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data.nat.basic

Basic operations on the natural numbers #

This file contains:

instances #

@[instance]
@[instance]
Equations

Extra instances to short-circuit type class resolution

@[instance]
Equations
@[instance]
Equations
theorem nat.nsmul_eq_mul (m n : ) :
m n = m * n
theorem nat.eq_of_mul_eq_mul_right {n m k : } (Hm : 0 < m) (H : n * m = k * m) :
n = k
@[instance]
Equations

Inject some simple facts into the type class system. This fact should not be confused with the factorial function nat.fact!

@[instance]
def succ_pos'' (n : ) :
fact (0 < n.succ)
@[instance]
def pos_of_one_lt (n : ) [h : fact (1 < n)] :
fact (0 < n)

Recursion and set.range #

theorem nat.range_of_succ {α : Type u_1} (f : → α) :
theorem nat.range_rec {α : Type u_1} (x : α) (f : α → α) :
set.range (λ (n : ), nat.rec x f n) = {x} set.range (λ (n : ), nat.rec (f 0 x) (f nat.succ) n)
theorem nat.range_cases_on {α : Type u_1} (x : α) (f : → α) :
set.range (λ (n : ), n.cases_on x f) = {x} set.range f

The units of the natural numbers as a monoid and add_monoid #

theorem nat.units_eq_one (u : units ) :
u = 1
theorem nat.add_units_eq_zero (u : add_units ) :
u = 0
@[simp]
theorem nat.is_unit_iff {n : } :
is_unit n n = 1

Equalities and inequalities involving zero and one #

theorem nat.one_le_iff_ne_zero {n : } :
1 n n 0
theorem nat.one_lt_iff_ne_zero_and_ne_one {n : } :
1 < n n 0 n 1
theorem nat.mul_ne_zero {n m : } (n0 : n 0) (m0 : m 0) :
n * m 0
@[simp]
theorem nat.mul_eq_zero {a b : } :
a * b = 0 a = 0 b = 0
@[simp]
theorem nat.zero_eq_mul {a b : } :
0 = a * b a = 0 b = 0
theorem nat.eq_zero_of_double_le {a : } (h : 2 * a a) :
a = 0
theorem nat.eq_zero_of_mul_le {a b : } (hb : 2 b) (h : b * a a) :
a = 0
theorem nat.le_zero_iff {i : } :
i 0 i = 0
theorem nat.zero_max {m : } :
max 0 m = m
@[simp]
theorem nat.min_eq_zero_iff {m n : } :
min m n = 0 m = 0 n = 0
@[simp]
theorem nat.max_eq_zero_iff {m n : } :
max m n = 0 m = 0 n = 0
theorem nat.add_eq_max_iff {n m : } :
n + m = max n m n = 0 m = 0
theorem nat.add_eq_min_iff {n m : } :
n + m = min n m n = 0 m = 0
theorem nat.one_le_of_lt {n m : } (h : n < m) :
1 m
theorem nat.eq_one_of_mul_eq_one_right {m n : } (H : m * n = 1) :
m = 1
theorem nat.eq_one_of_mul_eq_one_left {m n : } (H : m * n = 1) :
n = 1

