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data.multiset.basic

Multisets #

These are implemented as the quotient of a list by permutations.

Notation #

We define the global infix notation ::ₘ for multiset.cons.

def multiset (α : Type u) :
Type u

multiset α is the quotient of list α by list permutation. The result is a type of finite sets with duplicates allowed.

Equations
@[instance]
def multiset.has_coe {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe {α : Type u_1} (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe' {α : Type u_1} (l : list α) :
quot.mk has_equiv.equiv l = l
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe'' {α : Type u_1} (l : list α) :
quot.mk setoid.r l = l
@[simp]
theorem multiset.coe_eq_coe {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ = l₂ l₁ ~ l₂
@[instance]
def multiset.has_decidable_eq {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
def multiset.sizeof {α : Type u_1} [has_sizeof α] (s : multiset α) :

defines a size for a multiset by referring to the size of the underlying list

Equations
@[instance]
def multiset.has_sizeof {α : Type u_1} [has_sizeof α] :
Equations

Empty multiset #

def multiset.zero {α : Type u_1} :

0 : multiset α is the empty set

Equations
@[instance]
def multiset.has_zero {α : Type u_1} :
Equations
@[instance]
def multiset.has_emptyc {α : Type u_1} :
Equations
@[instance]
def multiset.inhabited_multiset {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_nil_eq_zero {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem multiset.empty_eq_zero {α : Type u_1} :
= 0
theorem multiset.coe_eq_zero {α : Type u_1} (l : list α) :

multiset.cons #

def multiset.cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :

cons a s is the multiset which contains s plus one more instance of a.

Equations
@[instance]
def multiset.has_insert {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.insert_eq_cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
insert a s = a ::ₘ s
@[simp]
theorem multiset.cons_coe {α : Type u_1} (a : α) (l : list α) :
a ::ₘ l = (a :: l)
theorem multiset.singleton_coe {α : Type u_1} (a : α) :
a ::ₘ 0 = [a]
@[simp]
theorem multiset.cons_inj_left {α : Type u_1} {a b : α} (s : multiset α) :
a ::ₘ s = b ::ₘ s a = b
@[simp]
theorem multiset.cons_inj_right {α : Type u_1} (a : α) {s t : multiset α} :
a ::ₘ s = a ::ₘ t s = t
theorem multiset.induction {α : Type u_1} {p : multiset α → Prop} (h₁ : p 0) (h₂ : ∀ ⦃a : α⦄ {s : multiset α}, p sp (a ::ₘ s)) (s : multiset α) :
p s
theorem multiset.induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α → Prop} (s : multiset α) (h₁ : p 0) (h₂ : ∀ ⦃a : α⦄ {s : multiset α}, p sp (a ::ₘ s)) :
p s
theorem multiset.cons_swap {α : Type u_1} (a b : α) (s : multiset α) :
a ::ₘ b ::ₘ s = b ::ₘ a ::ₘ s
def multiset.rec {α : Type u_1} {C : multiset αSort u_4} (C_0 : C 0) (C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C mC (a ::ₘ m)) (C_cons_heq : ∀ (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)) (m : multiset α) :
C m

Dependent recursor on multisets. TODO: should be @[recursor 6], but then the definition of multiset.pi fails with a stack overflow in whnf.

Equations
def multiset.rec_on {α : Type u_1} {C : multiset αSort u_4} (m : multiset α) (C_0 : C 0) (C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C mC (a ::ₘ m)) (C_cons_heq : ∀ (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)) :
C m

Companion to multiset.rec with more convenient argument order.

Equations
@[simp]
theorem multiset.rec_on_0 {α : Type u_1} {C : multiset αSort u_4} {C_0 : C 0} {C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C mC (a ::ₘ m)} {C_cons_heq : ∀ (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)} :
0.rec_on C_0 C_cons C_cons_heq = C_0
@[simp]
theorem multiset.rec_on_cons {α : Type u_1} {C : multiset αSort u_4} {C_0 : C 0} {C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C mC (a ::ₘ m)} {C_cons_heq : ∀ (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)} (a : α) (m : multiset α) :
(a ::ₘ m).rec_on C_0 C_cons C_cons_heq = C_cons a m (m.rec_on C_0 C_cons C_cons_heq)
def multiset.mem {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
Prop

a ∈ s means that a has nonzero multiplicity in s.

