mathlib3 documentation

linear_algebra.matrix.zpow

Integer powers of square matrices #

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In this file, we define integer power of matrices, relying on the nonsingular inverse definition for negative powers.

Implementation details #

The main definition is a direct recursive call on the integer inductive type, as provided by the div_inv_monoid.zpow default implementation. The lemma names are taken from algebra.group_with_zero.power.

Tags #

matrix inverse, matrix powers

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@[protected, instance]
noncomputable def matrix.div_inv_monoid {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] :
div_inv_monoid (matrix n' n' R)
Equations
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@[simp]
theorem matrix.inv_pow' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℕ) :
A⁻¹ ^ n = (A ^ n)⁻¹
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theorem matrix.pow_sub' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) {m n : ℕ} (ha : is_unit A.det) (h : n ≤ m) :
A ^ (m - n) = (A ^ m).mul (A ^ n)⁻¹
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theorem matrix.pow_inv_comm' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (m n : ℕ) :
(A⁻¹ ^ m).mul (A ^ n) = (A ^ n).mul (A⁻¹ ^ m)
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@[simp]
theorem matrix.one_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (n : ℤ) :
1 ^ n = 1
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theorem matrix.zero_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (z : ℤ) :
z ≠ 0 → 0 ^ z = 0
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theorem matrix.zero_zpow_eq {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (n : ℤ) :
0 ^ n = ite (n = 0) 1 0
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theorem matrix.inv_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
A⁻¹ ^ n = (A ^ n)⁻¹
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@[simp]
theorem matrix.zpow_neg_one {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) :
A ^ -1 = A⁻¹
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theorem matrix.zpow_coe_nat {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℕ) :
A ^ ↑n = A ^ n
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@[simp]
theorem matrix.zpow_neg_coe_nat {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℕ) :
A ^ -↑n = (A ^ n)⁻¹
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theorem is_unit.det_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (n : ℤ) :
is_unit (A ^ n).det
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theorem matrix.is_unit_det_zpow_iff {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} {z : ℤ} :
is_unit (A ^ z).det ↔ is_unit A.det ∨ z = 0
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theorem matrix.zpow_neg {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (n : ℤ) :
A ^ -n = (A ^ n)⁻¹
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theorem matrix.inv_zpow' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (n : ℤ) :
A⁻¹ ^ n = A ^ -n
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theorem matrix.zpow_add_one {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (n : ℤ) :
A ^ (n + 1) = A ^ n * A
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theorem matrix.zpow_sub_one {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (n : ℤ) :
A ^ (n - 1) = A ^ n * A⁻¹
source
theorem matrix.zpow_add {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (ha : is_unit A.det) (m n : ℤ) :
A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
source
theorem matrix.zpow_add_of_nonpos {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} {m n : ℤ} (hm : m ≤ 0) (hn : n ≤ 0) :
A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
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theorem matrix.zpow_add_of_nonneg {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} {m n : ℤ} (hm : 0 ≤ m) (hn : 0 ≤ n) :
A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
source
theorem matrix.zpow_one_add {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) (i : ℤ) :
A ^ (1 + i) = A * A ^ i
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theorem matrix.semiconj_by.zpow_right {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A X Y : matrix n' n' R} (hx : is_unit X.det) (hy : is_unit Y.det) (h : semiconj_by A X Y) (m : ℤ) :
semiconj_by A (X ^ m) (Y ^ m)
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theorem matrix.commute.zpow_right {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A B : matrix n' n' R} (h : commute A B) (m : ℤ) :
commute A (B ^ m)
source
theorem matrix.commute.zpow_left {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A B : matrix n' n' R} (h : commute A B) (m : ℤ) :
commute (A ^ m) B
source
theorem matrix.commute.zpow_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A B : matrix n' n' R} (h : commute A B) (m n : ℤ) :
commute (A ^ m) (B ^ n)
source
theorem matrix.commute.zpow_self {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
commute (A ^ n) A
source
theorem matrix.commute.self_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
commute A (A ^ n)
source
theorem matrix.commute.zpow_zpow_self {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (m n : ℤ) :
commute (A ^ m) (A ^ n)
source
theorem matrix.zpow_bit0 {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
A ^ bit0 n = A ^ n * A ^ n
source
theorem matrix.zpow_add_one_of_ne_neg_one {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (n : ℤ) :
n ≠ -1 → A ^ (n + 1) = A ^ n * A
source
theorem matrix.zpow_bit1 {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
A ^ bit1 n = A ^ n * A ^ n * A
source
theorem matrix.zpow_mul {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (h : is_unit A.det) (m n : ℤ) :
A ^ (m * n) = (A ^ m) ^ n
source
theorem matrix.zpow_mul' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (h : is_unit A.det) (m n : ℤ) :
A ^ (m * n) = (A ^ n) ^ m
source
@[simp, norm_cast]
theorem matrix.coe_units_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (u : (matrix n' n' R)ˣ) (n : ℤ) :
↑(u ^ n) = ↑u ^ n
source
theorem matrix.zpow_ne_zero_of_is_unit_det {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] [nonempty n'] [nontrivial R] {A : matrix n' n' R} (ha : is_unit A.det) (z : ℤ) :
A ^ z ≠ 0
source
theorem matrix.zpow_sub {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (ha : is_unit A.det) (z1 z2 : ℤ) :
A ^ (z1 - z2) = A ^ z1 / A ^ z2
source
theorem matrix.commute.mul_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A B : matrix n' n' R} (h : commute A B) (i : ℤ) :
(A * B) ^ i = A ^ i * B ^ i
source
theorem matrix.zpow_bit0' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
A ^ bit0 n = (A * A) ^ n
source
theorem matrix.zpow_bit1' {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
A ^ bit1 n = (A * A) ^ n * A
source
theorem matrix.zpow_neg_mul_zpow_self {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (n : ℤ) {A : matrix n' n' R} (h : is_unit A.det) :
A ^ -n * A ^ n = 1
source
theorem matrix.one_div_pow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (n : ℕ) :
(1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
source
theorem matrix.one_div_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] {A : matrix n' n' R} (n : ℤ) :
(1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
source
@[simp]
theorem matrix.transpose_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
(A ^ n).transpose = A.transpose ^ n
source
@[simp]
theorem matrix.conj_transpose_zpow {n' : Type u_1} [decidable_eq n'] [fintype n'] {R : Type u_2} [comm_ring R] [star_ring R] (A : matrix n' n' R) (n : ℤ) :
(A ^ n).conj_transpose = A.conj_transpose ^ n