Locus of unequal values of finitely supported functions

Let α N be two Types, assume that N has a 0 and let f g : α →₀ N be finitely supported functions.

Main definition

• Finsupp.neLocus f g : Finset α, the finite subset of α where f and g differ.

In the case in which N is an additive group, Finsupp.neLocus f g coincides with Finsupp.support (f - g).

def Finsupp.neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finset α

Given two finitely supported functions f g : α →₀ N, Finsupp.neLocus f g is the Finset where f and g differ. This generalizes (f - g).support to situations without subtraction.

Equations

• Finsupp.neLocus f g = Finset.filter (fun (x : α) => f x ≠ g x) (f.support ∪ g.support)

@[simp]

theorem Finsupp.mem_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} {a : α} : a ∈ Finsupp.neLocus f g ↔ f a ≠ g a

theorem Finsupp.not_mem_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} {a : α} : a ∉ Finsupp.neLocus f g ↔ f a = g a

@[simp]

theorem Finsupp.coe_neLocus {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : ↑(Finsupp.neLocus f g) = {x : α | f x ≠ g x}

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_eq_empty {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} : Finsupp.neLocus f g = ∅ ↔ f = g

@[simp]

theorem Finsupp.nonempty_neLocus_iff {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] {f : α →₀ N} {g : α →₀ N} : (Finsupp.neLocus f g).Nonempty ↔ f ≠ g

theorem Finsupp.neLocus_comm {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus f g = Finsupp.neLocus g f

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_zero_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] (f : α →₀ N) : Finsupp.neLocus f 0 = f.support

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_zero_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] (f : α →₀ N) : Finsupp.neLocus 0 f = f.support

theorem Finsupp.subset_mapRange_neLocus {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero N] [DecidableEq M] [Zero M] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) {F : N → M} (F0 : F 0 = 0) : Finsupp.neLocus (Finsupp.mapRange F F0 f) (Finsupp.mapRange F F0 g) ⊆ Finsupp.neLocus f g

theorem Finsupp.zipWith_neLocus_eq_left {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {P : Type u_4} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [Zero M] [DecidableEq P] [Zero P] [Zero N] {F : M → N → P} (F0 : F 0 0 = 0) (f : α →₀ M) (g₁ : α →₀ N) (g₂ : α →₀ N) (hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun (g : N) => F f g) : Finsupp.neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f g₁) (Finsupp.zipWith F F0 f g₂) = Finsupp.neLocus g₁ g₂

theorem Finsupp.zipWith_neLocus_eq_right {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} {P : Type u_4} [DecidableEq α] [DecidableEq M] [Zero M] [DecidableEq P] [Zero P] [Zero N] {F : M → N → P} (F0 : F 0 0 = 0) (f₁ : α →₀ M) (f₂ : α →₀ M) (g : α →₀ N) (hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun (f : M) => F f g) : Finsupp.neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f₁ g) (Finsupp.zipWith F F0 f₂ g) = Finsupp.neLocus f₁ f₂

theorem Finsupp.mapRange_neLocus_eq {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [DecidableEq M] [Zero M] [Zero N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) {F : N → M} (F0 : F 0 = 0) (hF : Function.Injective F) : Finsupp.neLocus (Finsupp.mapRange F F0 f) (Finsupp.mapRange F F0 g) = Finsupp.neLocus f g

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_add_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddLeftCancelMonoid N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) (h : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f + g) (f + h) = Finsupp.neLocus g h

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_add_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddRightCancelMonoid N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) (h : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f + h) (g + h) = Finsupp.neLocus f g

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_neg_neg {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (-f) (-g) = Finsupp.neLocus f g

theorem Finsupp.neLocus_neg {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (-f) g = Finsupp.neLocus f (-g)

theorem Finsupp.neLocus_eq_support_sub {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus f g = (f - g).support

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_sub_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g₁ : α →₀ N) (g₂ : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f - g₁) (f - g₂) = Finsupp.neLocus g₁ g₂

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_sub_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f₁ : α →₀ N) (f₂ : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f₁ - g) (f₂ - g) = Finsupp.neLocus f₁ f₂

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_self_add_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus f (f + g) = g.support

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_self_add_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f + g) f = g.support

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_self_sub_right {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus f (f - g) = g.support

@[simp]

theorem Finsupp.neLocus_self_sub_left {α : Type u_1} {N : Type u_3} [DecidableEq α] [DecidableEq N] [AddGroup N] (f : α →₀ N) (g : α →₀ N) : Finsupp.neLocus (f - g) f = g.support