succ #

theorem nat.succ_eq_one_add (n : ) :
n.succ = 1 + n
theorem nat.eq_of_lt_succ_of_not_lt {a b : } (h1 : a < b + 1) (h2 : ¬a < b) :
a = b
theorem nat.eq_of_le_of_lt_succ {n m : } (h₁ : n m) (h₂ : m < n + 1) :
m = n
theorem nat.one_add (n : ) :
1 + n = n.succ
@[simp]
theorem nat.succ_pos' {n : } :
0 < n.succ
theorem nat.succ_inj' {n m : } :
n.succ = m.succ n = m
theorem nat.succ_ne_succ {n m : } :
n.succ m.succ n m
@[simp]
theorem nat.succ_succ_ne_one (n : ) :
@[simp]
theorem nat.one_lt_succ_succ (n : ) :
1 < n.succ.succ
theorem nat.succ_le_succ_iff {m n : } :
m.succ n.succ m n
theorem nat.max_succ_succ {m n : } :
max m.succ n.succ = (max m n).succ
theorem nat.not_succ_lt_self {n : } :
¬n.succ < n
theorem nat.lt_succ_iff {m n : } :
m < n.succ m n
theorem nat.succ_le_iff {m n : } :
m.succ n m < n
theorem nat.lt_iff_add_one_le {m n : } :
m < n m + 1 n
theorem nat.lt_add_one_iff {a b : } :
a < b + 1 a b
theorem nat.lt_one_add_iff {a b : } :
a < 1 + b a b
theorem nat.add_one_le_iff {a b : } :
a + 1 b a < b
theorem nat.one_add_le_iff {a b : } :
1 + a b a < b
theorem nat.of_le_succ {n m : } (H : n m.succ) :
n m n = m.succ
theorem nat.succ_lt_succ_iff {m n : } :
m.succ < n.succ m < n
@[simp]
theorem nat.lt_one_iff {n : } :
n < 1 n = 0
theorem nat.div_le_iff_le_mul_add_pred {m n k : } (n0 : 0 < n) :
m / n k m n * k + (n - 1)

add #

@[simp]
theorem nat.add_def {a b : } :
a.add b = a + b
@[simp]
theorem nat.mul_def {a b : } :
a.mul b = a * b
theorem nat.exists_eq_add_of_le {m n : } :
m n(∃ (k : ), n = m + k)
theorem nat.exists_eq_add_of_lt {m n : } :
m < n(∃ (k : ), n = m + k + 1)
theorem nat.add_pos_left {m : } (h : 0 < m) (n : ) :
0 < m + n
theorem nat.add_pos_right (m : ) {n : } (h : 0 < n) :
0 < m + n
theorem nat.add_pos_iff_pos_or_pos (m n : ) :
0 < m + n 0 < m 0 < n
theorem nat.add_eq_one_iff {a b : } :
a + b = 1 a = 0 b = 1 a = 1 b = 0
theorem nat.le_add_one_iff {i j : } :
i j + 1 i j i = j + 1
theorem nat.le_and_le_add_one_iff {x a : } :
a x x a + 1 x = a x = a + 1
theorem nat.add_succ_lt_add {a b c d : } (hab : a < b) (hcd : c < d) :
a + c + 1 < b + d
theorem nat.le_of_add_le_left {a b c : } (h : a + b c) :
a c
theorem nat.le_of_add_le_right {a b c : } (h : a + b c) :
b c

pred #

@[simp]
theorem nat.add_succ_sub_one (n m : ) :
n + m.succ - 1 = n + m
@[simp]
theorem nat.succ_add_sub_one (n m : ) :
n.succ + m - 1 = n + m
theorem nat.pred_eq_sub_one (n : ) :
n.pred = n - 1
theorem nat.pred_eq_of_eq_succ {m n : } (H : m = n.succ) :
m.pred = n
@[simp]
theorem nat.pred_eq_succ_iff {n m : } :
n.pred = m.succ n = m + 2
theorem nat.pred_sub (n m : ) :
n.pred - m = (n - m).pred
theorem nat.le_pred_of_lt {n m : } (h : m < n) :
m n - 1
theorem nat.le_of_pred_lt {m n : } :
m.pred < nm n
@[simp]
theorem nat.pred_one_add (n : ) :
(1 + n).pred = n

This ensures that simp succeeds on pred (n + 1) = n.

theorem nat.pred_le_iff {n m : } :
n.pred m n m.succ

sub #

Most lemmas come from the has_ordered_sub instance on .