Equations
@[instance]
def multiset.has_mem {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.mem_coe {α : Type u_1} {a : α} {l : list α} :
a l a l
@[instance]
def multiset.decidable_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
Equations
@[simp]
theorem multiset.mem_cons {α : Type u_1} {a b : α} {s : multiset α} :
a b ::ₘ s a = b a s
theorem multiset.mem_cons_of_mem {α : Type u_1} {a b : α} {s : multiset α} (h : a s) :
a b ::ₘ s
@[simp]
theorem multiset.mem_cons_self {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
a a ::ₘ s
theorem multiset.forall_mem_cons {α : Type u_1} {p : α → Prop} {a : α} {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x a ::ₘ sp x) p a ∀ (x : α), x sp x
theorem multiset.exists_cons_of_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} {a : α} :
a s(∃ (t : multiset α), s = a ::ₘ t)
@[simp]
theorem multiset.not_mem_zero {α : Type u_1} (a : α) :
a 0
theorem multiset.eq_zero_of_forall_not_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x s)s = 0
theorem multiset.eq_zero_iff_forall_not_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s = 0 ∀ (a : α), a s
theorem multiset.exists_mem_of_ne_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0(∃ (a : α), a s)
@[simp]
theorem multiset.zero_ne_cons {α : Type u_1} {a : α} {m : multiset α} :
0 a ::ₘ m
@[simp]
theorem multiset.cons_ne_zero {α : Type u_1} {a : α} {m : multiset α} :
a ::ₘ m 0
theorem multiset.cons_eq_cons {α : Type u_1} {a b : α} {as bs : multiset α} :
a ::ₘ as = b ::ₘ bs a = b as = bs a b ∃ (cs : multiset α), as = b ::ₘ cs bs = a ::ₘ cs

multiset.subset #

def multiset.subset {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
Prop

s ⊆ t is the lift of the list subset relation. It means that any element with nonzero multiplicity in s has nonzero multiplicity in t, but it does not imply that the multiplicity of a in s is less or equal than in t; see s ≤ t for this relation.

Equations
@[instance]
def multiset.has_subset {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_subset {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ l₂ l₁ l₂
@[simp]
theorem multiset.subset.refl {α : Type u_1} (s : multiset α) :
s s
theorem multiset.subset.trans {α : Type u_1} {s t u : multiset α} :
s tt us u
theorem multiset.subset_iff {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t ∀ ⦃x : α⦄, x sx t
theorem multiset.mem_of_subset {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (h : s t) :
a sa t
@[simp]
theorem multiset.zero_subset {α : Type u_1} (s : multiset α) :
0 s
@[simp]
theorem multiset.cons_subset {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} :
a ::ₘ s t a t s t
theorem multiset.eq_zero_of_subset_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} (h : s 0) :
s = 0
theorem multiset.subset_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0 s = 0
theorem multiset.induction_on' {α : Type u_1} {p : multiset α → Prop} (S : multiset α) (h₁ : p ) (h₂ : ∀ {a : α} {s : multiset α}, a Ss Sp sp (insert a s)) :
p S
def multiset.to_list {α : Type u_1} (s : multiset α) :
list α

Produces a list of the elements in the multiset using choice.

Equations
@[simp]
theorem multiset.to_list_zero {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem multiset.coe_to_list {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_to_list {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
a s.to_list a s

Partial order on multisets #

def multiset.le {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
Prop

s ≤ t means that s is a sublist of t (up to permutation). Equivalently, s ≤ t means that count a s ≤ count a t for all a.

Equations
@[instance]
def multiset.partial_order {α : Type u_1} :
Equations
theorem multiset.subset_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s ts t
theorem multiset.mem_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (h : s t) :
a sa t
@[simp]
theorem multiset.coe_le {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ l₂ l₁ <+~ l₂
theorem multiset.le_induction_on {α : Type u_1} {C : multiset αmultiset α → Prop} {s t : multiset α} (h : s t) (H : ∀ {l₁ l₂ : list α}, l₁ <+ l₂C l₁ l₂) :
C s t
theorem multiset.zero_le {α : Type u_1} (s : multiset α) :
0 s
theorem multiset.le_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0 s = 0
theorem multiset.lt_cons_self {α : Type u_1} (s : multiset α) (a : α) :
s < a ::ₘ s
theorem multiset.le_cons_self {α : Type u_1} (s : multiset α) (a : α) :
s a ::ₘ s
theorem multiset.cons_le_cons_iff {α : Type u_1} (a : α) {s t : multiset α} :
a ::ₘ s a ::ₘ t s t
theorem multiset.cons_le_cons {α : Type u_1} (a : α) {s t : multiset α} :
s ta ::ₘ s a ::ₘ t
theorem multiset.le_cons_of_not_mem {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} (m : a s) :
s a ::ₘ t s t

