data.set.lattice

# The set lattice #

This file provides usual set notation for unions and intersections, a `complete_lattice` instance for `set α`, and some more set constructions.

## Main declarations #

• `set.Union`: Union of an indexed family of sets.
• `set.Inter`: Intersection of an indexed family of sets.
• `set.sInter`: set Inter. Intersection of sets belonging to a set of sets.
• `set.sUnion`: set Union. Intersection of sets belonging to a set of sets. This is actually defined in core Lean.
• `set.sInter_eq_bInter`, `set.sUnion_eq_bInter`: Shows that `⋂₀ s = ⋂ x ∈ s, x` and `⋃₀ s = ⋃ x ∈ s, x`.
• `set.complete_boolean_algebra`: `set α` is a `complete_boolean_algebra` with `≤ = ⊆`, `< = ⊂`, `⊓ = ∩`, `⊔ = ∪`, `⨅ = ⋂`, `⨆ = ⋃` and `\` as the set difference. See `set.boolean_algebra`.
• `set.kern_image`: For a function `f : α → β`, `s.kern_image f` is the set of `y` such that `f ⁻¹ y ⊆ s`.
• `set.seq`: Union of the image of a set under a sequence of functions. `seq s t` is the union of `f '' t` over all `f ∈ s`, where `t : set α` and `s : set (α → β)`.
• `set.pairwise_disjoint`: `pairwise_disjoint s` states that all sets in `s` are either equal or disjoint.
• `set.Union_eq_sigma_of_disjoint`: Equivalence between `⋃ i, t i` and `Σ i, t i`, where `t` is an indexed family of disjoint sets.

## Notation #

• `⋃`: `set.Union`
• `⋂`: `set.Inter`
• `⋃₀`: `set.sUnion`
• `⋂₀`: `set.sInter`

### Complete lattice and complete Boolean algebra instances #

@[instance]
def set.has_Inf {α : Type u_1} :
Equations
@[instance]
def set.has_Sup {α : Type u_1} :
Equations
def set.sInter {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
set α

Intersection of a set of sets.

Equations
@[simp]
theorem set.mem_sInter {α : Type u_1} {x : α} {S : set (set α)} :
x ⋂₀S ∀ (t : set α), t Sx t
def set.Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
set β

Indexed union of a family of sets

Equations
def set.Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
set β

Indexed intersection of a family of sets

Equations
@[simp]
theorem set.Sup_eq_sUnion {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
@[simp]
theorem set.Inf_eq_sInter {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
@[simp]
theorem set.supr_eq_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (s : ι → set α) :
supr s =
@[simp]
theorem set.infi_eq_Inter {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (s : ι → set α) :
infi s =
@[simp]
theorem set.mem_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {x : β} {s : ι → set β} :
x ∃ (i : ι), x s i
@[simp]
theorem set.mem_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {x : β} {s : ι → set β} :
x ∀ (i : ι), x s i
theorem set.mem_sUnion {α : Type u_1} {x : α} {S : set (set α)} :
x ⋃₀S ∃ (t : set α) (H : t S), x t
@[instance]
def set.complete_boolean_algebra {α : Type u_1} :
Equations
theorem set.monotone_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} :

`set.image` is monotone. See `set.image_image` for the statement in terms of `⊆`.

theorem set.monotone_inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} [preorder β] {f g : β → set α} (hf : monotone f) (hg : monotone g) :
monotone (λ (x : β), f x g x)
theorem set.monotone_union {α : Type u_1} {β : Type u_2} [preorder β] {f g : β → set α} (hf : monotone f) (hg : monotone g) :
monotone (λ (x : β), f x g x)
theorem set.monotone_set_of {α : Type u_1} {β : Type u_2} [preorder α] {p : α → β → Prop} (hp : ∀ (b : β), monotone (λ (a : α), p a b)) :
monotone (λ (a : α), {b : β | p a b})
theorem set.image_preimage {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} :
def set.kern_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : set α) :
set β

`kern_image f s` is the set of `y` such that `f ⁻¹ y ⊆ s`.

Equations
• = {y : β | ∀ ⦃x : α⦄, f x = yx s}
theorem set.preimage_kern_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} :

### Union and intersection over an indexed family of sets #

theorem set.Union_congr_Prop {α : Type u_1} {p q : Prop} {f₁ : p → set α} {f₂ : q → set α} (pq : p q) (f : ∀ (x : q), f₁ _ = f₂ x) :
=
theorem set.Inter_congr_Prop {α : Type u_1} {p q : Prop} {f₁ : p → set α} {f₂ : q → set α} (pq : p q) (f : ∀ (x : q), f₁ _ = f₂ x) :
=
theorem set.Union_eq_if {α : Type u_1} {p : Prop} [decidable p] (s : set α) :
(⋃ (h : p), s) = ite p s
theorem set.Union_eq_dif {α : Type u_1} {p : Prop} [decidable p] (s : p → set α) :
(⋃ (h : p), s h) = dite p (λ (h : p), s h) (λ (h : ¬p), )
theorem set.Inter_eq_if {α : Type u_1} {p : Prop} [decidable p] (s : set α) :
(⋂ (h : p), s) = ite p s set.univ
theorem set.Infi_eq_dif {α : Type u_1} {p : Prop} [decidable p] (s : p → set α) :
(⋂ (h : p), s h) = dite p (λ (h : p), s h) (λ (h : ¬p), set.univ)
theorem set.exists_set_mem_of_union_eq_top {β : Type u_2} {ι : Type u_1} (t : set ι) (s : ι → set β) (w : (⋃ (i : ι) (H : i t), s i) = ) (x : β) :
∃ (i : ι) (H : i t), x s i
theorem set.nonempty_of_union_eq_top_of_nonempty {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (t : set ι) (s : ι → set α) (H : nonempty α) (w : (⋃ (i : ι) (H : i t), s i) = ) :
theorem set.set_of_exists {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (p : ι → β → Prop) :
{x : β | ∃ (i : ι), p i x} = ⋃ (i : ι), {x : β | p i x}
theorem set.set_of_forall {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (p : ι → β → Prop) :
{x : β | ∀ (i : ι), p i x} = ⋂ (i : ι), {x : β | p i x}
theorem set.Union_subset {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set β} {t : set β} (h : ∀ (i : ι), s i t) :
(⋃ (i : ι), s i) t
theorem set.Union_subset_iff {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set β} {t : set β} :
(⋃ (i : ι), s i) t ∀ (i : ι), s i t
theorem set.mem_Inter_of_mem {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {x : β} {s : ι → set β} :
(∀ (i : ι), x s i)(x ⋂ (i : ι), s i)
theorem set.subset_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {t : set β} {s : ι → set β} (h : ∀ (i : ι), t s i) :
t ⋂ (i : ι), s i
theorem set.subset_Inter_iff {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {t : set β} {s : ι → set β} :
(t ⋂ (i : ι), s i) ∀ (i : ι), t s i
theorem set.subset_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) (i : ι) :
s i ⋃ (i : ι), s i
theorem set.subset_subset_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {A : set β} {s : ι → set β} (i : ι) (h : A s i) :
A ⋃ (i : ι), s i