@[instance]
Equations
theorem nat.lt_pred_iff {n m : } :
n < m.pred n.succ < m
theorem nat.lt_of_lt_pred {a b : } (h : a < b - 1) :
a < b
theorem nat.le_or_le_of_add_eq_add_pred {a b c d : } (h : c + d = a + b - 1) :
a c b d

mul #

theorem nat.succ_mul_pos {n : } (m : ) (hn : 0 < n) :
0 < (m.succ) * n
theorem nat.mul_self_le_mul_self {n m : } (h : n m) :
n * n m * m
theorem nat.mul_self_lt_mul_self {n m : } :
n < mn * n < m * m
theorem nat.mul_self_le_mul_self_iff {n m : } :
n m n * n m * m
theorem nat.mul_self_lt_mul_self_iff {n m : } :
n < m n * n < m * m
theorem nat.le_mul_self (n : ) :
n n * n
theorem nat.le_mul_of_pos_left {m n : } (h : 0 < n) :
m n * m
theorem nat.le_mul_of_pos_right {m n : } (h : 0 < n) :
m m * n
theorem nat.two_mul_ne_two_mul_add_one {n m : } :
2 * n 2 * m + 1
theorem nat.mul_eq_one_iff {a b : } :
a * b = 1 a = 1 b = 1
theorem nat.mul_left_inj {a b c : } (ha : 0 < a) :
b * a = c * a b = c
theorem nat.mul_right_inj {a b c : } (ha : 0 < a) :
a * b = a * c b = c
theorem nat.mul_left_injective {a : } (ha : 0 < a) :
function.injective (λ (x : ), x * a)
theorem nat.mul_right_injective {a : } (ha : 0 < a) :
function.injective (λ (x : ), a * x)
theorem nat.mul_ne_mul_left {a b c : } (ha : 0 < a) :
b * a c * a b c
theorem nat.mul_ne_mul_right {a b c : } (ha : 0 < a) :
a * b a * c b c
theorem nat.mul_right_eq_self_iff {a b : } (ha : 0 < a) :
a * b = a b = 1
theorem nat.mul_left_eq_self_iff {a b : } (hb : 0 < b) :
a * b = b a = 1
theorem nat.lt_succ_iff_lt_or_eq {n i : } :
n < i.succ n < i n = i
theorem nat.mul_self_inj {n m : } :
n * n = m * m n = m

Recursion and induction principles #

This section is here due to dependencies -- the lemmas here require some of the lemmas proved above, and some of the results in later sections depend on the definitions in this section.

@[simp]
theorem nat.rec_zero {C : Sort u} (h0 : C 0) (h : Π (n : ), C nC (n + 1)) :
nat.rec h0 h 0 = h0
@[simp]
theorem nat.rec_add_one {C : Sort u} (h0 : C 0) (h : Π (n : ), C nC (n + 1)) (n : ) :
nat.rec h0 h (n + 1) = h n (nat.rec h0 h n)
def nat.le_rec_on {C : Sort u} {n m : } :
n m(Π {k : }, C kC (k + 1))C nC m

Recursion starting at a non-zero number: given a map C k → C (k+1) for each k, there is a map from C n to each C m, n ≤ m. For a version where the assumption is only made when k ≥ n, see le_rec_on'.

Equations
theorem nat.le_rec_on_self {C : Sort u} {n : } {h : n n} {next : Π {k : }, C kC (k + 1)} (x : C n) :
nat.le_rec_on h next x = x
theorem nat.le_rec_on_succ {C : Sort u} {n m : } (h1 : n m) {h2 : n m + 1} {next : Π {k : }, C kC (k + 1)} (x : C n) :
nat.le_rec_on h2 next x = next (nat.le_rec_on h1 next x)
theorem nat.le_rec_on_succ' {C : Sort u} {n : } {h : n n + 1} {next : Π {k : }, C kC (k + 1)} (x : C n) :
nat.le_rec_on h next x = next x
theorem nat.le_rec_on_trans {C : Sort u} {n m k : } (hnm : n m) (hmk : m k) {next : Π {k : }, C kC (k + 1)} (x : C n) :
nat.le_rec_on _ next x = nat.le_rec_on hmk next (nat.le_rec_on hnm next x)
theorem nat.le_rec_on_succ_left {C : Sort u} {n m : } (h1 : n m) (h2 : n + 1 m) {next : Π ⦃k : ⦄, C kC (k + 1)} (x : C n) :
nat.le_rec_on h2 next (next x) = nat.le_rec_on h1 next x
theorem nat.le_rec_on_injective {C : Sort u} {n m : } (hnm : n m) (next : Π (n : ), C nC (n + 1)) (Hnext : ∀ (n : ), function.injective (next n)) :
theorem nat.le_rec_on_surjective {C : Sort u} {n m : } (hnm : n m) (next : Π (n : ), C nC (n + 1)) (Hnext : ∀ (n : ), function.surjective (next n)) :
def nat.strong_rec' {p : Sort u} (H : Π (n : ), (Π (m : ), m < np m)p n) (n : ) :
p n