Singleton #

@[instance]
def multiset.has_singleton {α : Type u_1} :
Equations
@[instance]
theorem multiset.singleton_eq_cons {α : Type u_1} (a : α) :
{a} = a ::ₘ 0
@[simp]
theorem multiset.mem_singleton {α : Type u_1} {a b : α} :
b {a} b = a
theorem multiset.mem_singleton_self {α : Type u_1} (a : α) :
a {a}
theorem multiset.singleton_inj {α : Type u_1} {a b : α} :
{a} = {b} a = b
@[simp]
theorem multiset.singleton_ne_zero {α : Type u_1} (a : α) :
{a} 0
@[simp]
theorem multiset.singleton_le {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
{a} s a s

Additive monoid #

def multiset.add {α : Type u_1} (s₁ s₂ : multiset α) :

The sum of two multisets is the lift of the list append operation. This adds the multiplicities of each element, i.e. count a (s + t) = count a s + count a t.

Equations
@[instance]
def multiset.has_add {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_add {α : Type u_1} (s t : list α) :
s + t = (s ++ t)
theorem multiset.add_comm {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
s + t = t + s
theorem multiset.zero_add {α : Type u_1} (s : multiset α) :
0 + s = s
theorem multiset.singleton_add {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
{a} + s = a ::ₘ s
theorem multiset.add_le_add_left {α : Type u_1} (s : multiset α) {t u : multiset α} :
s + t s + u t u
theorem multiset.add_left_cancel {α : Type u_1} (s : multiset α) {t u : multiset α} (h : s + t = s + u) :
t = u
theorem multiset.le_add_right {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
s s + t
theorem multiset.le_add_left {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
s t + s
theorem multiset.le_iff_exists_add {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t ∃ (u : multiset α), t = s + u
@[simp]
theorem multiset.cons_add {α : Type u_1} (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ s + t = a ::ₘ (s + t)
@[simp]
theorem multiset.add_cons {α : Type u_1} (a : α) (s t : multiset α) :
s + a ::ₘ t = a ::ₘ (s + t)
@[simp]
theorem multiset.mem_add {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} :
a s + t a s a t
theorem multiset.mem_of_mem_nsmul {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} {n : } (h : a n s) :
a s
@[simp]
theorem multiset.mem_nsmul {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} {n : } (h0 : n 0) :
a n s a s
theorem multiset.nsmul_cons {α : Type u_1} {s : multiset α} (n : ) (a : α) :
n (a ::ₘ s) = n {a} + n s

Cardinality #

def multiset.card {α : Type u_1} :

The cardinality of a multiset is the sum of the multiplicities of all its elements, or simply the length of the underlying list.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_card {α : Type u_1} (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.card_zero {α : Type u_1} :
theorem multiset.card_add {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
theorem multiset.card_nsmul {α : Type u_1} (s : multiset α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.card_cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.card_singleton {α : Type u_1} (a : α) :
theorem multiset.card_eq_one {α : Type u_1} {s : multiset α} :
multiset.card s = 1 ∃ (a : α), s = {a}
theorem multiset.card_le_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.eq_of_le_of_card_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.card_lt_of_lt {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s < t) :
theorem multiset.lt_iff_cons_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s < t ∃ (a : α), a ::ₘ s t
@[simp]
theorem multiset.card_eq_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_pos {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_pos_iff_exists_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
0 < multiset.card s ∃ (a : α), a s
def multiset.strong_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} (s : multiset α) :
(Π (s : multiset α), (Π (t : multiset α), t < sp t)p s)p s

A strong induction principle for multisets: If you construct a value for a particular multiset given values for all strictly smaller multisets, you can construct a value for any multiset.

