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algebra.indicator_function

# Indicator function #

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• `indicator (s : set α) (f : α → β) (a : α)` is `f a` if `a ∈ s` and is `0` otherwise.
• `mul_indicator (s : set α) (f : α → β) (a : α)` is `f a` if `a ∈ s` and is `1` otherwise.

## Implementation note #

In mathematics, an indicator function or a characteristic function is a function used to indicate membership of an element in a set `s`, having the value `1` for all elements of `s` and the value `0` otherwise. But since it is usually used to restrict a function to a certain set `s`, we let the indicator function take the value `f x` for some function `f`, instead of `1`. If the usual indicator function is needed, just set `f` to be the constant function `λx, 1`.

The indicator function is implemented non-computably, to avoid having to pass around `decidable` arguments. This is in contrast with the design of `pi.single` or `set.piecewise`.

## Tags #

indicator, characteristic

noncomputable def set.indicator {α : Type u_1} {M : Type u_2} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) :
α M

`indicator s f a` is `f a` if `a ∈ s`, `0` otherwise.

Equations
noncomputable def set.mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) :
α M

`mul_indicator s f a` is `f a` if `a ∈ s`, `1` otherwise.

Equations
@[simp]
theorem set.piecewise_eq_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] :
s.piecewise f 1 =
@[simp]
theorem set.piecewise_eq_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] :
theorem set.mul_indicator_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) (a : α) [decidable (a s)] :
a = ite (a s) (f a) 1
theorem set.indicator_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) (a : α) [decidable (a s)] :
s.indicator f a = ite (a s) (f a) 0
@[simp]
theorem set.indicator_of_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {a : α} (h : a s) (f : α M) :
s.indicator f a = f a
@[simp]
theorem set.mul_indicator_of_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {a : α} (h : a s) (f : α M) :
a = f a
@[simp]
theorem set.indicator_of_not_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {a : α} (h : a s) (f : α M) :
s.indicator f a = 0
@[simp]
theorem set.mul_indicator_of_not_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {a : α} (h : a s) (f : α M) :
a = 1
theorem set.indicator_eq_zero_or_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) (a : α) :
s.indicator f a = 0 s.indicator f a = f a
theorem set.mul_indicator_eq_one_or_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) (a : α) :
a = 1 a = f a
@[simp]
theorem set.indicator_apply_eq_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
s.indicator f a = f a a s f a = 0
@[simp]
theorem set.mul_indicator_apply_eq_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
a = f a a s f a = 1
@[simp]
theorem set.mul_indicator_eq_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
= f
@[simp]
theorem set.indicator_eq_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
s.indicator f = f
theorem set.indicator_eq_self_of_superset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s t : set α} {f : α M} (h1 : s.indicator f = f) (h2 : s t) :
t.indicator f = f
theorem set.mul_indicator_eq_self_of_superset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s t : set α} {f : α M} (h1 : = f) (h2 : s t) :
= f
@[simp]
theorem set.mul_indicator_apply_eq_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
a = 1 a s f a = 1
@[simp]
theorem set.indicator_apply_eq_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
s.indicator f a = 0 a s f a = 0
@[simp]
theorem set.indicator_eq_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
(s.indicator f = λ (x : α), 0) s
@[simp]
theorem set.mul_indicator_eq_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
(s.mul_indicator f = λ (x : α), 1)
@[simp]
theorem set.indicator_eq_zero' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
s.indicator f = 0 s
@[simp]
theorem set.mul_indicator_eq_one' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
= 1
theorem set.mul_indicator_apply_ne_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
a 1 a
theorem set.indicator_apply_ne_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} :
s.indicator f a 0 a
@[simp]
theorem set.mul_support_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
@[simp]
theorem set.support_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
=
theorem set.mem_of_indicator_ne_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} (h : s.indicator f a 0) :
a s

If an additive indicator function is not equal to `0` at a point, then that point is in the set.

theorem set.mem_of_mul_indicator_ne_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} (h : a 1) :
a s

If a multiplicative indicator function is not equal to `1` at a point, then that point is in the set.