This rather trivial consequence of `subset_Union`is convenient with `apply`, and has `i` explicit for this purpose.

theorem set.Inter_subset {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) (i : ι) :
(⋂ (i : ι), s i) s i
theorem set.Inter_subset_of_subset {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : set α} (i : ι) (h : s i t) :
(⋂ (i : ι), s i) t
theorem set.Inter_subset_Inter {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s t : ι → set α} (h : ∀ (i : ι), s i t i) :
(⋂ (i : ι), s i) ⋂ (i : ι), t i
theorem set.Inter_subset_Inter2 {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {s : ι → set α} {t : ι' → set α} (h : ∀ (j : ι'), ∃ (i : ι), s i t j) :
(⋂ (i : ι), s i) ⋂ (j : ι'), t j
theorem set.Inter_set_of {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (P : ι → α → Prop) :
(⋂ (i : ι), {x : α | P i x}) = {x : α | ∀ (i : ι), P i x}
theorem set.Union_congr {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {f : ι → set α} {g : ι₂ → set α} (h : ι → ι₂) (h1 : function.surjective h) (h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x) :
(⋃ (x : ι), f x) = ⋃ (y : ι₂), g y
theorem set.Inter_congr {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {f : ι → set α} {g : ι₂ → set α} (h : ι → ι₂) (h1 : function.surjective h) (h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x) :
(⋂ (x : ι), f x) = ⋂ (y : ι₂), g y
theorem set.Union_const {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) :
(⋃ (i : ι), s) = s
theorem set.Inter_const {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) :
(⋂ (i : ι), s) = s
@[simp]
theorem set.compl_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), s i) = ⋂ (i : ι), (s i)
@[simp]
theorem set.compl_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
(⋂ (i : ι), s i) = ⋃ (i : ι), (s i)
theorem set.Union_eq_comp_Inter_comp {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), s i) = (⋂ (i : ι), (s i))
theorem set.Inter_eq_comp_Union_comp {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set β) :
(⋂ (i : ι), s i) = (⋃ (i : ι), (s i))
theorem set.inter_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : set β) (t : ι → set β) :
(s ⋃ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), s t i
theorem set.Union_inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : set β) (t : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), t i) s = ⋃ (i : ι), t i s
theorem set.Union_union_distrib {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s t : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), s i t i) = (⋃ (i : ι), s i) ⋃ (i : ι), t i
theorem set.Inter_inter_distrib {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s t : ι → set β) :
(⋂ (i : ι), s i t i) = (⋂ (i : ι), s i) ⋂ (i : ι), t i
theorem set.union_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) (t : ι → set β) :
(s ⋃ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), s t i
theorem set.Union_union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) (t : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), t i) s = ⋃ (i : ι), t i s
theorem set.inter_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) (t : ι → set β) :
(s ⋂ (i : ι), t i) = ⋂ (i : ι), s t i
theorem set.Inter_inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) (t : ι → set β) :
(⋂ (i : ι), t i) s = ⋂ (i : ι), t i s
theorem set.union_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : set β) (t : ι → set β) :
(s ⋂ (i : ι), t i) = ⋂ (i : ι), s t i
theorem set.Union_diff {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : set β) (t : ι → set β) :
(⋃ (i : ι), t i) \ s = ⋃ (i : ι), t i \ s
theorem set.diff_Union {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] (s : set β) (t : ι → set β) :
(s \ ⋃ (i : ι), t i) = ⋂ (i : ι), s \ t i
theorem set.diff_Inter {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : set β) (t : ι → set β) :
(s \ ⋂ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), s \ t i
theorem set.directed_on_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {r : α → α → Prop} {f : ι → set α} (hd : f) (h : ∀ (x : ι), (f x)) :
(⋃ (x : ι), f x)
theorem set.Union_inter_subset {ι : Sort u_1} {α : Type u_2} {s t : ι → set α} :
(⋃ (i : ι), s i t i) (⋃ (i : ι), s i) ⋃ (i : ι), t i
theorem set.Union_inter_of_monotone {ι : Type u_1} {α : Type u_2} {s t : ι → set α} (hs : monotone s) (ht : monotone t) :
(⋃ (i : ι), s i t i) = (⋃ (i : ι), s i) ⋃ (i : ι), t i
theorem set.Union_Inter_subset {ι : Sort u_1} {ι' : Sort u_2} {α : Type u_3} {s : ι → ι' → set α} :
(⋃ (j : ι'), ⋂ (i : ι), s i j) ⋂ (i : ι), ⋃ (j : ι'), s i j

An equality version of this lemma is `Union_Inter_of_monotone` in `data.set.finite`.

theorem set.Union_option {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : set α) :
(⋃ (o : option ι), s o) = s none ⋃ (i : ι), s (some i)
theorem set.Inter_option {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : set α) :
(⋂ (o : option ι), s o) = s none ⋂ (i : ι), s (some i)
theorem set.Union_dite {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (p : ι → Prop) (f : Π (i : ι), p iset α) (g : Π (i : ι), ¬p iset α) :
(⋃ (i : ι), dite (p i) (λ (h : p i), f i h) (λ (h : ¬p i), g i h)) = (⋃ (i : ι) (h : p i), f i h) ⋃ (i : ι) (h : ¬p i), g i h
theorem set.Union_ite {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (p : ι → Prop) (f g : ι → set α) :
(⋃ (i : ι), ite (p i) (f i) (g i)) = (⋃ (i : ι) (h : p i), f i) ⋃ (i : ι) (h : ¬p i), g i
theorem set.Inter_dite {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (p : ι → Prop) (f : Π (i : ι), p iset α) (g : Π (i : ι), ¬p iset α) :
(⋂ (i : ι), dite (p i) (λ (h : p i), f i h) (λ (h : ¬p i), g i h)) = (⋂ (i : ι) (h : p i), f i h) ⋂ (i : ι) (h : ¬p i), g i h
theorem set.Inter_ite {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (p : ι → Prop) (f g : ι → set α) :
(⋂ (i : ι), ite (p i) (f i) (g i)) = (⋂ (i : ι) (h : p i), f i) ⋂ (i : ι) (h : ¬p i), g i
theorem set.image_projection_prod {ι : Type u_1} {α : ι → Type u_2} {v : Π (i : ι), set (α i)} (hv : (set.univ.pi v).nonempty) (i : ι) :
((λ (x : Π (i : ι), α i), x i) '' ⋂ (k : ι), (λ (x : Π (j : ι), α j), x k) ⁻¹' v k) = v i