Equations
theorem multiset.strong_induction_eq {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} (s : multiset α) (H : Π (s : multiset α), (Π (t : multiset α), t < sp t)p s) :
s.strong_induction_on H = H s (λ (t : multiset α) (h : t < s), t.strong_induction_on H)
theorem multiset.case_strong_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α → Prop} (s : multiset α) (h₀ : p 0) (h₁ : ∀ (a : α) (s : multiset α), (∀ (t : multiset α), t sp t)p (a ::ₘ s)) :
p s
def multiset.strong_downward_induction {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ nt₁ < t₂p t₂)multiset.card t₁ np t₁) (s : multiset α) :
multiset.card s np s

Suppose that, given that p t can be defined on all supersets of s of cardinality less than n, one knows how to define p s. Then one can inductively define p s for all multisets s of cardinality less than n, starting from multisets of card n and iterating. This can be used either to define data, or to prove properties.

Equations
theorem multiset.strong_downward_induction_eq {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ nt₁ < t₂p t₂)multiset.card t₁ np t₁) (s : multiset α) :
def multiset.strong_downward_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} {n : } (s : multiset α) :
(Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ nt₁ < t₂p t₂)multiset.card t₁ np t₁)multiset.card s np s

Analogue of strong_downward_induction with order of arguments swapped.

Equations
theorem multiset.strong_downward_induction_on_eq {α : Type u_1} {p : multiset αSort u_2} (s : multiset α) {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ nt₁ < t₂p t₂)multiset.card t₁ np t₁) :
s.strong_downward_induction_on H = H s (λ (t : multiset α) (ht : multiset.card t n) (h : s < t), t.strong_downward_induction_on H ht)
theorem multiset.well_founded_lt {α : Type u_1} :

Another way of expressing strong_induction_on: the (<) relation is well-founded.

multiset.repeat #

def multiset.repeat {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :

repeat a n is the multiset containing only a with multiplicity n.

Equations
@[simp]
theorem multiset.repeat_zero {α : Type u_1} (a : α) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_succ {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_one {α : Type u_1} (a : α) :
@[simp]
theorem multiset.card_repeat {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.eq_of_mem_repeat {α : Type u_1} {a b : α} {n : } :
b multiset.repeat a nb = a
theorem multiset.eq_repeat' {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
s = multiset.repeat a (multiset.card s) ∀ (b : α), b sb = a
theorem multiset.eq_repeat_of_mem {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
(∀ (b : α), b sb = a)s = multiset.repeat a (multiset.card s)
theorem multiset.eq_repeat {α : Type u_1} {a : α} {n : } {s : multiset α} :
s = multiset.repeat a n multiset.card s = n ∀ (b : α), b sb = a
theorem multiset.repeat_subset_singleton {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.repeat_le_coe {α : Type u_1} {a : α} {n : } {l : list α} :
theorem multiset.nsmul_singleton {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.nsmul_repeat {α : Type u_1} {a : α} (n m : ) :

Erasing one copy of an element #

def multiset.erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a : α) :

erase s a is the multiset that subtracts 1 from the multiplicity of a.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (l : list α) (a : α) :
l.erase a = (l.erase a)
@[simp]
theorem multiset.erase_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :
0.erase a = 0
@[simp]
theorem multiset.erase_cons_head {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
(a ::ₘ s).erase a = s
@[simp]
theorem multiset.erase_cons_tail {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} (s : multiset α) (h : b a) :
(b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
@[simp]
theorem multiset.erase_of_not_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
a ss.erase a = s
@[simp]
theorem multiset.cons_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s : multiset α} {a : α} :
a sa ::ₘ s.erase a = s
theorem multiset.le_cons_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a : α) :
s a ::ₘ s.erase a
theorem multiset.erase_add_left_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (t : multiset α) :
a s(s + t).erase a = s.erase a + t
theorem multiset.erase_add_right_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} (h : a t) :
(s + t).erase a = s + t.erase a
theorem multiset.erase_add_right_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (t : multiset α) :
a s(s + t).erase a = s + t.erase a
theorem multiset.erase_add_left_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} (h : a t) :
(s + t).erase a = s.erase a + t
theorem multiset.erase_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
s.erase a s
@[simp]
theorem multiset.erase_lt {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
s.erase a < s a s
theorem multiset.erase_subset {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
s.erase a s
theorem multiset.mem_erase_of_ne {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} {s : multiset α} (ab : a b) :
a s.erase b a s
theorem multiset.mem_of_mem_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} {s : multiset α} :
a s.erase ba s
theorem multiset.erase_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a b : α) :
(s.erase a).erase b = (s.erase b).erase a
theorem multiset.erase_le_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (a : α) (h : s t) :
s.erase a t.erase a
theorem multiset.erase_le_iff_le_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
s.erase a t s a ::ₘ t
@[simp]
theorem multiset.card_erase_of_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_erase_lt_of_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_erase_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_erase_eq_ite {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.coe_reverse {α : Type u_1} (l : list α) :

