Products (respectively, sums) over a finset or a multiset. #
The regular Finset.prod and Multiset.prod require [CommMonoid α].
Often, there are collections s : Finset α where [Monoid α] and we know,
in a dependent fashion, that for all the terms ∀ (x ∈ s) (y ∈ s), Commute x y.
This allows to still have a well-defined product over s.
Main definitions #
Finset.noncommProd, requiring a proof of commutativity of held termsMultiset.noncommProd, requiring a proof of commutativity of held terms
Implementation details #
While List.prod is defined via List.foldl, noncommProd is defined via
Multiset.foldr for neater proofs and definitions. By the commutativity assumption,
the two must be equal.
TODO: Tidy up this file by using the fact that the submonoid generated by commuting
elements is commutative and using the Finset.prod versions of lemmas to prove the noncommProd
version.
def
Multiset.noncommFoldr
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
(f : α → β → β)
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b))
(b : β)
:
β
Fold of a s : Multiset α with f : α → β → β, given a proof that LeftCommutative f
on all elements x ∈ s.
Instances For
@[simp]
theorem
Multiset.noncommFoldr_coe
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
(f : α → β → β)
(l : List α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ ↑l} fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b))
(b : β)
:
Multiset.noncommFoldr f (↑l) comm b = List.foldr f b l
@[simp]
theorem
Multiset.noncommFoldr_empty
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
(f : α → β → β)
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ 0} fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b))
(b : β)
:
Multiset.noncommFoldr f 0 h b = b
theorem
Multiset.noncommFoldr_cons
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
(f : α → β → β)
(s : Multiset α)
(a : α)
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b))
(h' : Set.Pairwise {x | x ∈ s} fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b))
(b : β)
:
Multiset.noncommFoldr f (a ::ₘ s) h b = f a (Multiset.noncommFoldr f s h' b)
theorem
Multiset.noncommFoldr_eq_foldr
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
(f : α → β → β)
(s : Multiset α)
(h : LeftCommutative f)
(b : β)
:
Multiset.noncommFoldr f s (fun x x_1 y x_2 x_3 => h x y) b = Multiset.foldr f h b s
def
Multiset.noncommFold
{α : Type u_3}
(op : α → α → α)
[assoc : IsAssociative α op]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} fun x y => op x y = op y x)
:
α → α
Fold of a s : Multiset α with an associative op : α → α → α, given a proofs that op
is commutative on all elements x ∈ s.
Instances For
@[simp]
theorem
Multiset.noncommFold_coe
{α : Type u_3}
(op : α → α → α)
[assoc : IsAssociative α op]
(l : List α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ ↑l} fun x y => op x y = op y x)
(a : α)
:
Multiset.noncommFold op (↑l) comm a = List.foldr op a l
@[simp]
theorem
Multiset.noncommFold_empty
{α : Type u_3}
(op : α → α → α)
[assoc : IsAssociative α op]
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ 0} fun x y => op x y = op y x)
(a : α)
:
Multiset.noncommFold op 0 h a = a
theorem
Multiset.noncommFold_cons
{α : Type u_3}
(op : α → α → α)
[assoc : IsAssociative α op]
(s : Multiset α)
(a : α)
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} fun x y => op x y = op y x)
(h' : Set.Pairwise {x | x ∈ s} fun x y => op x y = op y x)
(x : α)
:
Multiset.noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (Multiset.noncommFold op s h' x)
theorem
Multiset.noncommFold_eq_fold
{α : Type u_3}
(op : α → α → α)
[assoc : IsAssociative α op]
(s : Multiset α)
[IsCommutative α op]
(a : α)
:
Multiset.noncommFold op s (_ : ∀ (x : α), x ∈ {x | x ∈ s} → ∀ (y : α), y ∈ {x | x ∈ s} → x ≠ y → op x y = op y x) a = Multiset.fold op a s
def
Multiset.noncommSum
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
:
α
Sum of a s : Multiset α with [AddMonoid α], given a proof that + commutes
on all elements x ∈ s.