Recursion principle based on <.

Equations
def nat.strong_rec_on' {P : Sort u_1} (n : ) (h : Π (n : ), (Π (m : ), m < nP m)P n) :
P n

Recursion principle based on < applied to some natural number.

Equations
theorem nat.strong_rec_on_beta' {P : Sort u_1} {h : Π (n : ), (Π (m : ), m < nP m)P n} {n : } :
n.strong_rec_on' h = h n (λ (m : ) (hmn : m < n), m.strong_rec_on' h)
theorem nat.le_induction {P : → Prop} {m : } (h0 : P m) (h1 : ∀ (n : ), m nP nP (n + 1)) (n : ) :
m nP n

Induction principle starting at a non-zero number. For maps to a Sort* see le_rec_on.

def nat.decreasing_induction {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {m n : } (mn : m n) (hP : P n) :
P m

Decreasing induction: if P (k+1) implies P k, then P n implies P m for all m ≤ n. Also works for functions to Sort*. For a version assuming only the assumption for k < n, see decreasing_induction'.

Equations
@[simp]
theorem nat.decreasing_induction_self {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {n : } (nn : n n) (hP : P n) :
theorem nat.decreasing_induction_succ {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {m n : } (mn : m n) (msn : m n + 1) (hP : P (n + 1)) :
@[simp]
theorem nat.decreasing_induction_succ' {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {m : } (msm : m m + 1) (hP : P (m + 1)) :
nat.decreasing_induction h msm hP = h m hP
theorem nat.decreasing_induction_trans {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {m n k : } (mn : m n) (nk : n k) (hP : P k) :
theorem nat.decreasing_induction_succ_left {P : Sort u_1} (h : Π (n : ), P (n + 1)P n) {m n : } (smn : m + 1 n) (mn : m n) (hP : P n) :
def nat.le_rec_on' {C : Sort u_1} {n m : } :
n m(Π ⦃k : ⦄, n kC kC (k + 1))C nC m

Recursion starting at a non-zero number: given a map C k → C (k+1) for each k ≥ n, there is a map from C n to each C m, n ≤ m.

Equations
def nat.decreasing_induction' {P : Sort u_1} {m n : } (h : Π (k : ), k < nm kP (k + 1)P k) (mn : m n) (hP : P n) :
P m

Decreasing induction: if P (k+1) implies P k for all m ≤ k < n, then P n implies P m. Also works for functions to Sort*. Weakens the assumptions of decreasing_induction.

Equations
  • nat.decreasing_induction' h mn hP = nat.le_rec_on' mn (λ (n : ) (mn : m n) (ih : (Π (k : ), k < nm kP (k + 1)P k)P nP m) (h : Π (k : ), k < n + 1m kP (k + 1)P k) (hP : P (n + 1)), ih (λ (k : ) (hk : k < n), h k _) (h n _ mn hP)) (λ (h : Π (k : ), k < mm kP (k + 1)P k) (hP : P m), hP) h hP

div #

theorem nat.div_le_of_le_mul' {m n k : } (h : m k * n) :
m / k n
theorem nat.div_le_self' (m n : ) :
m / n m
theorem nat.div_lt_self' (n b : ) :
(n + 1) / (b + 2) < n + 1

A version of nat.div_lt_self using successors, rather than additional hypotheses.