### Unions and intersections indexed by `Prop`#

@[simp]
theorem set.Inter_false {α : Type u_1} {s : falseset α} :
@[simp]
theorem set.Union_false {α : Type u_1} {s : falseset α} :
@[simp]
theorem set.Inter_true {α : Type u_1} {s : trueset α} :
@[simp]
theorem set.Union_true {α : Type u_1} {s : trueset α} :
@[simp]
theorem set.Inter_exists {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {f : set α} :
(⋂ (x : Exists p), f x) = ⋂ (i : ι) (h : p i), f _
@[simp]
theorem set.Union_exists {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {f : set α} :
(⋃ (x : Exists p), f x) = ⋃ (i : ι) (h : p i), f _
@[simp]
theorem set.Union_empty {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} :
(⋃ (i : ι), ) =
@[simp]
theorem set.Inter_univ {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} :
(⋂ (i : ι), set.univ) = set.univ
@[simp]
theorem set.Union_eq_empty {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} :
(⋃ (i : ι), s i) = ∀ (i : ι), s i =
@[simp]
theorem set.Inter_eq_univ {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} :
(⋂ (i : ι), s i) = set.univ ∀ (i : ι), s i = set.univ
@[simp]
theorem set.nonempty_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} :
(⋃ (i : ι), s i).nonempty ∃ (i : ι), (s i).nonempty
theorem set.Union_nonempty_index {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : s.nonemptyset β) :
(⋃ (h : s.nonempty), t h) = ⋃ (x : α) (H : x s), t _
@[simp]
theorem set.Inter_Inter_eq_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : Π (x : β), x = bset α} :
(⋂ (x : β) (h : x = b), s x h) = s b rfl
@[simp]
theorem set.Inter_Inter_eq_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : Π (x : β), b = xset α} :
(⋂ (x : β) (h : b = x), s x h) = s b rfl
@[simp]
theorem set.Union_Union_eq_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : Π (x : β), x = bset α} :
(⋃ (x : β) (h : x = b), s x h) = s b rfl
@[simp]
theorem set.Union_Union_eq_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : Π (x : β), b = xset α} :
(⋃ (x : β) (h : b = x), s x h) = s b rfl
theorem set.Inter_or {α : Type u_1} {p q : Prop} (s : p qset α) :
(⋂ (h : p q), s h) = (⋂ (h : p), s _) ⋂ (h : q), s _
theorem set.Union_or {α : Type u_1} {p q : Prop} (s : p qset α) :
(⋃ (h : p q), s h) = (⋃ (i : p), s _) ⋃ (j : q), s _
theorem set.Union_and {α : Type u_1} {p q : Prop} (s : p qset α) :
(⋃ (h : p q), s h) = ⋃ (hp : p) (hq : q), s _
theorem set.Inter_and {α : Type u_1} {p q : Prop} (s : p qset α) :
(⋂ (h : p q), s h) = ⋂ (hp : p) (hq : q), s _
theorem set.Union_comm {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (s : ι → ι' → set α) :
(⋃ (i : ι) (i' : ι'), s i i') = ⋃ (i' : ι') (i : ι), s i i'
theorem set.Inter_comm {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (s : ι → ι' → set α) :
(⋂ (i : ι) (i' : ι'), s i i') = ⋂ (i' : ι') (i : ι), s i i'
@[simp]
theorem set.bUnion_and {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (p : ι → Prop) (q : ι → ι' → Prop) (s : Π (x : ι) (y : ι'), p x q x yset α) :
(⋃ (x : ι) (y : ι') (h : p x q x y), s x y h) = ⋃ (x : ι) (hx : p x) (y : ι') (hy : q x y), s x y _
@[simp]
theorem set.bUnion_and' {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (p : ι' → Prop) (q : ι → ι' → Prop) (s : Π (x : ι) (y : ι'), p y q x yset α) :
(⋃ (x : ι) (y : ι') (h : p y q x y), s x y h) = ⋃ (y : ι') (hy : p y) (x : ι) (hx : q x y), s x y _
@[simp]
theorem set.bInter_and {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (p : ι → Prop) (q : ι → ι' → Prop) (s : Π (x : ι) (y : ι'), p x q x yset α) :
(⋂ (x : ι) (y : ι') (h : p x q x y), s x y h) = ⋂ (x : ι) (hx : p x) (y : ι') (hy : q x y), s x y _
@[simp]
theorem set.bInter_and' {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} (p : ι' → Prop) (q : ι → ι' → Prop) (s : Π (x : ι) (y : ι'), p y q x yset α) :
(⋂ (x : ι) (y : ι') (h : p y q x y), s x y h) = ⋂ (y : ι') (hy : p y) (x : ι) (hx : q x y), s x y _
@[simp]
theorem set.Union_Union_eq_or_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {p : β → Prop} {s : Π (x : β), x = b p xset α} :
(⋃ (x : β) (h : x = b p x), s x h) = s b _ ⋃ (x : β) (h : p x), s x _
@[simp]
theorem set.Inter_Inter_eq_or_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {p : β → Prop} {s : Π (x : β), x = b p xset α} :
(⋂ (x : β) (h : x = b p x), s x h) = s b _ ⋂ (x : β) (h : p x), s x _