Instances For
theorem
Multiset.noncommSum.proof_1
{α : Type u_1}
[AddMonoid α]
:
IsAssociative α fun x x_1 => x + x_1
def
Multiset.noncommProd
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
:
α
Product of a s : Multiset α with [Monoid α], given a proof that * commutes
on all elements x ∈ s.
Instances For
@[simp]
theorem
Multiset.noncommSum_coe
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(l : List α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ ↑l} AddCommute)
:
Multiset.noncommSum (↑l) comm = List.sum l
@[simp]
theorem
Multiset.noncommProd_coe
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(l : List α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ ↑l} Commute)
:
Multiset.noncommProd (↑l) comm = List.prod l
@[simp]
theorem
Multiset.noncommSum_empty
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ 0} AddCommute)
:
Multiset.noncommSum 0 h = 0
@[simp]
theorem
Multiset.noncommProd_empty
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(h : Set.Pairwise {x | x ∈ 0} Commute)
:
Multiset.noncommProd 0 h = 1
@[simp]
theorem
Multiset.noncommSum_cons
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(a : α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} AddCommute)
:
Multiset.noncommSum (a ::ₘ s) comm = a + Multiset.noncommSum s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
@[simp]
theorem
Multiset.noncommProd_cons
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(a : α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} Commute)
:
Multiset.noncommProd (a ::ₘ s) comm = a * Multiset.noncommProd s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
theorem
Multiset.noncommSum_cons'
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(a : α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} AddCommute)
:
Multiset.noncommSum (a ::ₘ s) comm = Multiset.noncommSum s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute) + a
theorem
Multiset.noncommProd_cons'
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(a : α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ a ::ₘ s} Commute)
:
Multiset.noncommProd (a ::ₘ s) comm = Multiset.noncommProd s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute) * a
theorem
Multiset.noncommSum_add
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(t : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s + t} AddCommute)
:
Multiset.noncommSum (s + t) comm = Multiset.noncommSum s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute) + Multiset.noncommSum t (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ t} AddCommute)
theorem
Multiset.noncommProd_add
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(t : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s + t} Commute)
:
Multiset.noncommProd (s + t) comm = Multiset.noncommProd s (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute) * Multiset.noncommProd t (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ t} Commute)
theorem
Multiset.noncommSum_map_aux
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid α]
[AddMonoid β]
[AddMonoidHomClass F α β]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
(f : F)
:
Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map (↑f) s} AddCommute
theorem
Multiset.noncommProd_map_aux
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid α]
[Monoid β]
[MonoidHomClass F α β]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
(f : F)
:
Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map (↑f) s} Commute
theorem
Multiset.noncommSum_map
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid α]
[AddMonoid β]
[AddMonoidHomClass F α β]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
(f : F)
:
↑f (Multiset.noncommSum s comm) = Multiset.noncommSum (Multiset.map (↑f) s) (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map (↑f) s} AddCommute)
theorem
Multiset.noncommProd_map
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid α]
[Monoid β]
[MonoidHomClass F α β]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
(f : F)
:
↑f (Multiset.noncommProd s comm) = Multiset.noncommProd (Multiset.map (↑f) s) (_ : Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map (↑f) s} Commute)
theorem
Multiset.noncommSum_eq_card_nsmul
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
(m : α)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → x = m)
:
Multiset.noncommSum s comm = ↑Multiset.card s • m
theorem
Multiset.noncommProd_eq_pow_card
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
(m : α)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → x = m)
:
Multiset.noncommProd s comm = m ^ ↑Multiset.card s
theorem
Multiset.noncommSum_eq_sum
{α : Type u_6}
[AddCommMonoid α]
(s : Multiset α)
:
Multiset.noncommSum s (_ : ∀ (x : α), x ∈ {x | x ∈ s} → ∀ (x_2 : α), x_2 ∈ {x | x ∈ s} → x ≠ x_2 → AddCommute x x_2) = Multiset.sum s
theorem
Multiset.noncommProd_eq_prod
{α : Type u_6}
[CommMonoid α]
(s : Multiset α)
:
Multiset.noncommProd s (_ : ∀ (x : α), x ∈ {x | x ∈ s} → ∀ (x_2 : α), x_2 ∈ {x | x ∈ s} → x ≠ x_2 → Commute x x_2) = Multiset.prod s
theorem
Multiset.noncommSum_addCommute
{α : Type u_3}
[AddMonoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} AddCommute)
(y : α)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → AddCommute y x)
:
AddCommute y (Multiset.noncommSum s comm)
theorem
Multiset.noncommProd_commute
{α : Type u_3}
[Monoid α]
(s : Multiset α)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s} Commute)
(y : α)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → Commute y x)
:
Commute y (Multiset.noncommProd s comm)
theorem
Finset.noncommSum_lemma
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
:
Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map f s.val} AddCommute
theorem
Finset.noncommProd_lemma
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
:
Set.Pairwise {x | x ∈ Multiset.map f s.val} Commute
Proof used in definition of Finset.noncommProd
def
Finset.noncommSum
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
:
β
Sum of a s : Finset α mapped with f : α → β with [AddMonoid β],
given a proof that + commutes on all elements f x for x ∈ s.