theorem set.eq_on_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
theorem set.eq_on_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
theorem set.support_indicator_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} :
s
theorem set.mul_support_mul_indicator_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} :
@[simp]
theorem set.mul_indicator_mul_support {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {f : α M} :
@[simp]
theorem set.indicator_support {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {f : α M} :
= f
@[simp]
theorem set.mul_indicator_range_comp {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {ι : Sort u_2} (f : ι α) (g : α M) :
g f = g f
@[simp]
theorem set.indicator_range_comp {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {ι : Sort u_2} (f : ι α) (g : α M) :
theorem set.indicator_congr {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f g : α M} (h : g s) :
theorem set.mul_indicator_congr {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f g : α M} (h : g s) :
=
@[simp]
theorem set.indicator_univ {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (f : α M) :
@[simp]
theorem set.mul_indicator_univ {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (f : α M) :
@[simp]
theorem set.mul_indicator_empty {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (f : α M) :
= λ (a : α), 1
@[simp]
theorem set.indicator_empty {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (f : α M) :
= λ (a : α), 0
theorem set.indicator_empty' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (f : α M) :
= 0
theorem set.mul_indicator_empty' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (f : α M) :
= 1
@[simp]
theorem set.indicator_zero {α : Type u_1} (M : Type u_4) [has_zero M] (s : set α) :
s.indicator (λ (x : α), 0) = λ (x : α), 0
@[simp]
theorem set.mul_indicator_one {α : Type u_1} (M : Type u_4) [has_one M] (s : set α) :
s.mul_indicator (λ (x : α), 1) = λ (x : α), 1
@[simp]
theorem set.indicator_zero' {α : Type u_1} (M : Type u_4) [has_zero M] {s : set α} :
s.indicator 0 = 0
@[simp]
theorem set.mul_indicator_one' {α : Type u_1} (M : Type u_4) [has_one M] {s : set α} :
= 1
theorem set.mul_indicator_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s t : set α) (f : α M) :
theorem set.indicator_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s t : set α) (f : α M) :
@[simp]
theorem set.mul_indicator_inter_mul_support {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) :
f =
@[simp]
theorem set.indicator_inter_support {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) :
theorem set.comp_mul_indicator {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_one M] (h : M β) (f : α M) {s : set α} {x : α} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] :
h (s.mul_indicator f x) = s.piecewise (h f) (h 1)) x
theorem set.comp_indicator {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_zero M] (h : M β) (f : α M) {s : set α} {x : α} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] :
h (s.indicator f x) = s.piecewise (h f) (h 0)) x
theorem set.mul_indicator_comp_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} (f : β α) {g : α M} {x : β} :
(f ⁻¹' s).mul_indicator (g f) x = (f x)
theorem set.indicator_comp_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} (f : β α) {g : α M} {x : β} :
(f ⁻¹' s).indicator (g f) x = s.indicator g (f x)
theorem set.indicator_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : β M} {g : α β} (hg : function.injective g) {x : α} :
(g '' s).indicator f (g x) = s.indicator (f g) x
theorem set.mul_indicator_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : β M} {g : α β} (hg : function.injective g) {x : α} :
(g '' s).mul_indicator f (g x) = s.mul_indicator (f g) x
theorem set.mul_indicator_comp_of_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [has_one M] [has_one N] {s : set α} {f : α M} {g : M N} (hg : g 1 = 1) :
s.mul_indicator (g f) = g
theorem set.indicator_comp_of_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [has_zero M] [has_zero N] {s : set α} {f : α M} {g : M N} (hg : g 0 = 0) :
s.indicator (g f) = g s.indicator f
theorem set.comp_indicator_const {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [has_zero M] [has_zero N] {s : set α} (c : M) (f : M N) (hf : f 0 = 0) :
(λ (x : α), f (s.indicator (λ (x : α), c) x)) = s.indicator (λ (x : α), f c)
theorem set.comp_mul_indicator_const {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [has_one M] [has_one N] {s : set α} (c : M) (f : M N) (hf : f 1 = 1) :
(λ (x : α), f (s.mul_indicator (λ (x : α), c) x)) = s.mul_indicator (λ (x : α), f c)
theorem set.mul_indicator_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) (B : set M) :
⁻¹' B = s.ite (f ⁻¹' B) (1 ⁻¹' B)
theorem set.indicator_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) (B : set M) :
s.indicator f ⁻¹' B = s.ite (f ⁻¹' B) (0 ⁻¹' B)
theorem set.indicator_zero_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {t : set α} (s : set M) :
theorem set.mul_indicator_one_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {t : set α} (s : set M) :
theorem set.mul_indicator_const_preimage_eq_union {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (U : set α) (s : set M) (a : M) [decidable (a s)] [decidable (1 s)] :
U.mul_indicator (λ (x : α), a) ⁻¹' s = ite (a s) U ite (1 s) U