### Bounded unions and intersections #

theorem set.mem_bUnion_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} {y : β} :
(y ⋃ (x : α) (H : x s), t x) ∃ (x : α) (H : x s), y t x
theorem set.mem_bUnion_iff' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} {t : α → set β} {y : β} :
(y ⋃ (i : α) (h : p i), t i) ∃ (i : α) (h : p i), y t i
theorem set.mem_bInter_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} {y : β} :
(y ⋂ (x : α) (H : x s), t x) ∀ (x : α), x sy t x
theorem set.mem_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} {x : α} {y : β} (xs : x s) (ytx : y t x) :
y ⋃ (x : α) (H : x s), t x
theorem set.mem_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} {y : β} (h : ∀ (x : α), x sy t x) :
y ⋂ (x : α) (H : x s), t x
theorem set.bUnion_subset {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : set β} {u : α → set β} (h : ∀ (x : α), x su x t) :
(⋃ (x : α) (H : x s), u x) t
theorem set.subset_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : set β} {u : α → set β} (h : ∀ (x : α), x st u x) :
t ⋂ (x : α) (H : x s), u x
theorem set.subset_bUnion_of_mem {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {u : α → set β} {x : α} (xs : x s) :
u x ⋃ (x : α) (H : x s), u x
theorem set.bInter_subset_of_mem {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} {x : α} (xs : x s) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t x) t x
theorem set.bUnion_subset_bUnion_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s s' : set α} {t : α → set β} (h : s s') :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x) ⋃ (x : α) (H : x s'), t x
theorem set.bInter_subset_bInter_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s s' : set α} {t : α → set β} (h : s' s) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t x) ⋂ (x : α) (H : x s'), t x
theorem set.bUnion_subset_bUnion_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t1 t2 : α → set β} (h : ∀ (x : α), x st1 x t2 x) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t1 x) ⋃ (x : α) (H : x s), t2 x
theorem set.bInter_subset_bInter_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t1 t2 : α → set β} (h : ∀ (x : α), x st1 x t2 x) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t1 x) ⋂ (x : α) (H : x s), t2 x
theorem set.bUnion_subset_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : set α} {t : α → set β} {s' : set γ} {t' : γ → set β} (h : ∀ (x : α), x s(∃ (y : γ) (H : y s'), t x t' y)) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x) ⋃ (y : γ) (H : y s'), t' y
theorem set.bInter_mono' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s s' : set α} {t t' : α → set β} (hs : s s') (h : ∀ (x : α), x st x t' x) :
(⋂ (x : α) (H : x s'), t x) ⋂ (x : α) (H : x s), t' x
theorem set.bInter_mono {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t t' : α → set β} (h : ∀ (x : α), x st x t' x) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t x) ⋂ (x : α) (H : x s), t' x
theorem set.bUnion_mono {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t t' : α → set β} (h : ∀ (x : α), x st x t' x) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x) ⋃ (x : α) (H : x s), t' x
theorem set.bUnion_eq_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : Π (x : α), x sset β) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x H) = ⋃ (x : s), t x _
theorem set.bInter_eq_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : Π (x : α), x sset β) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t x H) = ⋂ (x : s), t x _
theorem set.bInter_empty {α : Type u_1} {β : Type u_2} (u : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : x ), u x) = set.univ
theorem set.bInter_univ {α : Type u_1} {β : Type u_2} (u : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : , u x) = ⋂ (x : α), u x
@[simp]
theorem set.bUnion_self {α : Type u_1} (s : set α) :
(⋃ (x : α) (H : x s), s) = s
@[simp]
theorem set.Union_nonempty_self {α : Type u_1} (s : set α) :
(⋃ (h : s.nonempty), s) = s
theorem set.bInter_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : x {a}), s x) = s a
theorem set.bInter_union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : set α) (u : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : x s t), u x) = (⋂ (x : α) (H : x s), u x) ⋂ (x : α) (H : x t), u x
theorem set.bInter_insert {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : set α) (t : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : x s), t x) = t a ⋂ (x : α) (H : x s), t x
theorem set.bInter_pair {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a b : α) (s : α → set β) :
(⋂ (x : α) (H : x {a, b}), s x) = s a s b
theorem set.bInter_inter {ι : Type u_1} {α : Type u_2} {s : set ι} (hs : s.nonempty) (f : ι → set α) (t : set α) :
(⋂ (i : ι) (H : i s), f i t) = (⋂ (i : ι) (H : i s), f i) t
theorem set.inter_bInter {ι : Type u_1} {α : Type u_2} {s : set ι} (hs : s.nonempty) (f : ι → set α) (t : set α) :
(⋂ (i : ι) (H : i s), t f i) = t ⋂ (i : ι) (H : i s), f i
theorem set.bUnion_empty {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x ), s x) =
theorem set.bUnion_univ {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : , s x) = ⋃ (x : α), s x
theorem set.bUnion_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x {a}), s x) = s a
@[simp]
theorem set.bUnion_of_singleton {α : Type u_1} (s : set α) :
(⋃ (x : α) (H : x s), {x}) = s
theorem set.bUnion_union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : set α) (u : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x s t), u x) = (⋃ (x : α) (H : x s), u x) ⋃ (x : α) (H : x t), u x
@[simp]
theorem set.Union_subtype {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (f : α → set β) :
(⋃ (i : s), f i) = ⋃ (i : α) (H : i s), f i
theorem set.bUnion_insert {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : set α) (t : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x) = t a ⋃ (x : α) (H : x s), t x
theorem set.bUnion_pair {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a b : α) (s : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x {a, b}), s x) = s a s b
theorem set.compl_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : α → set β) :
(⋃ (i : α) (H : i s), t i) = ⋂ (i : α) (H : i s), (t i)
theorem set.compl_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : α → set β) :
(⋂ (i : α) (H : i s), t i) = ⋃ (i : α) (H : i s), (t i)
theorem set.inter_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : α → set β) (u : set β) :
(u ⋃ (i : α) (H : i s), t i) = ⋃ (i : α) (H : i s), u t i
theorem set.bUnion_inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : α → set β) (u : set β) :
(⋃ (i : α) (H : i s), t i) u = ⋃ (i : α) (H : i s), t i u
theorem set.mem_sUnion_of_mem {α : Type u_1} {x : α} {t : set α} {S : set (set α)} (hx : x t) (ht : t S) :
theorem set.not_mem_of_not_mem_sUnion {α : Type u_1} {x : α} {t : set α} {S : set (set α)} (hx : x ⋃₀S) (ht : t S) :
x t
theorem set.sInter_subset_of_mem {α : Type u_1} {S : set (set α)} {t : set α} (tS : t S) :
theorem set.subset_sUnion_of_mem {α : Type u_1} {S : set (set α)} {t : set α} (tS : t S) :
theorem set.subset_sUnion_of_subset {α : Type u_1} {s : set α} (t : set (set α)) (u : set α) (h₁ : s u) (h₂ : u t) :
theorem set.sUnion_subset {α : Type u_1} {S : set (set α)} {t : set α} (h : ∀ (t' : set α), t' St' t) :
theorem set.sUnion_subset_iff {α : Type u_1} {s : set (set α)} {t : set α} :
⋃₀s t ∀ (t' : set α), t' st' t
theorem set.subset_sInter {α : Type u_1} {S : set (set α)} {t : set α} (h : ∀ (t' : set α), t' St t') :
theorem set.sUnion_subset_sUnion {α : Type u_1} {S T : set (set α)} (h : S T) :
theorem set.sInter_subset_sInter {α : Type u_1} {S T : set (set α)} (h : S T) :
@[simp]
theorem set.sUnion_empty {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem set.sInter_empty {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem set.sUnion_singleton {α : Type u_1} (s : set α) :
⋃₀{s} = s
@[simp]
theorem set.sInter_singleton {α : Type u_1} (s : set α) :
⋂₀{s} = s
@[simp]
theorem set.sUnion_eq_empty {α : Type u_1} {S : set (set α)} :
⋃₀S = ∀ (s : set α), s Ss =
@[simp]
theorem set.sInter_eq_univ {α : Type u_1} {S : set (set α)} :
∀ (s : set α), s S
@[simp]
theorem set.nonempty_sUnion {α : Type u_1} {S : set (set α)} :
(⋃₀S).nonempty ∃ (s : set α) (H : s S), s.nonempty
theorem set.nonempty.of_sUnion {α : Type u_1} {s : set (set α)} (h : (⋃₀s).nonempty) :
theorem set.nonempty.of_sUnion_eq_univ {α : Type u_1} [nonempty α] {s : set (set α)} (h : ⋃₀s = set.univ) :
theorem set.sUnion_union {α : Type u_1} (S T : set (set α)) :
theorem set.sInter_union {α : Type u_1} (S T : set (set α)) :
theorem set.sInter_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} (s : ι → set (set α)) :
(⋂₀⋃ (i : ι), s i) = ⋂ (i : ι), ⋂₀s i
@[simp]
theorem set.sUnion_insert {α : Type u_1} (s : set α) (T : set (set α)) :
@[simp]
theorem set.sInter_insert {α : Type u_1} (s : set α) (T : set (set α)) :
theorem set.sUnion_pair {α : Type u_1} (s t : set α) :
⋃₀{s, t} = s t
theorem set.sInter_pair {α : Type u_1} (s t : set α) :
⋂₀{s, t} = s t
@[simp]
theorem set.sUnion_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → set β) (s : set α) :
⋃₀(f '' s) = ⋃ (x : α) (H : x s), f x
@[simp]
theorem set.sInter_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → set β) (s : set α) :
⋂₀(f '' s) = ⋂ (x : α) (H : x s), f x
@[simp]
theorem set.sUnion_range {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (f : ι → set β) :
= ⋃ (x : ι), f x
@[simp]
theorem set.sInter_range {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (f : ι → set β) :
= ⋂ (x : ι), f x
theorem set.Union_eq_univ_iff {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {f : ι → set α} :
(⋃ (i : ι), f i) = set.univ ∀ (x : α), ∃ (i : ι), x f i
theorem set.bUnion_eq_univ_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → set β} {s : set α} :
(⋃ (x : α) (H : x s), f x) = set.univ ∀ (y : β), ∃ (x : α) (H : x s), y f x
theorem set.sUnion_eq_univ_iff {α : Type u_1} {c : set (set α)} :
∀ (a : α), ∃ (b : set α) (H : b c), a b
theorem set.Inter_eq_empty_iff {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {f : ι → set α} :
(⋂ (i : ι), f i) = ∀ (x : α), ∃ (i : ι), x f i
theorem set.bInter_eq_empty_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → set β} {s : set α} :
(⋂ (x : α) (H : x s), f x) = ∀ (y : β), ∃ (x : α) (H : x s), y f x
theorem set.sInter_eq_empty_iff {α : Type u_1} {c : set (set α)} :
⋂₀c = ∀ (a : α), ∃ (b : set α) (H : b c), a b
@[simp]
theorem set.nonempty_Inter {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {f : ι → set α} :
(⋂ (i : ι), f i).nonempty ∃ (x : α), ∀ (i : ι), x f i
@[simp]
theorem set.nonempty_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → set β} {s : set α} :
(⋂ (x : α) (H : x s), f x).nonempty ∃ (y : β), ∀ (x : α), x sy f x
@[simp]
theorem set.nonempty_sInter {α : Type u_1} {c : set (set α)} :
(⋂₀c).nonempty ∃ (a : α), ∀ (b : set α), b ca b
theorem set.compl_sUnion {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
theorem set.sUnion_eq_compl_sInter_compl {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
theorem set.compl_sInter {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
theorem set.sInter_eq_comp_sUnion_compl {α : Type u_1} (S : set (set α)) :
theorem set.inter_empty_of_inter_sUnion_empty {α : Type u_1} {s t : set α} {S : set (set α)} (hs : t S) (h : s ⋃₀S = ) :
s t =
theorem set.range_sigma_eq_Union_range {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : α → Type u_3} (f : → β) :
= ⋃ (a : α), set.range (λ (b : γ a), f a, b⟩)
theorem set.Union_eq_range_sigma {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : α → set β) :
(⋃ (i : α), s i) = set.range (λ (a : Σ (i : α), (s i)), (a.snd))
theorem set.Union_image_preimage_sigma_mk_eq_self {ι : Type u_1} {σ : ι → Type u_2} (s : set (sigma σ)) :
(⋃ (i : ι), '' (sigma.mk i ⁻¹' s)) = s
theorem set.sUnion_mono {α : Type u_1} {s t : set (set α)} (h : s t) :
theorem set.Union_subset_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s t : ι → set α} (h : ∀ (i : ι), s i t i) :
(⋃ (i : ι), s i) ⋃ (i : ι), t i
theorem set.Union_subset_Union2 {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {s : ι → set α} {t : ι₂ → set α} (h : ∀ (i : ι), ∃ (j : ι₂), s i t j) :
(⋃ (i : ι), s i) ⋃ (i : ι₂), t i
theorem set.Union_subset_Union_const {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {s : set α} (h : ι → ι₂) :
(⋃ (i : ι), s) ⋃ (j : ι₂), s
@[simp]
theorem set.Union_of_singleton (α : Type u_1) :
(⋃ (x : α), {x}) = set.univ
@[simp]
theorem set.Union_of_singleton_coe {α : Type u_1} (s : set α) :
(⋃ (i : s), {i}) = s
theorem set.bUnion_subset_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x s), t x) ⋃ (x : α), t x
theorem set.sUnion_eq_bUnion {α : Type u_1} {s : set (set α)} :
⋃₀s = ⋃ (i : set α) (h : i s), i
theorem set.sInter_eq_bInter {α : Type u_1} {s : set (set α)} :
⋂₀s = ⋂ (i : set α) (h : i s), i
theorem set.sUnion_eq_Union {α : Type u_1} {s : set (set α)} :
⋃₀s = ⋃ (i : s), i
theorem set.sInter_eq_Inter {α : Type u_1} {s : set (set α)} :
⋂₀s = ⋂ (i : s), i
theorem set.union_eq_Union {α : Type u_1} {s₁ s₂ : set α} :
s₁ s₂ = ⋃ (b : bool), cond b s₁ s₂
theorem set.inter_eq_Inter {α : Type u_1} {s₁ s₂ : set α} :
s₁ s₂ = ⋂ (b : bool), cond b s₁ s₂
theorem set.sInter_union_sInter {α : Type u_1} {S T : set (set α)} :
⋂₀S ⋂₀T = ⋂ (p : set α × set α) (H : p S.prod T), p.fst p.snd
theorem set.sUnion_inter_sUnion {α : Type u_1} {s t : set (set α)} :
⋃₀s ⋃₀t = ⋃ (p : set α × set α) (H : p s.prod t), p.fst p.snd
theorem set.bUnion_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set α) (t : α → set β) :
(⋃ (x : α) (H : x ⋃ (i : ι), s i), t x) = ⋃ (i : ι) (x : α) (H : x s i), t x
theorem set.sInter_bUnion {α : Type u_1} {S : set (set α)} {T : Π (s : set α), s Sset (set α)} (hT : ∀ (s : set α) (H : s S), s = ⋂₀T s H) :
(⋂₀⋃ (s : set α) (H : s S), T s H) = ⋂₀S