theorem nat.le_div_iff_mul_le' {x y k : } (k0 : 0 < k) :
x y / k x * k y
theorem nat.div_lt_iff_lt_mul' {x y k : } (k0 : 0 < k) :
x / k < y x < y * k
theorem nat.div_le_div_right {n m : } (h : n m) {k : } :
n / k m / k
theorem nat.lt_of_div_lt_div {m n k : } :
m / k < n / km < n
theorem nat.div_pos {a b : } (hba : b a) (hb : 0 < b) :
0 < a / b
theorem nat.div_lt_of_lt_mul {m n k : } (h : m < n * k) :
m / n < k
theorem nat.lt_mul_of_div_lt {a b c : } (h : a / c < b) (w : 0 < c) :
a < b * c
theorem nat.div_eq_zero_iff {a b : } (hb : 0 < b) :
a / b = 0 a < b
theorem nat.div_eq_zero {a b : } (hb : a < b) :
a / b = 0
theorem nat.eq_zero_of_le_div {a b : } (hb : 2 b) (h : a a / b) :
a = 0
theorem nat.mul_div_le_mul_div_assoc (a b c : ) :
a * (b / c) a * b / c
theorem nat.div_mul_div_le_div (a b c : ) :
(a / c) * b / a b / c
theorem nat.eq_zero_of_le_half {a : } (h : a a / 2) :
a = 0
theorem nat.eq_mul_of_div_eq_right {a b c : } (H1 : b a) (H2 : a / b = c) :
a = b * c
theorem nat.div_eq_iff_eq_mul_right {a b c : } (H : 0 < b) (H' : b a) :
a / b = c a = b * c
theorem nat.div_eq_iff_eq_mul_left {a b c : } (H : 0 < b) (H' : b a) :
a / b = c a = c * b
theorem nat.eq_mul_of_div_eq_left {a b c : } (H1 : b a) (H2 : a / b = c) :
a = c * b
theorem nat.mul_div_cancel_left' {a b : } (Hd : a b) :
a * (b / a) = b
theorem nat.mul_div_mul_left (a b : ) {c : } (hc : 0 < c) :
c * a / c * b = a / b

Alias of nat.mul_div_mul

theorem nat.mul_div_mul_right (a b : ) {c : } (hc : 0 < c) :
a * c / b * c = a / b

mod, dvd #

theorem nat.div_add_mod (m k : ) :
k * (m / k) + m % k = m
theorem nat.mod_add_div' (m k : ) :
m % k + (m / k) * k = m
theorem nat.div_add_mod' (m k : ) :
(m / k) * k + m % k = m
theorem nat.div_mod_unique {n k m d : } (h : 0 < k) :
n / k = d n % k = m m + k * d = n m < k
theorem nat.two_mul_odd_div_two {n : } (hn : n % 2 = 1) :
2 * (n / 2) = n - 1
theorem nat.div_dvd_of_dvd {a b : } (h : b a) :
a / b a
theorem nat.div_div_self {a b : } :
b a0 < aa / (a / b) = b
theorem nat.mod_mul_right_div_self (a b c : ) :
a % b * c / b = a / b % c
theorem nat.mod_mul_left_div_self (a b c : ) :
a % c * b / b = a / b % c
@[simp]
theorem nat.dvd_one {n : } :
n 1 n = 1
theorem nat.dvd_add_left {k m n : } (h : k n) :
k m + n k m
theorem nat.dvd_add_right {k m n : } (h : k m) :
k m + n k n
@[simp]
theorem nat.not_two_dvd_bit1 (n : ) :
@[simp]
theorem nat.dvd_add_self_left {m n : } :
m m + n m n

A natural number m divides the sum m + n if and only if m divides n.