theorem set.indicator_const_preimage_eq_union {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (U : set α) (s : set M) (a : M) [decidable (a s)] [decidable (0 s)] :
U.indicator (λ (x : α), a) ⁻¹' s = ite (a s) U ite (0 s) U
theorem set.indicator_const_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (U : set α) (s : set M) (a : M) :
U.indicator (λ (x : α), a) ⁻¹' s {set.univ, U, U, }
theorem set.mul_indicator_const_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (U : set α) (s : set M) (a : M) :
U.mul_indicator (λ (x : α), a) ⁻¹' s {set.univ, U, U, }
theorem set.indicator_one_preimage {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] [has_zero M] (U : set α) (s : set M) :
theorem set.mul_indicator_preimage_of_not_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] (s : set α) (f : α M) {t : set M} (ht : 1 t) :
⁻¹' t = f ⁻¹' t s
theorem set.indicator_preimage_of_not_mem {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] (s : set α) (f : α M) {t : set M} (ht : 0 t) :
theorem set.mem_range_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {r : M} {s : set α} {f : α M} :
r set.range (s.indicator f) r = 0 r f '' s
theorem set.mem_range_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {r : M} {s : set α} {f : α M} :
theorem set.mul_indicator_rel_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f g : α M} {a : α} {r : M M Prop} (h1 : r 1 1) (ha : a s r (f a) (g a)) :
r (s.mul_indicator f a) (s.mul_indicator g a)
theorem set.indicator_rel_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f g : α M} {a : α} {r : M M Prop} (h1 : r 0 0) (ha : a s r (f a) (g a)) :
r (s.indicator f a) (s.indicator g a)
theorem set.mul_indicator_union_mul_inter_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (f : α M) (s t : set α) (a : α) :
(s t).mul_indicator f a * (s t).mul_indicator f a = a * a
theorem set.indicator_union_add_inter_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (f : α M) (s t : set α) (a : α) :
(s t).indicator f a + (s t).indicator f a = s.indicator f a + t.indicator f a
theorem set.indicator_union_add_inter {α : Type u_1} {M : Type u_4} (f : α M) (s t : set α) :
(s t).indicator f + (s t).indicator f = s.indicator f + t.indicator f
theorem set.mul_indicator_union_mul_inter {α : Type u_1} {M : Type u_4} (f : α M) (s t : set α) :
theorem set.mul_indicator_union_of_not_mem_inter {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s t : set α} {a : α} (h : a s t) (f : α M) :
(s t).mul_indicator f a = a * a
theorem set.indicator_union_of_not_mem_inter {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s t : set α} {a : α} (h : a s t) (f : α M) :
(s t).indicator f a = s.indicator f a + t.indicator f a
theorem set.mul_indicator_union_of_disjoint {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s t : set α} (h : t) (f : α M) :
(s t).mul_indicator f = λ (a : α), a * a
theorem set.indicator_union_of_disjoint {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s t : set α} (h : t) (f : α M) :
(s t).indicator f = λ (a : α), s.indicator f a + t.indicator f a
theorem set.indicator_add {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f g : α M) :
s.indicator (λ (a : α), f a + g a) = λ (a : α), s.indicator f a + s.indicator g a
theorem set.mul_indicator_mul {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f g : α M) :
s.mul_indicator (λ (a : α), f a * g a) = λ (a : α), a * a
theorem set.indicator_add' {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f g : α M) :
s.indicator (f + g) = s.indicator f + s.indicator g
theorem set.mul_indicator_mul' {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f g : α M) :
s.mul_indicator (f * g) = *
@[simp]
theorem set.mul_indicator_compl_mul_self_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) (a : α) :
a * a = f a
@[simp]
theorem set.indicator_compl_add_self_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) (a : α) :
s.indicator f a + s.indicator f a = f a
@[simp]
theorem set.mul_indicator_compl_mul_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
* = f
@[simp]
theorem set.indicator_compl_add_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
@[simp]
theorem set.mul_indicator_self_mul_compl_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) (a : α) :
a * a = f a
@[simp]
theorem set.indicator_self_add_compl_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) (a : α) :
s.indicator f a + s.indicator f a = f a
@[simp]
theorem set.mul_indicator_self_mul_compl {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
* = f
@[simp]
theorem set.indicator_self_add_compl {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
theorem set.mul_indicator_mul_eq_left {α : Type u_1} {M : Type u_4} {f g : α M} (h : ) :
(f * g) = f
theorem set.indicator_add_eq_left {α : Type u_1} {M : Type u_4} {f g : α M} (h : ) :
(f + g) = f
theorem set.indicator_add_eq_right {α : Type u_1} {M : Type u_4} {f g : α M} (h : ) :
(f + g) = g
theorem set.mul_indicator_mul_eq_right {α : Type u_1} {M : Type u_4} {f g : α M} (h : ) :
(f * g) = g
theorem set.mul_indicator_mul_compl_eq_piecewise {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s : set α} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] (f g : α M) :
* = s.piecewise f g
theorem set.indicator_add_compl_eq_piecewise {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s : set α} [decidable_pred (λ (_x : α), _x s)] (f g : α M) :
noncomputable def set.mul_indicator_hom {α : Type u_1} (M : Type u_2) (s : set α) :
M) →* α M