If `S` is a set of sets, and each `s ∈ S` can be represented as an intersection of sets `T s hs`, then `⋂₀ S` is the intersection of the union of all `T s hs`.

theorem set.sUnion_bUnion {α : Type u_1} {S : set (set α)} {T : Π (s : set α), s Sset (set α)} (hT : ∀ (s : set α) (H : s S), s = ⋃₀T s H) :
(⋃₀⋃ (s : set α) (H : s S), T s H) = ⋃₀S

If `S` is a set of sets, and each `s ∈ S` can be represented as an union of sets `T s hs`, then `⋃₀ S` is the union of the union of all `T s hs`.

theorem set.Union_range_eq_sUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} (C : set (set α)) {f : Π (s : C), β → s} (hf : ∀ (s : C), function.surjective (f s)) :
(⋃ (y : β), set.range (λ (s : C), (f s y).val)) = ⋃₀C
theorem set.Union_range_eq_Union {ι : Type u_1} {α : Type u_2} {β : Type u_3} (C : ι → set α) {f : Π (x : ι), β → (C x)} (hf : ∀ (x : ι), function.surjective (f x)) :
(⋃ (y : β), set.range (λ (x : ι), (f x y).val)) = ⋃ (x : ι), C x
theorem set.union_distrib_Inter_right {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : ι → set α) (t : set α) :
(⋂ (i : ι), s i) t = ⋂ (i : ι), s i t
theorem set.union_distrib_Inter_left {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : ι → set α) (t : set α) :
(t ⋂ (i : ι), s i) = ⋂ (i : ι), t s i
theorem set.union_distrib_bInter_left {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : ι → set α) (u : set ι) (t : set α) :
(t ⋂ (i : ι) (H : i u), s i) = ⋂ (i : ι) (H : i u), t s i
theorem set.union_distrib_bInter_right {α : Type u_1} {ι : Type u_2} (s : ι → set α) (u : set ι) (t : set α) :
(⋂ (i : ι) (H : i u), s i) t = ⋂ (i : ι) (H : i u), s i t

