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data.finset.card

Cardinality of a finite set #

This defines the cardinality of a finset and provides induction principles for finsets.

Main declarations #

Induction principles #

TODO #

Should we add a noncomputable version?

def finset.card {α : Type u_1} (s : finset α) :

s.card is the number of elements of s, aka its cardinality.

Equations
theorem finset.card_def {α : Type u_1} (s : finset α) :
@[simp]
theorem finset.card_mk {α : Type u_1} {m : multiset α} {nodup : m.nodup} :
{val := m, nodup := nodup}.card = multiset.card m
@[simp]
theorem finset.card_empty {α : Type u_1} :
theorem finset.card_le_of_subset {α : Type u_1} {s t : finset α} :
s ts.card t.card
theorem finset.card_mono {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem finset.card_eq_zero {α : Type u_1} {s : finset α} :
s.card = 0 s =
theorem finset.card_pos {α : Type u_1} {s : finset α} :
theorem finset.nonempty.card_pos {α : Type u_1} {s : finset α} :
s.nonempty0 < s.card

Alias of the reverse direction of finset.card_pos`.

theorem finset.card_ne_zero_of_mem {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} (h : a s) :
s.card 0
@[simp]
theorem finset.card_singleton {α : Type u_1} (a : α) :
{a}.card = 1
theorem finset.card_singleton_inter {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
({a} s).card 1
@[simp]
theorem finset.card_cons {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} (h : a s) :
(finset.cons a s h).card = s.card + 1
@[simp]
theorem finset.card_insert_of_not_mem {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] (h : a s) :
theorem finset.card_insert_of_mem {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] (h : a s) :
theorem finset.card_insert_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : finset α) :
theorem finset.card_insert_eq_ite {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
(has_insert.insert a s).card = ite (a s) s.card (s.card + 1)

If a ∈ s is known, see also finset.card_insert_of_mem and finset.card_insert_of_not_mem.

@[simp]
theorem finset.card_doubleton {α : Type u_1} {a b : α} [decidable_eq α] (h : a b) :
{a, b}.card = 2
@[simp]
theorem finset.card_erase_of_mem {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
a s(s.erase a).card = s.card - 1
@[simp]
theorem finset.card_erase_add_one {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
a s(s.erase a).card + 1 = s.card
theorem finset.card_erase_lt_of_mem {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
a s(s.erase a).card < s.card
theorem finset.card_erase_le {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
(s.erase a).card s.card
theorem finset.pred_card_le_card_erase {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
s.card - 1 (s.erase a).card
theorem finset.card_erase_eq_ite {α : Type u_1} {s : finset α} {a : α} [decidable_eq α] :
(s.erase a).card = ite (a s) (s.card - 1) s.card

If a ∈ s is known, see also finset.card_erase_of_mem and finset.erase_eq_of_not_mem.

@[simp]
theorem finset.card_range (n : ) :
@[simp]
theorem finset.card_attach {α : Type u_1} {s : finset α} :
theorem multiset.to_finset_card_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] {m : multiset α} (h : m.nodup) :
theorem list.card_to_finset {α : Type u_1} [decidable_eq α] (l : list α) :
theorem list.to_finset_card_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (l : list α) :
theorem list.to_finset_card_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] {l : list α} (h : l.nodup) :
@[simp]
theorem finset.length_to_list {α : Type u_1} (s : finset α) :
theorem finset.card_image_le {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {f : α → β} [decidable_eq β] :
theorem finset.card_image_of_inj_on {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {f : α → β} [decidable_eq β] (H : set.inj_on f s) :
theorem finset.inj_on_of_card_image_eq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {f : α → β} [decidable_eq β] (H : (finset.image f s).card = s.card) :
theorem finset.card_image_eq_iff_inj_on {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {f : α → β} [decidable_eq β] :
theorem finset.card_image_of_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} [decidable_eq β] (s : finset α) (H : function.injective f) :
theorem finset.fiber_card_ne_zero_iff_mem_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : finset α) (f : α → β) [decidable_eq β] (y : β) :
(finset.filter (λ (x : α), f x = y) s).card 0 y finset.image f s
@[simp]
theorem finset.card_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} (f : α β) :
@[simp]
theorem finset.card_subtype {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : finset α) :
theorem finset.card_filter_le {α : Type u_1} (s : finset α) (p : α → Prop) [decidable_pred p] :
theorem finset.eq_of_subset_of_card_le {α : Type u_1} {s t : finset α} (h : s t) (h₂ : t.card s.card) :
s = t
theorem finset.map_eq_of_subset {α : Type u_1} {s : finset α} {f : α α} (hs : finset.map f s s) :
theorem finset.filter_card_eq {α : Type u_1} {s : finset α} {p : α → Prop} [decidable_pred p] (h : (finset.filter p s).card = s.card) (x : α) (hx : x s) :
p x
theorem finset.card_lt_card {α : Type u_1} {s t : finset α} (h : s t) :
s.card < t.card
theorem finset.card_eq_of_bijective {α : Type u_1} {s : finset α} {n : } (f : Π (i : ), i < n → α) (hf : ∀ (a : α), a s(∃ (i : ) (h : i < n), f i h = a)) (hf' : ∀ (i : ) (h : i < n), f i h s) (f_inj : ∀ (i j : ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hji = j) :
s.card = n
theorem finset.card_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {t : finset β} (f : Π (a : α), a s → β) (h₁ : ∀ (a : α) (ha : a s), f a ha t) (h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a s) (hb : b s), f a ha = f b hba = b) (h₃ : ∀ (b : β), b t(∃ (a : α) (ha : a s), f a ha = b)) :
s.card = t.card
theorem finset.card_le_card_of_inj_on {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {t : finset β} (f : α → β) (hf : ∀ (a : α), a sf a t) (f_inj : ∀ (a₁ : α), a₁ s∀ (a₂ : α), a₂ sf a₁ = f a₂a₁ = a₂) :
theorem finset.exists_ne_map_eq_of_card_lt_of_maps_to {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {t : finset β} (hc : t.card < s.card) {f : α → β} (hf : ∀ (a : α), a sf a t) :
∃ (x : α) (H : x s) (y : α) (H : y s), x y f x = f y