`set.mul_indicator` as a `monoid_hom`.

Equations
noncomputable def set.indicator_hom {α : Type u_1} (M : Type u_2) (s : set α) :
M) →+ α M

`set.indicator` as an `add_monoid_hom`.

Equations
theorem set.indicator_smul_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} {A : Type u_6} [add_monoid A] [monoid M] [ A] (s : set α) (r : α M) (f : α A) (x : α) :
s.indicator (λ (x : α), r x f x) x = r x s.indicator f x
theorem set.indicator_smul {α : Type u_1} {M : Type u_4} {A : Type u_6} [add_monoid A] [monoid M] [ A] (s : set α) (r : α M) (f : α A) :
s.indicator (λ (x : α), r x f x) = λ (x : α), r x s.indicator f x
theorem set.indicator_const_smul_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} {A : Type u_6} [add_monoid A] [monoid M] [ A] (s : set α) (r : M) (f : α A) (x : α) :
s.indicator (λ (x : α), r f x) x = r s.indicator f x
theorem set.indicator_const_smul {α : Type u_1} {M : Type u_4} {A : Type u_6} [add_monoid A] [monoid M] [ A] (s : set α) (r : M) (f : α A) :
s.indicator (λ (x : α), r f x) = λ (x : α), r s.indicator f x
theorem set.indicator_neg' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] (s : set α) (f : α G) :
theorem set.mul_indicator_inv' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] (s : set α) (f : α G) :
theorem set.indicator_neg {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] (s : set α) (f : α G) :
s.indicator (λ (a : α), -f a) = λ (a : α), -s.indicator f a
theorem set.mul_indicator_inv {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] (s : set α) (f : α G) :
s.mul_indicator (λ (a : α), (f a)⁻¹) = λ (a : α), (s.mul_indicator f a)⁻¹
theorem set.mul_indicator_div {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] (s : set α) (f g : α G) :
s.mul_indicator (λ (a : α), f a / g a) = λ (a : α), a / a
theorem set.indicator_sub {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] (s : set α) (f g : α G) :
s.indicator (λ (a : α), f a - g a) = λ (a : α), s.indicator f a - s.indicator g a
theorem set.mul_indicator_div' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] (s : set α) (f g : α G) :
s.mul_indicator (f / g) = /
theorem set.indicator_sub' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] (s : set α) (f g : α G) :
s.indicator (f - g) = s.indicator f - s.indicator g
theorem set.indicator_compl' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] (s : set α) (f : α G) :
theorem set.mul_indicator_compl {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] (s : set α) (f : α G) :
theorem set.indicator_compl {α : Type u_1} {G : Type u_2} [add_group G] (s : set α) (f : α G) :
theorem set.mul_indicator_diff {α : Type u_1} {G : Type u_6} [group G] {s t : set α} (h : s t) (f : α G) :
theorem set.indicator_diff' {α : Type u_1} {G : Type u_6} [add_group G] {s t : set α} (h : s t) (f : α G) :
(t \ s).indicator f = t.indicator f + -s.indicator f
theorem set.indicator_diff {α : Type u_1} {G : Type u_2} [add_group G] {s t : set α} (h : s t) (f : α G) :
(t \ s).indicator f = t.indicator f - s.indicator f
theorem set.prod_mul_indicator_subset_of_eq_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [comm_monoid M] [has_one N] (f : α N) (g : α N M) {s t : finset α} (h : s t) (hg : (a : α), g a 1 = 1) :
s.prod (λ (i : α), g i (f i)) = t.prod (λ (i : α), g i (s.mul_indicator f i))