### `maps_to`#

theorem set.maps_to_sUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {S : set (set α)} {t : set β} {f : α → β} (H : ∀ (s : set α), s S s t) :
(⋃₀S) t
theorem set.maps_to_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) t) :
(⋃ (i : ι), s i) t
theorem set.maps_to_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : Π (i : ι), p iset α} {t : set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), (s i hi) t) :
(⋃ (i : ι) (hi : p i), s i hi) t
theorem set.maps_to_Union_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) :
(⋃ (i : ι), s i) (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.maps_to_bUnion_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : Π (i : ι), p iset α} {t : Π (i : ι), p iset β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), (s i hi) (t i hi)) :
(⋃ (i : ι) (hi : p i), s i hi) (⋃ (i : ι) (hi : p i), t i hi)
theorem set.maps_to_sInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {T : set (set β)} {f : α → β} (H : ∀ (t : set β), t T s t) :
s (⋂₀T)
theorem set.maps_to_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), s (t i)) :
s (⋂ (i : ι), t i)
theorem set.maps_to_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : set α} {t : Π (i : ι), p iset β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), s (t i hi)) :
s (⋂ (i : ι) (hi : p i), t i hi)
theorem set.maps_to_Inter_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) :
(⋂ (i : ι), s i) (⋂ (i : ι), t i)
theorem set.maps_to_bInter_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : Π (i : ι), p iset α} {t : Π (i : ι), p iset β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), (s i hi) (t i hi)) :
(⋂ (i : ι) (hi : p i), s i hi) (⋂ (i : ι) (hi : p i), t i hi)
theorem set.image_Inter_subset {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} (s : ι → set α) (f : α → β) :
(f '' ⋂ (i : ι), s i) ⋂ (i : ι), f '' s i
theorem set.image_bInter_subset {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} (s : Π (i : ι), p iset α) (f : α → β) :
(f '' ⋂ (i : ι) (hi : p i), s i hi) ⋂ (i : ι) (hi : p i), f '' s i hi
theorem set.image_sInter_subset {α : Type u_1} {β : Type u_2} (S : set (set α)) (f : α → β) :
f '' ⋂₀S ⋂ (s : set α) (H : s S), f '' s

### `inj_on`#

theorem set.inj_on.image_Inter_eq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] {s : ι → set α} {f : α → β} (h : (⋃ (i : ι), s i)) :
(f '' ⋂ (i : ι), s i) = ⋂ (i : ι), f '' s i
theorem set.inj_on.image_bInter_eq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : Π (i : ι), p iset α} (hp : ∃ (i : ι), p i) {f : α → β} (h : (⋃ (i : ι) (hi : p i), s i hi)) :
(f '' ⋂ (i : ι) (hi : p i), s i hi) = ⋂ (i : ι) (hi : p i), f '' s i hi
theorem set.inj_on_Union_of_directed {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} (hs : s) {f : α → β} (hf : ∀ (i : ι), (s i)) :
(⋃ (i : ι), s i)

### `surj_on`#

theorem set.surj_on_sUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {T : set (set β)} {f : α → β} (H : ∀ (t : set β), t T s t) :
s (⋃₀T)
theorem set.surj_on_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), s (t i)) :
s (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.surj_on_Union_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) :
(⋃ (i : ι), s i) (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.surj_on_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : set α} {t : Π (i : ι), p iset β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), s (t i hi)) :
s (⋃ (i : ι) (hi : p i), t i hi)
theorem set.surj_on_bUnion_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {p : ι → Prop} {s : Π (i : ι), p iset α} {t : Π (i : ι), p iset β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι) (hi : p i), (s i hi) (t i hi)) :
(⋃ (i : ι) (hi : p i), s i hi) (⋃ (i : ι) (hi : p i), t i hi)
theorem set.surj_on_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [hi : nonempty ι] {s : ι → set α} {t : set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) t) (Hinj : (⋃ (i : ι), s i)) :
(⋂ (i : ι), s i) t
theorem set.surj_on_Inter_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [hi : nonempty ι] {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) (Hinj : (⋃ (i : ι), s i)) :
(⋂ (i : ι), s i) (⋂ (i : ι), t i)

### `bij_on`#

theorem set.bij_on_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) (Hinj : (⋃ (i : ι), s i)) :
(⋃ (i : ι), s i) (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.bij_on_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [hi : nonempty ι] {s : ι → set α} {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) (Hinj : (⋃ (i : ι), s i)) :
(⋂ (i : ι), s i) (⋂ (i : ι), t i)
theorem set.bij_on_Union_of_directed {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {s : ι → set α} (hs : s) {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) :
(⋃ (i : ι), s i) (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.bij_on_Inter_of_directed {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} [nonempty ι] {s : ι → set α} (hs : s) {t : ι → set β} {f : α → β} (H : ∀ (i : ι), (s i) (t i)) :
(⋂ (i : ι), s i) (⋂ (i : ι), t i)