If there are more pigeons than pigeonholes, then there are two pigeons in the same pigeonhole.

theorem finset.le_card_of_inj_on_range {α : Type u_1} {s : finset α} {n : } (f : → α) (hf : ∀ (i : ), i < nf i s) (f_inj : ∀ (i : ), i < n∀ (j : ), j < nf i = f ji = j) :
n s.card
theorem finset.surj_on_of_inj_on_of_card_le {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {t : finset β} (f : Π (a : α), a s → β) (hf : ∀ (a : α) (ha : a s), f a ha t) (hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ s) (ha₂ : a₂ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂a₁ = a₂) (hst : t.card s.card) (b : β) (H : b t) :
∃ (a : α) (ha : a s), b = f a ha
theorem finset.inj_on_of_surj_on_of_card_le {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : finset α} {t : finset β} (f : Π (a : α), a s → β) (hf : ∀ (a : α) (ha : a s), f a ha t) (hsurj : ∀ (b : β), b t(∃ (a : α) (ha : a s), b = f a ha)) (hst : s.card t.card) ⦃a₁ a₂ : α⦄ (ha₁ : a₁ s) (ha₂ : a₂ s) (ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂) :
a₁ = a₂
@[simp]
theorem finset.card_disj_union {α : Type u_1} (s t : finset α) (h : ∀ (a : α), a sa t) :
(s.disj_union t h).card = s.card + t.card

Lattice structure #

theorem finset.card_union_add_card_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : finset α) :
(s t).card + (s t).card = s.card + t.card
theorem finset.card_union_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : finset α) :
(s t).card s.card + t.card
theorem finset.card_union_eq {α : Type u_1} {s t : finset α} [decidable_eq α] (h : disjoint s t) :
(s t).card = s.card + t.card
@[simp]
theorem finset.card_disjoint_union {α : Type u_1} {s t : finset α} [decidable_eq α] (h : disjoint s t) :
(s t).card = s.card + t.card
theorem finset.card_sdiff {α : Type u_1} {s t : finset α} [decidable_eq α] (h : s t) :
(t \ s).card = t.card - s.card
theorem finset.card_sdiff_add_card_eq_card {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : finset α} (h : s t) :
(t \ s).card + s.card = t.card
theorem finset.le_card_sdiff {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : finset α) :
t.card - s.card (t \ s).card
theorem finset.card_sdiff_add_card {α : Type u_1} {s t : finset α} [decidable_eq α] :
(s \ t).card + t.card = (s t).card
theorem finset.filter_card_add_filter_neg_card_eq_card {α : Type u_1} {s : finset α} (p : α → Prop) [decidable_pred p] :
theorem finset.exists_intermediate_set {α : Type u_1} {A B : finset α} (i : ) (h₁ : i + B.card A.card) (h₂ : B A) :
∃ (C : finset α), B C C A C.card = i + B.card

Given a set A and a set B inside it, we can shrink A to any appropriate size, and keep B inside it.

theorem finset.exists_smaller_set {α : Type u_1} (A : finset α) (i : ) (h₁ : i A.card) :
∃ (B : finset α), B A B.card = i

We can shrink A to any smaller size.

theorem finset.exists_subset_or_subset_of_two_mul_lt_card {α : Type u_1} [decidable_eq α] {X Y : finset α} {n : } (hXY : 2 * n < (X Y).card) :
∃ (C : finset α), n < C.card (C X C Y)

Explicit description of a finset from its card #

theorem finset.card_eq_one {α : Type u_1} {s : finset α} :
s.card = 1 ∃ (a : α), s = {a}
theorem finset.exists_eq_insert_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : finset α} :
(∃ (a : α) (H : a s), has_insert.insert a s = t) s t s.card + 1 = t.card
theorem finset.card_le_one {α : Type u_1} {s : finset α} :
s.card 1 ∀ (a : α), a s∀ (b : α), b sa = b
theorem finset.card_le_one_iff {α : Type u_1} {s : finset α} :
s.card 1 ∀ {a b : α}, a sb sa = b
theorem finset.card_le_one_iff_subset_singleton {α : Type u_1} {s : finset α} [nonempty α] :
s.card 1 ∃ (x : α), s {x}
theorem finset.card_le_one_of_subsingleton {α : Type u_1} [subsingleton α] (s : finset α) :
s.card 1