Consider a product of `g i (f i)` over a `finset`. Suppose `g` is a function such as `pow`, which maps a second argument of `1` to `1`. Then if `f` is replaced by the corresponding multiplicative indicator function, the `finset` may be replaced by a possibly larger `finset` without changing the value of the sum.

theorem set.sum_indicator_subset_of_eq_zero {α : Type u_1} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [has_zero N] (f : α N) (g : α N M) {s t : finset α} (h : s t) (hg : (a : α), g a 0 = 0) :
s.sum (λ (i : α), g i (f i)) = t.sum (λ (i : α), g i (s.indicator f i))

Consider a sum of `g i (f i)` over a `finset`. Suppose `g` is a function such as multiplication, which maps a second argument of 0 to 0. (A typical use case would be a weighted sum of `f i * h i` or `f i • h i`, where `f` gives the weights that are multiplied by some other function `h`.) Then if `f` is replaced by the corresponding indicator function, the `finset` may be replaced by a possibly larger `finset` without changing the value of the sum.

theorem set.prod_mul_indicator_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [comm_monoid M] (f : α M) {s t : finset α} (h : s t) :
s.prod (λ (i : α), f i) = t.prod (λ (i : α), i)

Taking the product of an indicator function over a possibly larger `finset` is the same as taking the original function over the original `finset`.

theorem set.sum_indicator_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} (f : α M) {s t : finset α} (h : s t) :
s.sum (λ (i : α), f i) = t.sum (λ (i : α), s.indicator f i)

Summing an indicator function over a possibly larger `finset` is the same as summing the original function over the original `finset`.