### `image`, `preimage`#

theorem set.image_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : α → β} {s : ι → set α} :
(f '' ⋃ (i : ι), s i) = ⋃ (i : ι), f '' s i
theorem set.image_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : α → β} {s : ι → set α} {p : ι → Prop} :
(f '' ⋃ (i : ι) (hi : p i), s i) = ⋃ (i : ι) (hi : p i), f '' s i
theorem set.univ_subtype {α : Type u_1} {p : α → Prop} :
set.univ = ⋃ (x : α) (h : p x), {x, h⟩}
theorem set.range_eq_Union {α : Type u_1} {ι : Sort u_2} (f : ι → α) :
= ⋃ (i : ι), {f i}
theorem set.image_eq_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : set α) :
f '' s = ⋃ (i : α) (H : i s), {f i}
theorem set.bUnion_range {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : ι → α} {g : α → set β} :
(⋃ (x : α) (H : x , g x) = ⋃ (y : ι), g (f y)
@[simp]
theorem set.Union_Union_eq' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : ι → α} {g : α → set β} :
(⋃ (x : α) (y : ι) (h : f y = x), g x) = ⋃ (y : ι), g (f y)
theorem set.bInter_range {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : ι → α} {g : α → set β} :
(⋂ (x : α) (H : x , g x) = ⋂ (y : ι), g (f y)
@[simp]
theorem set.Inter_Inter_eq' {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {f : ι → α} {g : α → set β} :
(⋂ (x : α) (y : ι) (h : f y = x), g x) = ⋂ (y : ι), g (f y)
theorem set.bUnion_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : set γ} {f : γ → α} {g : α → set β} :
(⋃ (x : α) (H : x f '' s), g x) = ⋃ (y : γ) (H : y s), g (f y)
theorem set.bInter_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : set γ} {f : γ → α} {g : α → set β} :
(⋂ (x : α) (H : x f '' s), g x) = ⋂ (y : γ) (H : y s), g (f y)
theorem set.monotone_preimage {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} :
@[simp]
theorem set.preimage_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_3} {f : α → β} {s : ι → set β} :
(f ⁻¹' ⋃ (i : ι), s i) = ⋃ (i : ι), f ⁻¹' s i
theorem set.preimage_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Type u_3} {f : α → β} {s : set ι} {t : ι → set β} :
(f ⁻¹' ⋃ (i : ι) (H : i s), t i) = ⋃ (i : ι) (H : i s), f ⁻¹' t i
@[simp]
theorem set.preimage_sUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : set (set β)} :
f ⁻¹' ⋃₀s = ⋃ (t : set β) (H : t s), f ⁻¹' t
theorem set.preimage_Inter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_3} {s : ι → set β} {f : α → β} :
(f ⁻¹' ⋂ (i : ι), s i) = ⋂ (i : ι), f ⁻¹' s i
theorem set.preimage_bInter {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : γ → set β} {t : set γ} {f : α → β} :
(f ⁻¹' ⋂ (i : γ) (H : i t), s i) = ⋂ (i : γ) (H : i t), f ⁻¹' s i
@[simp]
theorem set.bUnion_preimage_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : set β) :
(⋃ (y : β) (H : y s), f ⁻¹' {y}) = f ⁻¹' s
theorem set.bUnion_range_preimage_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) :
(⋃ (y : β) (H : y , f ⁻¹' {y}) = set.univ
theorem set.monotone_prod {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [preorder α] {f : α → set β} {g : α → set γ} (hf : monotone f) (hg : monotone g) :
monotone (λ (x : α), (f x).prod (g x))
theorem monotone.set_prod {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [preorder α] {f : α → set β} {g : α → set γ} (hf : monotone f) (hg : monotone g) :
monotone (λ (x : α), (f x).prod (g x))

Alias of `monotone_prod`.

theorem set.prod_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_3} {s : set α} {t : ι → set β} :
s.prod (⋃ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), s.prod (t i)
theorem set.prod_bUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Type u_3} {u : set ι} {s : set α} {t : ι → set β} :
s.prod (⋃ (i : ι) (H : i u), t i) = ⋃ (i : ι) (H : i u), s.prod (t i)
theorem set.prod_sUnion {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {C : set (set β)} :
s.prod (⋃₀C) = ⋃₀((λ (t : set β), s.prod t) '' C)
theorem set.Union_prod_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_3} {s : ι → set α} {t : set β} :
(⋃ (i : ι), s i).prod t = ⋃ (i : ι), (s i).prod t
theorem set.bUnion_prod_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Type u_3} {u : set ι} {s : ι → set α} {t : set β} :
(⋃ (i : ι) (H : i u), s i).prod t = ⋃ (i : ι) (H : i u), (s i).prod t
theorem set.sUnion_prod_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : set (set α)} {t : set β} :
(⋃₀C).prod t = ⋃₀((λ (s : set α), s.prod t) '' C)
theorem set.Union_prod {ι : Type u_1} {α : Type u_2} {β : Type u_3} (s : ι → set α) (t : ι → set β) :
(⋃ (x : ι × ι), (s x.fst).prod (t x.snd)) = (⋃ (i : ι), s i).prod (⋃ (i : ι), t i)
theorem set.Union_prod_of_monotone {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : α → set β} {t : α → set γ} (hs : monotone s) (ht : monotone t) :
(⋃ (x : α), (s x).prod (t x)) = (⋃ (x : α), s x).prod (⋃ (x : α), t x)
theorem set.Union_image_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → β → γ) {s : set α} {t : set β} :
(⋃ (a : α) (H : a s), f a '' t) = s t
theorem set.Union_image_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → β → γ) {s : set α} {t : set β} :
(⋃ (b : β) (H : b t), (λ (a : α), f a b) '' s) = s t
theorem set.image2_Union_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {ι : Sort u_4} (f : α → β → γ) (s : ι → set α) (t : set β) :
(⋃ (i : ι), s i) t = ⋃ (i : ι), (s i) t
theorem set.image2_Union_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {ι : Sort u_4} (f : α → β → γ) (s : set α) (t : ι → set β) :
s (⋃ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), s (t i)
def set.seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set (α → β)) (t : set α) :
set β

Given a set `s` of functions `α → β` and `t : set α`, `seq s t` is the union of `f '' t` over all `f ∈ s`.

Equations
• s.seq t = {b : β | ∃ (f : α → β) (H : f s) (a : α) (H : a t), f a = b}
theorem set.seq_def {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set (α → β)} {t : set α} :
s.seq t = ⋃ (f : α → β) (H : f s), f '' t
@[simp]
theorem set.mem_seq_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set (α → β)} {t : set α} {b : β} :
b s.seq t ∃ (f : α → β) (H : f s) (a : α) (H : a t), f a = b
theorem set.seq_subset {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set (α → β)} {t : set α} {u : set β} :
s.seq t u ∀ (f : α → β), f s∀ (a : α), a tf a u
theorem set.seq_mono {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s₀ s₁ : set (α → β)} {t₀ t₁ : set α} (hs : s₀ s₁) (ht : t₀ t₁) :
s₀.seq t₀ s₁.seq t₁
theorem set.singleton_seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {t : set α} :
{f}.seq t = f '' t
theorem set.seq_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set (α → β)} {a : α} :
s.seq {a} = (λ (f : α → β), f a) '' s
theorem set.seq_seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : set (β → γ)} {t : set (α → β)} {u : set α} :
s.seq (t.seq u) = ((function.comp '' s).seq t).seq u
theorem set.image_seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : β → γ} {s : set (α → β)} {t : set α} :
f '' s.seq t = '' s).seq t
theorem set.prod_eq_seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : set β} :
s.prod t = (prod.mk '' s).seq t
theorem set.prod_image_seq_comm {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : set α) (t : set β) :
(prod.mk '' s).seq t = ((λ (b : β) (a : α), (a, b)) '' t).seq s
theorem set.image2_eq_seq {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → β → γ) (s : set α) (t : set β) :
s t = (f '' s).seq t