A finset of a subsingleton type has cardinality at most one.

theorem finset.one_lt_card {α : Type u_1} {s : finset α} :
1 < s.card ∃ (a : α) (H : a s) (b : α) (H : b s), a b
theorem finset.one_lt_card_iff {α : Type u_1} {s : finset α} :
1 < s.card ∃ (a b : α), a s b s a b
theorem finset.two_lt_card_iff {α : Type u_1} {s : finset α} :
2 < s.card ∃ (a b c : α), a s b s c s a b a c b c
theorem finset.two_lt_card {α : Type u_1} {s : finset α} :
2 < s.card ∃ (a : α) (H : a s) (b : α) (H : b s) (c : α) (H : c s), a b a c b c
theorem finset.exists_ne_of_one_lt_card {α : Type u_1} {s : finset α} (hs : 1 < s.card) (a : α) :
∃ (b : α), b s b a
theorem finset.card_eq_succ {α : Type u_1} {s : finset α} {n : } [decidable_eq α] :
s.card = n + 1 ∃ (a : α) (t : finset α), a t has_insert.insert a t = s t.card = n
theorem finset.card_eq_two {α : Type u_1} {s : finset α} [decidable_eq α] :
s.card = 2 ∃ (x y : α), x y s = {x, y}
theorem finset.card_eq_three {α : Type u_1} {s : finset α} [decidable_eq α] :
s.card = 3 ∃ (x y z : α), x y x z y z s = {x, y, z}

Inductions #

def finset.strong_induction {α : Type u_1} {p : finset αSort u_2} (H : Π (s : finset α), (Π (t : finset α), t sp t)p s) (s : finset α) :
p s

Suppose that, given objects defined on all strict subsets of any finset s, one knows how to define an object on s. Then one can inductively define an object on all finsets, starting from the empty set and iterating. This can be used either to define data, or to prove properties.

Equations
theorem finset.strong_induction_eq {α : Type u_1} {p : finset αSort u_2} (H : Π (s : finset α), (Π (t : finset α), t sp t)p s) (s : finset α) :
finset.strong_induction H s = H s (λ (t : finset α) (h : t s), finset.strong_induction H t)
def finset.strong_induction_on {α : Type u_1} {p : finset αSort u_2} (s : finset α) :
(Π (s : finset α), (Π (t : finset α), t sp t)p s)p s

Analogue of strong_induction with order of arguments swapped.

Equations
theorem finset.strong_induction_on_eq {α : Type u_1} {p : finset αSort u_2} (s : finset α) (H : Π (s : finset α), (Π (t : finset α), t sp t)p s) :
s.strong_induction_on H = H s (λ (t : finset α) (h : t s), t.strong_induction_on H)
theorem finset.case_strong_induction_on {α : Type u_1} [decidable_eq α] {p : finset α → Prop} (s : finset α) (h₀ : p ) (h₁ : ∀ (a : α) (s : finset α), a s(∀ (t : finset α), t sp t)p (has_insert.insert a s)) :
p s
def finset.strong_downward_induction {α : Type u_1} {p : finset αSort u_2} {n : } (H : Π (t₁ : finset α), (Π {t₂ : finset α}, t₂.card nt₁ t₂p t₂)t₁.card np t₁) (s : finset α) :
s.card np s

Suppose that, given that p t can be defined on all supersets of s of cardinality less than n, one knows how to define p s. Then one can inductively define p s for all finsets s of cardinality less than n, starting from finsets of card n and iterating. This can be used either to define data, or to prove properties.

Equations
theorem finset.strong_downward_induction_eq {α : Type u_1} {n : } {p : finset αSort u_2} (H : Π (t₁ : finset α), (Π {t₂ : finset α}, t₂.card nt₁ t₂p t₂)t₁.card np t₁) (s : finset α) :
finset.strong_downward_induction H s = H s (λ (t : finset α) (ht : t.card n) (hst : s t), finset.strong_downward_induction H t ht)
def finset.strong_downward_induction_on {α : Type u_1} {n : } {p : finset αSort u_2} (s : finset α) (H : Π (t₁ : finset α), (Π {t₂ : finset α}, t₂.card nt₁ t₂p t₂)t₁.card np t₁) :
s.card np s

Analogue of strong_downward_induction with order of arguments swapped.

Equations
theorem finset.strong_downward_induction_on_eq {α : Type u_1} {n : } {p : finset αSort u_2} (s : finset α) (H : Π (t₁ : finset α), (Π {t₂ : finset α}, t₂.card nt₁ t₂p t₂)t₁.card np t₁) :
s.strong_downward_induction_on H = H s (λ (t : finset α) (ht : t.card n) (h : s t), t.strong_downward_induction_on H ht)
theorem finset.lt_wf {α : Type u_1} :