Instances For
def
Finset.noncommProd
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
:
β
Product of a s : Finset α mapped with f : α → β with [Monoid β],
given a proof that * commutes on all elements f x for x ∈ s.
Instances For
theorem
Finset.noncommSum_congr
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
{s₁ : Finset α}
{s₂ : Finset α}
{f : α → β}
{g : α → β}
(h₁ : s₁ = s₂)
(h₂ : ∀ (x : α), x ∈ s₂ → f x = g x)
(comm : Set.Pairwise ↑s₁ fun a b => AddCommute (f a) (f b))
:
Finset.noncommSum s₁ f comm = Finset.noncommSum s₂ g (_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s₂ → ∀ (y : α), y ∈ ↑s₂ → x ≠ y → (fun a b => AddCommute (g a) (g b)) x y)
theorem
Finset.noncommProd_congr
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
{s₁ : Finset α}
{s₂ : Finset α}
{f : α → β}
{g : α → β}
(h₁ : s₁ = s₂)
(h₂ : ∀ (x : α), x ∈ s₂ → f x = g x)
(comm : Set.Pairwise ↑s₁ fun a b => Commute (f a) (f b))
:
Finset.noncommProd s₁ f comm = Finset.noncommProd s₂ g (_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s₂ → ∀ (y : α), y ∈ ↑s₂ → x ≠ y → (fun a b => Commute (g a) (g b)) x y)
@[simp]
theorem
Finset.noncommSum_toFinset
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
[DecidableEq α]
(l : List α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(List.toFinset l) fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(hl : List.Nodup l)
:
Finset.noncommSum (List.toFinset l) f comm = List.sum (List.map f l)
@[simp]
theorem
Finset.noncommProd_toFinset
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
[DecidableEq α]
(l : List α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(List.toFinset l) fun a b => Commute (f a) (f b))
(hl : List.Nodup l)
:
Finset.noncommProd (List.toFinset l) f comm = List.prod (List.map f l)
@[simp]
theorem
Finset.noncommSum_empty
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(f : α → β)
(h : Set.Pairwise ↑∅ fun a b => AddCommute (f a) (f b))
:
Finset.noncommSum ∅ f h = 0
@[simp]
theorem
Finset.noncommProd_empty
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(f : α → β)
(h : Set.Pairwise ↑∅ fun a b => Commute (f a) (f b))
:
Finset.noncommProd ∅ f h = 1
@[simp]
theorem
Finset.noncommSum_insert_of_not_mem
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
[DecidableEq α]
(s : Finset α)
(a : α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(insert a s) fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(ha : ¬a ∈ s)
:
Finset.noncommSum (insert a s) f comm = f a + Finset.noncommSum s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
@[simp]
theorem
Finset.noncommProd_insert_of_not_mem
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
[DecidableEq α]
(s : Finset α)
(a : α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(insert a s) fun a b => Commute (f a) (f b))
(ha : ¬a ∈ s)
:
Finset.noncommProd (insert a s) f comm = f a * Finset.noncommProd s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
theorem
Finset.noncommSum_insert_of_not_mem'
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
[DecidableEq α]
(s : Finset α)
(a : α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(insert a s) fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(ha : ¬a ∈ s)
:
Finset.noncommSum (insert a s) f comm = Finset.noncommSum s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b)) + f a
theorem
Finset.noncommProd_insert_of_not_mem'
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
[DecidableEq α]
(s : Finset α)