multiset.map #

def multiset.map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : multiset α) :

map f s is the lift of the list map operation. The multiplicity of b in map f s is the number of a ∈ s (counting multiplicity) such that f a = b.

Equations
theorem multiset.forall_mem_map_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {p : β → Prop} {s : multiset α} :
(∀ (y : β), y multiset.map f sp y) ∀ (x : α), x sp (f x)
@[simp]
theorem multiset.coe_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.map_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) :
@[simp]
theorem multiset.map_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (a : α) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.map_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (a : α) :
multiset.map f {a} = {f a}
theorem multiset.map_repeat {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (a : α) (k : ) :
@[simp]
theorem multiset.map_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s t : multiset α) :
@[instance]
def multiset.can_lift {α : Type u_1} {β : Type u_2} [can_lift α β] :

If each element of s : multiset α can be lifted to β, then s can be lifted to multiset β.

Equations
def multiset.map_add_monoid_hom {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) :

multiset.map as an add_monoid_hom.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_map_add_monoid_hom {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) :
theorem multiset.map_nsmul {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (n : ) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {b : β} {s : multiset α} :
b multiset.map f s ∃ (a : α), a s f a = b
@[simp]
theorem multiset.card_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.map_eq_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {f : α → β} :
multiset.map f s = 0 s = 0
theorem multiset.mem_map_of_mem {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) {a : α} {s : multiset α} (h : a s) :
theorem multiset.map_eq_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : multiset α} {b : β} :
multiset.map f s = {b} ∃ (a : α), s = {a} f a = b
theorem multiset.mem_map_of_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} (H : function.injective f) {a : α} {s : multiset α} :
f a multiset.map f s a s
@[simp]
theorem multiset.map_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (g : β → γ) (f : α → β) (s : multiset α) :
theorem multiset.map_id {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.map_id' {α : Type u_1} (s : multiset α) :
multiset.map (λ (x : α), x) s = s
@[simp]
theorem multiset.map_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (b : β) :
theorem multiset.map_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α → β} {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x sf x = g x)multiset.map f s = multiset.map g s
theorem multiset.map_hcongr {α : Type u_1} {β β' : Type u_2} {m : multiset α} {f : α → β} {f' : α → β'} (h : β = β') (hf : ∀ (a : α), a mf a == f' a) :
theorem multiset.eq_of_mem_map_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b₁ b₂ : β} {l : list α} (h : b₁ multiset.map (function.const α b₂) l) :
b₁ = b₂
@[simp]
theorem multiset.map_le_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s t : multiset α} (h : s t) :
@[simp]
theorem multiset.map_subset_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s t : multiset α} (H : s t) :
theorem multiset.map_erase {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] [decidable_eq β] (f : α → β) (hf : function.injective f) (x : α) (s : multiset α) :
multiset.map f (s.erase x) = (multiset.map f s).erase (f x)

multiset.fold #

def multiset.foldl {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
β

foldl f H b s is the lift of the list operation foldl f b l, which folds f over the multiset. It is well defined when f is right-commutative, that is, f (f b a₁) a₂ = f (f b a₂) a₁.

Equations
@[simp]
theorem multiset.foldl_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) :
multiset.foldl f H b 0 = b
@[simp]
theorem multiset.foldl_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) (a : α) (s : multiset α) :
multiset.foldl f H b (a ::ₘ s) = multiset.foldl f H (f b a) s
@[simp]
theorem multiset.foldl_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) (s t : multiset α) :
multiset.foldl f H b (s + t) = multiset.foldl f H (multiset.foldl f H b s) t
def multiset.foldr {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
β

foldr f H b s is the lift of the list operation foldr f b l, which folds f over the multiset. It is well defined when f is left-commutative, that is, f a₁ (f a₂ b) = f a₂ (f a₁ b).