@[simp]
theorem nat.dvd_add_self_right {m n : } :
m n + m m n

A natural number m divides the sum n + m if and only if m divides n.

theorem nat.dvd_sub' {k m n : } (h₁ : k m) (h₂ : k n) :
k m - n
theorem nat.not_dvd_of_pos_of_lt {a b : } (h1 : 0 < b) (h2 : b < a) :
¬a b
theorem nat.mul_dvd_mul_iff_left {a b c : } (ha : 0 < a) :
a * b a * c b c
theorem nat.mul_dvd_mul_iff_right {a b c : } (hc : 0 < c) :
a * c b * c a b
theorem nat.succ_div (a b : ) :
(a + 1) / b = a / b + ite (b a + 1) 1 0
theorem nat.succ_div_of_dvd {a b : } (hba : b a + 1) :
(a + 1) / b = a / b + 1
theorem nat.succ_div_of_not_dvd {a b : } (hba : ¬b a + 1) :
(a + 1) / b = a / b
@[simp]
theorem nat.mod_mod_of_dvd (n : ) {m k : } (h : m k) :
n % k % m = n % m
@[simp]
theorem nat.mod_mod (a n : ) :
a % n % n = a % n
theorem nat.sub_mod_eq_zero_of_mod_eq {a b c : } (h : a % c = b % c) :
(a - b) % c = 0

If a and b are equal mod c, a - b is zero mod c.

@[simp]
theorem nat.one_mod (n : ) :
1 % (n + 2) = 1
theorem nat.dvd_sub_mod {n : } (k : ) :
n k - k % n
@[simp]
theorem nat.mod_add_mod (m n k : ) :
(m % n + k) % n = (m + k) % n
@[simp]
theorem nat.add_mod_mod (m n k : ) :
(m + n % k) % k = (m + n) % k
theorem nat.add_mod (a b n : ) :
(a + b) % n = (a % n + b % n) % n
theorem nat.add_mod_eq_add_mod_right {m n k : } (i : ) (H : m % n = k % n) :
(m + i) % n = (k + i) % n
theorem nat.add_mod_eq_add_mod_left {m n k : } (i : ) (H : m % n = k % n) :
(i + m) % n = (i + k) % n
theorem nat.add_mod_eq_ite {a b n : } :
(a + b) % n = ite (n a % n + b % n) (a % n + b % n - n) (a % n + b % n)
theorem nat.mul_mod (a b n : ) :
a * b % n = (a % n) * (b % n) % n
theorem nat.dvd_div_of_mul_dvd {a b c : } (h : a * b c) :
b c / a
theorem nat.mul_dvd_of_dvd_div {a b c : } (hab : c b) (h : a b / c) :
c * a b
@[simp]
theorem nat.dvd_div_iff {a b c : } (hbc : c b) :
a b / c c * a b
theorem nat.div_mul_div {a b c d : } (hab : b a) (hcd : d c) :
(a / b) * (c / d) = a * c / b * d
@[simp]
theorem nat.div_div_div_eq_div {a b c : } (dvd : b a) (dvd2 : a c) :
c / (a / b) / b = c / a
theorem nat.eq_of_dvd_of_div_eq_one {a b : } (w : a b) (h : b / a = 1) :
a = b
theorem nat.eq_zero_of_dvd_of_div_eq_zero {a b : } (w : a b) (h : b / a = 0) :
b = 0
theorem nat.eq_zero_of_dvd_of_lt {a b : } (w : a b) (h : b < a) :
b = 0

If a small natural number is divisible by a larger natural number, the small number is zero.

theorem nat.div_le_div_left {a b c : } (h₁ : c b) (h₂ : 0 < c) :
a / b a / c
theorem nat.div_eq_self {a b : } :
a / b = a a = 0 b = 1
theorem nat.lt_iff_le_pred {m n : } :
0 < n(m < n m n - 1)
theorem nat.div_eq_sub_mod_div {m n : } :
m / n = (m - m % n) / n
theorem nat.mul_div_le (m n : ) :
n * (m / n) m
theorem nat.lt_mul_div_succ (m : ) {n : } (n0 : 0 < n) :
m < n * (m / n + 1)
@[simp]
theorem nat.mod_div_self (m n : ) :
m % n / n = 0
theorem nat.exists_lt_and_lt_iff_not_dvd (m : ) {n : } (hn : 0 < n) :
(∃ (k : ), n * k < m m < n * (k + 1)) ¬n m

m is not divisible by n iff it is between n * k and n * (k + 1) for some k.