theorem finset.sum_indicator_eq_sum_filter {α : Type u_1} {ι : Type u_3} {M : Type u_4} (s : finset ι) (f : ι α M) (t : ι set α) (g : ι α) [decidable_pred (λ (i : ι), g i t i)] :
s.sum (λ (i : ι), (t i).indicator (f i) (g i)) = (finset.filter (λ (i : ι), g i t i) s).sum (λ (i : ι), f i (g i))
theorem finset.prod_mul_indicator_eq_prod_filter {α : Type u_1} {ι : Type u_3} {M : Type u_4} [comm_monoid M] (s : finset ι) (f : ι α M) (t : ι set α) (g : ι α) [decidable_pred (λ (i : ι), g i t i)] :
s.prod (λ (i : ι), (t i).mul_indicator (f i) (g i)) = (finset.filter (λ (i : ι), g i t i) s).prod (λ (i : ι), f i (g i))
theorem set.mul_indicator_finset_prod {α : Type u_1} {ι : Type u_3} {M : Type u_4} [comm_monoid M] (I : finset ι) (s : set α) (f : ι α M) :
s.mul_indicator (I.prod (λ (i : ι), f i)) = I.prod (λ (i : ι), s.mul_indicator (f i))
theorem set.indicator_finset_sum {α : Type u_1} {ι : Type u_3} {M : Type u_4} (I : finset ι) (s : set α) (f : ι α M) :
s.indicator (I.sum (λ (i : ι), f i)) = I.sum (λ (i : ι), s.indicator (f i))
theorem set.mul_indicator_finset_bUnion {α : Type u_1} {M : Type u_4} [comm_monoid M] {ι : Type u_2} (I : finset ι) (s : ι set α) {f : α M} :
( (i : ι), i I (j : ι), j I i j disjoint (s i) (s j)) (( (i : ι) (H : i I), s i).mul_indicator f = λ (a : α), I.prod (λ (i : ι), (s i).mul_indicator f a))
theorem set.indicator_finset_bUnion {α : Type u_1} {M : Type u_4} {ι : Type u_2} (I : finset ι) (s : ι set α) {f : α M} :
( (i : ι), i I (j : ι), j I i j disjoint (s i) (s j)) (( (i : ι) (H : i I), s i).indicator f = λ (a : α), I.sum (λ (i : ι), (s i).indicator f a))
theorem set.mul_indicator_finset_bUnion_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [comm_monoid M] {ι : Type u_2} (I : finset ι) (s : ι set α) {f : α M} (h : (i : ι), i I (j : ι), j I i j disjoint (s i) (s j)) (x : α) :
( (i : ι) (H : i I), s i).mul_indicator f x = I.prod (λ (i : ι), (s i).mul_indicator f x)
theorem set.indicator_finset_bUnion_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} {ι : Type u_2} (I : finset ι) (s : ι set α) {f : α M} (h : (i : ι), i I (j : ι), j I i j disjoint (s i) (s j)) (x : α) :
( (i : ι) (H : i I), s i).indicator f x = I.sum (λ (i : ι), (s i).indicator f x)
theorem set.indicator_mul {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f g : α M) :
s.indicator (λ (a : α), f a * g a) = λ (a : α), s.indicator f a * s.indicator g a
theorem set.indicator_mul_left {α : Type u_1} {M : Type u_4} {a : α} (s : set α) (f g : α M) :
s.indicator (λ (a : α), f a * g a) a = s.indicator f a * g a
theorem set.indicator_mul_right {α : Type u_1} {M : Type u_4} {a : α} (s : set α) (f g : α M) :
s.indicator (λ (a : α), f a * g a) a = f a * s.indicator g a
theorem set.inter_indicator_mul {α : Type u_1} {M : Type u_4} {t1 t2 : set α} (f g : α M) (x : α) :
(t1 t2).indicator (λ (x : α), f x * g x) x = t1.indicator f x * t2.indicator g x
theorem set.inter_indicator_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s t : set α} :
theorem set.indicator_prod_one {α : Type u_1} {β : Type u_2} {M : Type u_4} {s : set α} {t : set β} {x : α} {y : β} :
(s ×ˢ t).indicator 1 (x, y) = s.indicator 1 x * t.indicator 1 y
theorem set.indicator_eq_zero_iff_not_mem {α : Type u_1} (M : Type u_4) [nontrivial M] {U : set α} {x : α} :
U.indicator 1 x = 0 x U
theorem set.indicator_eq_one_iff_mem {α : Type u_1} (M : Type u_4) [nontrivial M] {U : set α} {x : α} :
U.indicator 1 x = 1 x U
theorem set.indicator_one_inj {α : Type u_1} (M : Type u_4) [nontrivial M] {U V : set α} (h : U.indicator 1 = V.indicator 1) :
U = V
theorem set.indicator_apply_le' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} {y : M} [has_le M] (hfg : a s f a y) (hg : a s 0 y) :
s.indicator f a y
theorem set.mul_indicator_apply_le' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} {y : M} [has_le M] (hfg : a s f a y) (hg : a s 1 y) :
a y
theorem set.indicator_le' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f g : α M} [has_le M] (hfg : (a : α), a s f a g a) (hg : (a : α), a s 0 g a) :
theorem set.mul_indicator_le' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f g : α M} [has_le M] (hfg : (a : α), a s f a g a) (hg : (a : α), a s 1 g a) :
g
theorem set.le_indicator_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {g : α M} {a : α} [has_le M] {y : M} (hfg : a s y g a) (hf : a s y 0) :