(a : α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑(insert a s) fun a b => Commute (f a) (f b))
(ha : ¬a ∈ s)
:
Finset.noncommProd (insert a s) f comm = Finset.noncommProd s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b)) * f a
@[simp]
theorem
Finset.noncommSum_singleton
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(a : α)
(f : α → β)
:
Finset.noncommSum {a} f (_ : Set.Pairwise ↑{a} fun a b => AddCommute (f a) (f b)) = f a
@[simp]
theorem
Finset.noncommProd_singleton
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(a : α)
(f : α → β)
:
Finset.noncommProd {a} f (_ : Set.Pairwise ↑{a} fun a b => Commute (f a) (f b)) = f a
theorem
Finset.noncommSum_map
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
{γ : Type u_5}
[AddMonoid β]
[AddMonoid γ]
[AddMonoidHomClass F β γ]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(g : F)
:
↑g (Finset.noncommSum s f comm) = Finset.noncommSum s (fun i => ↑g (f i))
(_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s → ∀ (y : α), y ∈ ↑s → x ≠ y → AddCommute (↑g (f x)) (↑g (f y)))
theorem
Finset.noncommProd_map
{F : Type u_1}
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
{γ : Type u_5}
[Monoid β]
[Monoid γ]
[MonoidHomClass F β γ]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
(g : F)
:
↑g (Finset.noncommProd s f comm) = Finset.noncommProd s (fun i => ↑g (f i))
(_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s → ∀ (y : α), y ∈ ↑s → x ≠ y → Commute (↑g (f x)) (↑g (f y)))
theorem
Finset.noncommSum_eq_card_nsmul
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(m : β)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → f x = m)
:
Finset.noncommSum s f comm = Finset.card s • m
theorem
Finset.noncommProd_eq_pow_card
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
(m : β)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → f x = m)
:
Finset.noncommProd s f comm = m ^ Finset.card s
theorem
Finset.noncommSum_addCommute
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b))
(y : β)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → AddCommute y (f x))
:
AddCommute y (Finset.noncommSum s f comm)
theorem
Finset.noncommProd_commute
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b))
(y : β)
(h : ∀ (x : α), x ∈ s → Commute y (f x))
:
Commute y (Finset.noncommProd s f comm)
theorem
Finset.noncommSum_eq_sum
{α : Type u_3}
{β : Type u_6}
[AddCommMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
:
Finset.noncommSum s f (_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s → ∀ (x_2 : α), x_2 ∈ ↑s → x ≠ x_2 → AddCommute (f x) (f x_2)) = Finset.sum s f
theorem
Finset.noncommProd_eq_prod
{α : Type u_3}
{β : Type u_6}
[CommMonoid β]
(s : Finset α)
(f : α → β)
:
Finset.noncommProd s f (_ : ∀ (x : α), x ∈ ↑s → ∀ (x_2 : α), x_2 ∈ ↑s → x ≠ x_2 → Commute (f x) (f x_2)) = Finset.prod s f
theorem
Finset.noncommSum_union_of_disjoint
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
[DecidableEq α]
{s : Finset α}
{t : Finset α}
(h : Disjoint s t)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s ∪ t} fun a b => AddCommute (f a) (f b))
:
Finset.noncommSum (s ∪ t) f comm = Finset.noncommSum s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => AddCommute (f a) (f b)) + Finset.noncommSum t f (_ : Set.Pairwise ↑t fun a b => AddCommute (f a) (f b))
The non-commutative version of Finset.sum_union
theorem
Finset.noncommProd_union_of_disjoint
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