theorem nat.dvd_right_iff_eq {m n : } :
(∀ (a : ), m a n a) m = n

Two natural numbers are equal if and only if the have the same multiples.

theorem nat.dvd_left_iff_eq {m n : } :
(∀ (a : ), a m a n) m = n

Two natural numbers are equal if and only if the have the same divisors.

dvd is injective in the left argument

find #

theorem nat.find_eq_iff {m : } {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) :
nat.find h = m p m ∀ (n : ), n < m¬p n
@[simp]
theorem nat.find_lt_iff {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) (n : ) :
nat.find h < n ∃ (m : ) (H : m < n), p m
@[simp]
theorem nat.find_le_iff {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) (n : ) :
nat.find h n ∃ (m : ) (H : m n), p m
@[simp]
theorem nat.le_find_iff {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) (n : ) :
n nat.find h ∀ (m : ), m < n¬p m
@[simp]
theorem nat.lt_find_iff {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) (n : ) :
n < nat.find h ∀ (m : ), m n¬p m
@[simp]
theorem nat.find_eq_zero {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) :
nat.find h = 0 p 0
@[simp]
theorem nat.find_pos {p : → Prop} [decidable_pred p] (h : ∃ (n : ), p n) :
0 < nat.find h ¬p 0
theorem nat.find_le {p q : → Prop} [decidable_pred p] [decidable_pred q] (h : ∀ (n : ), q np n) (hp : ∃ (n : ), p n) (hq : ∃ (n : ), q n) :
theorem nat.find_comp_succ {p : → Prop} [decidable_pred p] (h₁ : ∃ (n : ), p n) (h₂ : ∃ (n : ), p (n + 1)) (h0 : ¬p 0) :
nat.find h₁ = nat.find h₂ + 1

find_greatest #

def nat.find_greatest (P : → Prop) [decidable_pred P] :

find_greatest P b is the largest i ≤ bound such that P i holds, or 0 if no such i exists

Equations
@[simp]
theorem nat.find_greatest_zero {P : → Prop} [decidable_pred P] :
@[simp]
theorem nat.find_greatest_eq {P : → Prop} [decidable_pred P] {b : } :
P bnat.find_greatest P b = b
@[simp]
theorem nat.find_greatest_of_not {P : → Prop} [decidable_pred P] {b : } (h : ¬P (b + 1)) :
theorem nat.find_greatest_eq_iff {P : → Prop} [decidable_pred P] {b m : } :
nat.find_greatest P b = m m b (m 0P m) ∀ ⦃n : ⦄, m < nn b¬P n
theorem nat.find_greatest_eq_zero_iff {P : → Prop} [decidable_pred P] {b : } :
nat.find_greatest P b = 0 ∀ ⦃n : ⦄, 0 < nn b¬P n
theorem nat.find_greatest_spec {P : → Prop} [decidable_pred P] {b : } (h : ∃ (m : ), m b P m) :
theorem nat.find_greatest_le {P : → Prop} [decidable_pred P] {b : } :
theorem nat.le_find_greatest {P : → Prop} [decidable_pred P] {b m : } (hmb : m b) (hm : P m) :
theorem nat.find_greatest_is_greatest {P : → Prop} [decidable_pred P] {b k : } (hk : nat.find_greatest P b < k) (hkb : k b) :
¬P k
theorem nat.find_greatest_of_ne_zero {P : → Prop} [decidable_pred P] {b m : } (h : nat.find_greatest P b = m) (h0 : m 0) :
P m

bodd_div2 and bodd #

@[simp]
theorem nat.bodd_div2_eq (n : ) :
n.bodd_div2 = (n.bodd, n.div2)
@[simp]
theorem nat.bodd_bit0 (n : ) :
@[simp]
theorem nat.bodd_bit1 (n : ) :
@[simp]
theorem nat.div2_bit0 (n : ) :
(bit0 n).div2 = n
@[simp]
theorem nat.div2_bit1 (n : ) :
(bit1 n).div2 = n

