# Locus of unequal values of finitely supported functions #

Let α N be two Types, assume that N has a 0 and let f g : α →₀ N be finitely supported functions.

## Main definition #

• Finsupp.neLocus f g : Finset α, the finite subset of α where f and g differ.

In the case in which N is an additive group, Finsupp.neLocus f g coincides with Finsupp.support (f - g).

def Finsupp.neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :

Given two finitely supported functions f g : α →₀ N, Finsupp.neLocus f g is the Finset where f and g differ. This generalizes (f - g).support to situations without subtraction.

Equations
Instances For
@[simp]
theorem Finsupp.mem_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} {a : α} :
a f.neLocus g f a g a
theorem Finsupp.not_mem_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} {a : α} :
af.neLocus g f a = g a
@[simp]
theorem Finsupp.coe_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(f.neLocus g) = {x : α | f x g x}
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_eq_empty {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} :
f.neLocus g = f = g
@[simp]
theorem Finsupp.nonempty_neLocus_iff {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} :
(f.neLocus g).Nonempty f g
theorem Finsupp.neLocus_comm {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
f.neLocus g = g.neLocus f
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_zero_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] (f : α →₀ N) :
f.neLocus 0 = f.support
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_zero_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] (f : α →₀ N) :
= f.support
theorem Finsupp.subset_mapRange_neLocus {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} [] [] [Zero N] [] [Zero M] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) {F : NM} (F0 : F 0 = 0) :
(Finsupp.mapRange F F0 f).neLocus (Finsupp.mapRange F F0 g) f.neLocus g
theorem Finsupp.zipWith_neLocus_eq_left {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {P : Type u_4} [] [] [Zero M] [] [Zero P] [Zero N] {F : MNP} (F0 : F 0 0 = 0) (f : α →₀ M) (g₁ : α →₀ N) (g₂ : α →₀ N) (hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun (g : N) => F f g) :
(Finsupp.zipWith F F0 f g₁).neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f g₂) = g₁.neLocus g₂
theorem Finsupp.zipWith_neLocus_eq_right {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {P : Type u_4} [] [] [Zero M] [] [Zero P] [Zero N] {F : MNP} (F0 : F 0 0 = 0) (f₁ : α →₀ M) (f₂ : α →₀ M) (g : α →₀ N) (hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun (f : M) => F f g) :
(Finsupp.zipWith F F0 f₁ g).neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f₂ g) = f₁.neLocus f₂
theorem Finsupp.mapRange_neLocus_eq {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} [] [] [] [Zero M] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) {F : NM} (F0 : F 0 = 0) (hF : ) :
(Finsupp.mapRange F F0 f).neLocus (Finsupp.mapRange F F0 g) = f.neLocus g
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_add_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) (h : α →₀ N) :
(f + g).neLocus (f + h) = g.neLocus h
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_add_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) (h : α →₀ N) :
(f + h).neLocus (g + h) = f.neLocus g
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_neg_neg {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(-f).neLocus (-g) = f.neLocus g
theorem Finsupp.neLocus_neg {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
theorem Finsupp.neLocus_eq_support_sub {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
f.neLocus g = (f - g).support
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_sub_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g₁ : α →₀ N) (g₂ : α →₀ N) :
(f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_sub_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f₁ : α →₀ N) (f₂ : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_self_add_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
f.neLocus (f + g) = g.support
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_self_add_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(f + g).neLocus f = g.support
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_self_sub_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
f.neLocus (f - g) = g.support
@[simp]
theorem Finsupp.neLocus_self_sub_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [] [] [] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) :
(f - g).neLocus f = g.support