[DecidableEq α]
{s : Finset α}
{t : Finset α}
(h : Disjoint s t)
(f : α → β)
(comm : Set.Pairwise {x | x ∈ s ∪ t} fun a b => Commute (f a) (f b))
:
Finset.noncommProd (s ∪ t) f comm = Finset.noncommProd s f (_ : Set.Pairwise ↑s fun a b => Commute (f a) (f b)) * Finset.noncommProd t f (_ : Set.Pairwise ↑t fun a b => Commute (f a) (f b))
The non-commutative version of Finset.prod_union
theorem
Finset.noncommSum_add_distrib_aux
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
{s : Finset α}
{f : α → β}
{g : α → β}
(comm_ff : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (f x) (f y))
(comm_gg : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (g x) (g y))
(comm_gf : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (g x) (f y))
:
Set.Pairwise ↑s fun x y =>
AddCommute (((α → β) + (α → β)) (α → β) instHAdd f g x) (((α → β) + (α → β)) (α → β) instHAdd f g y)
theorem
Finset.noncommProd_mul_distrib_aux
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
{s : Finset α}
{f : α → β}
{g : α → β}
(comm_ff : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (f x) (f y))
(comm_gg : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (g x) (g y))
(comm_gf : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (g x) (f y))
:
theorem
Finset.noncommSum_add_distrib
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[AddMonoid β]
{s : Finset α}
(f : α → β)
(g : α → β)
(comm_ff : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (f x) (f y))
(comm_gg : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (g x) (g y))
(comm_gf : Set.Pairwise ↑s fun x y => AddCommute (g x) (f y))
:
Finset.noncommSum s (f + g)
(_ :
Set.Pairwise ↑s fun x y =>
AddCommute (((α → β) + (α → β)) (α → β) instHAdd f g x) (((α → β) + (α → β)) (α → β) instHAdd f g y)) = Finset.noncommSum s f comm_ff + Finset.noncommSum s g comm_gg
The non-commutative version of Finset.sum_add_distrib
theorem
Finset.noncommProd_mul_distrib
{α : Type u_3}
{β : Type u_4}
[Monoid β]
{s : Finset α}
(f : α → β)
(g : α → β)
(comm_ff : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (f x) (f y))
(comm_gg : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (g x) (g y))
(comm_gf : Set.Pairwise ↑s fun x y => Commute (g x) (f y))
:
Finset.noncommProd s (f * g)
(_ :
Set.Pairwise ↑s fun x y =>
Commute (((α → β) * (α → β)) (α → β) instHMul f g x) (((α → β) * (α → β)) (α → β) instHMul f g y)) = Finset.noncommProd s f comm_ff * Finset.noncommProd s g comm_gg
The non-commutative version of Finset.prod_mul_distrib
theorem
Finset.noncommSum_single
{ι : Type u_2}
{M : ι → Type u_6}
[(i : ι) → AddMonoid (M i)]
[Fintype ι]
[DecidableEq ι]
(x : (i : ι) → M i)
:
Finset.noncommSum Finset.univ (fun i => Pi.single i (x i))
(_ :
∀ (i : ι),
i ∈ ↑Finset.univ → ∀ (j : ι), j ∈ ↑Finset.univ → i ≠ j → AddCommute (Pi.single i (x i)) (Pi.single j (x j))) = x
theorem
Finset.noncommProd_mul_single
{ι : Type u_2}
{M : ι → Type u_6}
[(i : ι) → Monoid (M i)]
[Fintype ι]
[DecidableEq ι]
(x : (i : ι) → M i)
:
Finset.noncommProd Finset.univ (fun i => Pi.mulSingle i (x i))
(_ :
∀ (i : ι),
i ∈ ↑Finset.univ →
∀ (j : ι), j ∈ ↑Finset.univ → i ≠ j → Commute (Pi.mulSingle i (x i)) (Pi.mulSingle j (x j))) = x
theorem
MonoidHom.pi_ext
{ι : Type u_2}
{γ : Type u_5}
[Monoid γ]
{M : ι → Type u_6}
[(i : ι) → Monoid (M i)]
[Finite ι]
[DecidableEq ι]
{f : ((i : ι) → M i) →* γ}
{g : ((i : ι) → M i) →* γ}
(h : ∀ (i : ι) (x : M i), ↑f (Pi.mulSingle i x) = ↑g (Pi.mulSingle i x))
:
f = g