### `set` as a monad #

@[instance]
Equations
@[simp]
theorem set.bind_def {α' β' : Type u} {s : set α'} {f : α' → set β'} :
s >>= f = ⋃ (i : α') (H : i s), f i
@[simp]
theorem set.fmap_eq_image {α' β' : Type u} {s : set α'} (f : α' → β') :
f <\$> s = f '' s
@[simp]
theorem set.seq_eq_set_seq {α β : Type u_1} (s : set (α → β)) (t : set α) :
s <*> t = s.seq t
@[simp]
theorem set.pure_def {α : Type u_1} (a : α) :
pure a = {a}
@[instance]
@[instance]
theorem set.pi_def {α : Type u_1} {π : α → Type u_7} (i : set α) (s : Π (a : α), set («π» a)) :
i.pi s = ⋂ (a : α) (H : a i), ⁻¹' s a
theorem set.univ_pi_eq_Inter {α : Type u_1} {π : α → Type u_7} (t : Π (i : α), set («π» i)) :
= ⋂ (i : α), ⁻¹' t i
theorem set.pi_diff_pi_subset {α : Type u_1} {π : α → Type u_7} (i : set α) (s t : Π (a : α), set («π» a)) :
i.pi s \ i.pi t ⋃ (a : α) (H : a i), ⁻¹' (s a \ t a)
theorem set.Union_univ_pi {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {π : α → Type u_7} (t : Π (i : α), ι → set («π» i)) :
(⋃ (x : α → ι), set.univ.pi (λ (i : α), t i (x i))) = set.univ.pi (λ (i : α), ⋃ (j : ι), t i j)
theorem function.surjective.Union_comp {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {f : ι → ι₂} (hf : function.surjective f) (g : ι₂ → set α) :
(⋃ (x : ι), g (f x)) = ⋃ (y : ι₂), g y
theorem function.surjective.Inter_comp {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι₂ : Sort u_6} {f : ι → ι₂} (hf : function.surjective f) (g : ι₂ → set α) :
(⋂ (x : ι), g (f x)) = ⋂ (y : ι₂), g y

### Disjoint sets #

We define some lemmas in the `disjoint` namespace to be able to use projection notation.

theorem disjoint.union_left {α : Type u_1} {s t u : set α} (hs : u) (ht : u) :
disjoint (s t) u
theorem disjoint.union_right {α : Type u_1} {s t u : set α} (ht : t) (hu : u) :
(t u)
theorem disjoint.inter_left {α : Type u_1} {s t : set α} (u : set α) (h : t) :
disjoint (s u) t
theorem disjoint.inter_left' {α : Type u_1} {s t : set α} (u : set α) (h : t) :
disjoint (u s) t
theorem disjoint.inter_right {α : Type u_1} {s t : set α} (u : set α) (h : t) :
(t u)
theorem disjoint.inter_right' {α : Type u_1} {s t : set α} (u : set α) (h : t) :
(u t)
theorem disjoint.preimage {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) {s t : set β} (h : t) :
disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
theorem set.disjoint_iff {α : Type u_1} {s t : set α} :
t s t
theorem set.disjoint_iff_inter_eq_empty {α : Type u_1} {s t : set α} :
t s t =
theorem set.not_disjoint_iff {α : Type u_1} {s t : set α} :
¬ t ∃ (x : α), x s x t
theorem set.disjoint_left {α : Type u_1} {s t : set α} :
t ∀ {a : α}, a sa t
theorem set.disjoint_right {α : Type u_1} {s t : set α} :
t ∀ {a : α}, a ta s
theorem set.disjoint_of_subset_left {α : Type u_1} {s t u : set α} (h : s u) (d : t) :
t
theorem set.disjoint_of_subset_right {α : Type u_1} {s t u : set α} (h : t u) (d : u) :
t
theorem set.disjoint_of_subset {α : Type u_1} {s t u v : set α} (h1 : s u) (h2 : t v) (d : v) :
t
@[simp]
theorem set.disjoint_union_left {α : Type u_1} {s t u : set α} :
disjoint (s t) u u u
@[simp]
theorem set.disjoint_union_right {α : Type u_1} {s t u : set α} :
(t u) t u
@[simp]
theorem set.disjoint_Union_left {α : Type u_1} {t : set α} {ι : Sort u_2} {s : ι → set α} :
disjoint (⋃ (i : ι), s i) t ∀ (i : ι), disjoint (s i) t
@[simp]
theorem set.disjoint_Union_right {α : Type u_1} {t : set α} {ι : Sort u_2} {s : ι → set α} :
(⋃ (i : ι), s i) ∀ (i : ι), (s i)
theorem set.disjoint_diff {α : Type u_1} {a b : set α} :
(b \ a)
@[simp]
theorem set.disjoint_empty {α : Type u_1} (s : set α) :
@[simp]
theorem set.empty_disjoint {α : Type u_1} (s : set α) :
@[simp]
theorem set.univ_disjoint {α : Type u_1} {s : set α} :
s =
@[simp]
theorem set.disjoint_univ {α : Type u_1} {s : set α} :
s =
@[simp]
theorem set.disjoint_singleton_left {α : Type u_1} {a : α} {s : set α} :
disjoint {a} s a s
@[simp]
theorem set.disjoint_singleton_right {α : Type u_1} {a : α} {s : set α} :
{a} a s
theorem set.disjoint_image_image {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : β → α} {g : γ → α} {s : set β} {t : set γ} (h : ∀ (b : β), b s∀ (c : γ), c tf b g c) :
disjoint (f '' s) (g '' t)
theorem set.pairwise_on_disjoint_fiber {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : set β) :
s.pairwise_on (disjoint on λ (y : β), f ⁻¹' {y})
theorem set.preimage_eq_empty {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : set β} (h : (set.range f)) :
theorem set.preimage_eq_empty_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : set β} :
theorem set.disjoint_iff_subset_compl_right {α : Type u_1} {s t : set α} :
t s t
theorem set.disjoint_iff_subset_compl_left {α : Type u_1} {s t : set α} :
t t s
def set.pairwise_disjoint {α : Type u_1} (s : set (set α)) :
Prop

A collection of sets is `pairwise_disjoint`, if any two different sets in this collection are disjoint.

Equations
theorem set.pairwise_disjoint.subset {α : Type u_1} {s t : set (set α)} (h : s t) (ht : t.pairwise_disjoint) :
theorem set.pairwise_disjoint.range {α : Type u_1} {s : set (set α)} (f : s → set α) (hf : ∀ (x : s), f x x.val) (ht : s.pairwise_disjoint) :
theorem set.pairwise_disjoint.elim {α : Type u_1} {s : set (set α)} (h : s.pairwise_disjoint) {x y : set α} (hx : x s) (hy : y s) (z : α) (hzx : z x) (hzy : z y) :
x = y
theorem set.subset_diff {α : Type u_1} {s t u : set α} :
s t \ u s t u
def set.sigma_to_Union {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : α → set β) (x : Σ (i : α), (t i)) :
⋃ (i : α), t i

If `t` is an indexed family of sets, then there is a natural map from `Σ i, t i` to `⋃ i, t i` sending `⟨i, x⟩` to `x`.

Equations
theorem set.sigma_to_Union_surjective {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : α → set β) :
theorem set.sigma_to_Union_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : α → set β) (h : ∀ (i j : α), i jdisjoint (t i) (t j)) :
theorem set.sigma_to_Union_bijective {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : α → set β) (h : ∀ (i j : α), i jdisjoint (t i) (t j)) :
def set.Union_eq_sigma_of_disjoint {α : Type u_1} {β : Type u_2} {t : α → set β} (h : ∀ (i j : α), i jdisjoint (t i) (t j)) :
(⋃ (i : α), t i) Σ (i : α), (t i)

Equivalence between a disjoint union and a dependent sum.

Equations
def set.bUnion_eq_sigma_of_disjoint {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : set α} {t : α → set β} (h : s.pairwise_on (disjoint on t)) :
(⋃ (i : α) (H : i s), t i) Σ (i : s), (t i.val)

Equivalence between a disjoint bounded union and a dependent sum.

Equations