bit0 and bit1 #

@[simp]
theorem nat.bit0_eq_bit0 {m n : } :
bit0 m = bit0 n m = n
@[simp]
theorem nat.bit1_eq_bit1 {m n : } :
bit1 m = bit1 n m = n
@[simp]
theorem nat.bit1_eq_one {n : } :
bit1 n = 1 n = 0
@[simp]
theorem nat.one_eq_bit1 {n : } :
1 = bit1 n n = 0
theorem nat.bit0_le {n m : } (h : n m) :
theorem nat.bit1_le {n m : } (h : n m) :
theorem nat.bit_le (b : bool) {n m : } :
n mnat.bit b n nat.bit b m
theorem nat.bit_ne_zero (b : bool) {n : } (h : n 0) :
nat.bit b n 0
theorem nat.bit0_le_bit (b : bool) {m n : } :
m nbit0 m nat.bit b n
theorem nat.bit_le_bit1 (b : bool) {m n : } :
m nnat.bit b m bit1 n
theorem nat.bit_lt_bit0 (b : bool) {n m : } :
n < mnat.bit b n < bit0 m
theorem nat.bit_lt_bit (a b : bool) {n m : } (h : n < m) :
nat.bit a n < nat.bit b m
@[simp]
theorem nat.bit0_le_bit1_iff {n k : } :
bit0 k bit1 n k n
@[simp]
theorem nat.bit0_lt_bit1_iff {n k : } :
bit0 k < bit1 n k n
@[simp]
theorem nat.bit1_le_bit0_iff {n k : } :
bit1 k bit0 n k < n
@[simp]
theorem nat.bit1_lt_bit0_iff {n k : } :
bit1 k < bit0 n k < n
@[simp]
theorem nat.one_le_bit0_iff {n : } :
1 bit0 n 0 < n
@[simp]
theorem nat.one_lt_bit0_iff {n : } :
1 < bit0 n 1 n
@[simp]
theorem nat.bit_le_bit_iff {n k : } {b : bool} :
nat.bit b k nat.bit b n k n
@[simp]
theorem nat.bit_lt_bit_iff {n k : } {b : bool} :
nat.bit b k < nat.bit b n k < n
@[simp]
theorem nat.bit_le_bit1_iff {n k : } {b : bool} :
nat.bit b k bit1 n k n
@[simp]
theorem nat.bit0_mod_two {n : } :
bit0 n % 2 = 0
@[simp]
theorem nat.bit1_mod_two {n : } :
bit1 n % 2 = 1
theorem nat.pos_of_bit0_pos {n : } (h : 0 < bit0 n) :
0 < n
def nat.bit_cases {C : Sort u} (H : Π (b : bool) (n : ), C (nat.bit b n)) (n : ) :
C n

Define a function on depending on parity of the argument.

Equations

decidability of predicates #

@[instance]
def nat.decidable_ball_lt (n : ) (P : Π (k : ), k < n → Prop) [H : Π (n_1 : ) (h : n_1 < n), decidable (P n_1 h)] :
decidable (∀ (n_1 : ) (h : n_1 < n), P n_1 h)
Equations
@[instance]
def nat.decidable_forall_fin {n : } (P : fin n → Prop) [H : decidable_pred P] :
decidable (∀ (i : fin n), P i)
Equations
@[instance]
def nat.decidable_ball_le (n : ) (P : Π (k : ), k n → Prop) [H : Π (n_1 : ) (h : n_1 n), decidable (P n_1 h)] :
decidable (∀ (n_1 : ) (h : n_1 n), P n_1 h)
Equations
@[instance]
def nat.decidable_lo_hi (lo hi : ) (P : → Prop) [H : decidable_pred P] :
decidable (∀ (x : ), lo xx < hiP x)
Equations
@[instance]
def nat.decidable_lo_hi_le (lo hi : ) (P : → Prop) [H : decidable_pred P] :
decidable (∀ (x : ), lo xx hiP x)
Equations
@[instance]
def nat.decidable_exists_lt {P : → Prop} [h : decidable_pred P] :
decidable_pred (λ (n : ), ∃ (m : ), m < n P m)
Equations