Type u_3} (s : ) :
(Multiset.map (fun (a : α) => {a}) s).sum = s
theorem Multiset.sum_nat_mod (s : ) (n : ) :
s.sum % n = (Multiset.map (fun (x : ) => x % n) s).sum % n
theorem Multiset.prod_nat_mod (s : ) (n : ) :
s.prod % n = (Multiset.map (fun (x : ) => x % n) s).prod % n
theorem Multiset.sum_int_mod (s : ) (n : ) :
s.sum % n = (Multiset.map (fun (x : ) => x % n) s).sum % n
theorem Multiset.prod_int_mod (s : ) (n : ) :
s.prod % n = (Multiset.map (fun (x : ) => x % n) s).prod % n