y s.indicator g a
theorem set.le_mul_indicator_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {g : α M} {a : α} [has_le M] {y : M} (hfg : a s y g a) (hf : a s y 1) :
y a
theorem set.le_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f g : α M} [has_le M] (hfg : (a : α), a s f a g a) (hf : (a : α), a s f a 1) :
f
theorem set.le_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f g : α M} [has_le M] (hfg : (a : α), a s f a g a) (hf : (a : α), a s f a 0) :
theorem set.indicator_apply_nonneg {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} [preorder M] (h : a s 0 f a) :
0 s.indicator f a
theorem set.one_le_mul_indicator_apply {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} [preorder M] (h : a s 1 f a) :
1 a
theorem set.indicator_nonneg {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (h : (a : α), a s 0 f a) (a : α) :
0 s.indicator f a
theorem set.one_le_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (h : (a : α), a s 1 f a) (a : α) :
1 a
theorem set.mul_indicator_apply_le_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} {a : α} [preorder M] (h : a s f a 1) :
a 1
theorem set.indicator_apply_nonpos {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} {a : α} [preorder M] (h : a s f a 0) :
s.indicator f a 0
theorem set.indicator_nonpos {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (h : (a : α), a s f a 0) (a : α) :
s.indicator f a 0
theorem set.mul_indicator_le_one {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (h : (a : α), a s f a 1) (a : α) :
a 1
theorem set.mul_indicator_le_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f g : α M} {a : α} [preorder M] (h : f a g a) :
a a
theorem set.indicator_le_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f g : α M} {a : α} [preorder M] (h : f a g a) :
s.indicator f a s.indicator g a
theorem set.indicator_le_indicator_of_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s t : set α} {f : α M} [preorder M] (h : s t) (hf : (a : α), 0 f a) (a : α) :
s.indicator f a t.indicator f a
theorem set.mul_indicator_le_mul_indicator_of_subset {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s t : set α} {f : α M} [preorder M] (h : s t) (hf : (a : α), 1 f a) (a : α) :
a a
theorem set.mul_indicator_le_self' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_one M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (hf : (x : α), x s 1 f x) :
f
theorem set.indicator_le_self' {α : Type u_1} {M : Type u_4} [has_zero M] {s : set α} {f : α M} [preorder M] (hf : (x : α), x s 0 f x) :
theorem set.mul_indicator_Union_apply {α : Type u_1} {ι : Sort u_2} {M : Type u_3} [has_one M] (h1 : = 1) (s : ι set α) (f : α M) (x : α) :
( (i : ι), s i).mul_indicator f x = (i : ι), (s i).mul_indicator f x
theorem set.indicator_Union_apply {α : Type u_1} {ι : Sort u_2} {M : Type u_3} [has_zero M] (h1 : = 0) (s : ι set α) (f : α M) (x : α) :
( (i : ι), s i).indicator f x = (i : ι), (s i).indicator f x
theorem set.mul_indicator_le_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
f
theorem set.indicator_le_self {α : Type u_1} {M : Type u_4} (s : set α) (f : α M) :
theorem set.indicator_apply_le {α : Type u_1} {M : Type u_4} {a : α} {s : set α} {f g : α M} (hfg : a s f a g a) :
s.indicator f a g a
theorem set.mul_indicator_apply_le {α : Type u_1} {M : Type u_4} {a : α} {s : set α} {f g : α M} (hfg : a s f a g a) :
a g a
theorem set.indicator_le {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s : set α} {f g : α M} (hfg : (a : α), a s f a g a) :
theorem set.mul_indicator_le {α : Type u_1} {M : Type u_4} {s : set α} {f g : α M} (hfg : (a : α), a s f a g a) :
g
theorem set.indicator_le_indicator_nonneg {α : Type u_1} {β : Type u_2} [linear_order β] [has_zero β] (s : set α) (f : α β) :
s.indicator f {x : α | 0 f x}.indicator f
theorem set.indicator_nonpos_le_indicator {α : Type u_1} {β : Type u_2} [linear_order β] [has_zero β] (s : set α) (f : α β) :
{x : α | f x 0}.indicator f s.indicator f
theorem add_monoid_hom.map_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} (f : M →+ N) (s : set α) (g : α M) (x : α) :
f (s.indicator g x) = s.indicator (f g) x
theorem monoid_hom.map_mul_indicator {α : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_3} (f : M →* N) (s : set α) (g : α M) (x : α) :