Equations
@[simp]
theorem multiset.foldr_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) :
multiset.foldr f H b 0 = b
@[simp]
theorem multiset.foldr_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (a : α) (s : multiset α) :
multiset.foldr f H b (a ::ₘ s) = f a (multiset.foldr f H b s)
@[simp]
theorem multiset.foldr_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (a : α) :
multiset.foldr f H b {a} = f a b
@[simp]
theorem multiset.foldr_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (s t : multiset α) :
multiset.foldr f H b (s + t) = multiset.foldr f H (multiset.foldr f H b t) s
@[simp]
theorem multiset.coe_foldr {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.coe_foldl {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) (l : list α) :
theorem multiset.coe_foldr_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (l : list α) :
multiset.foldr f H b l = list.foldl (λ (x : β) (y : α), f y x) b l
theorem multiset.foldr_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
multiset.foldr f H b s = multiset.foldl (λ (x : β) (y : α), f y x) _ b s
theorem multiset.foldl_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
multiset.foldl f H b s = multiset.foldr (λ (x : α) (y : β), f y x) _ b s
theorem multiset.foldr_induction' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β → β) (H : left_commutative f) (x : β) (q : α → Prop) (p : β → Prop) (s : multiset α) (hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q ap bp (f a b)) (px : p x) (q_s : ∀ (a : α), a sq a) :
p (multiset.foldr f H x s)
theorem multiset.foldr_induction {α : Type u_1} (f : α → α → α) (H : left_commutative f) (x : α) (p : α → Prop) (s : multiset α) (p_f : ∀ (a b : α), p ap bp (f a b)) (px : p x) (p_s : ∀ (a : α), a sp a) :
p (multiset.foldr f H x s)
theorem multiset.foldl_induction' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β → α → β) (H : right_commutative f) (x : β) (q : α → Prop) (p : β → Prop) (s : multiset α) (hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q ap bp (f b a)) (px : p x) (q_s : ∀ (a : α), a sq a) :
p (multiset.foldl f H x s)
theorem multiset.foldl_induction {α : Type u_1} (f : α → α → α) (H : right_commutative f) (x : α) (p : α → Prop) (s : multiset α) (p_f : ∀ (a b : α), p ap bp (f b a)) (px : p x) (p_s : ∀ (a : α), a sp a) :
p (multiset.foldl f H x s)
def multiset.sum {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] :
multiset α → α

Sum of a multiset given a commutative additive monoid structure on α. sum {a, b, c} = a + b + c

Equations
def multiset.prod {α : Type u_1} [comm_monoid α] :
multiset α → α

Product of a multiset given a commutative monoid structure on α. prod {a, b, c} = a * b * c

Equations
theorem multiset.sum_eq_foldr {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (s : multiset α) :
theorem multiset.prod_eq_foldr {α : Type u_1} [comm_monoid α] (s : multiset α) :
theorem multiset.prod_eq_foldl {α : Type u_1} [comm_monoid α] (s : multiset α) :
theorem multiset.sum_eq_foldl {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.coe_sum {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.coe_prod {α : Type u_1} [comm_monoid α] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.sum_to_list {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.prod_to_list {α : Type u_1} [comm_monoid α] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.prod_zero {α : Type u_1} [comm_monoid α] :
0.prod = 1
@[simp]
theorem multiset.sum_zero {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] :
0.sum = 0
@[simp]
theorem multiset.prod_cons {α : Type u_1} [comm_monoid α] (a : α) (s : multiset α) :
(a ::ₘ s).prod = a * s.prod
@[simp]
theorem multiset.sum_cons {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (a : α) (s : multiset α) :
(a ::ₘ s).sum = a + s.sum
@[simp]
theorem multiset.prod_singleton {α : Type u_1} [comm_monoid α] (a : α) :
{a}.prod = a
@[simp]
theorem multiset.sum_singleton {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (a : α) :
{a}.sum = a
@[simp]
theorem multiset.prod_add {α : Type u_1} [comm_monoid α] (s t : multiset α) :
(s + t).prod = (s.prod) * t.prod
@[simp]
theorem multiset.sum_add {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (s t : multiset α) :
(s + t).sum = s.sum + t.sum
def multiset.sum_add_monoid_hom {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] :

multiset.sum, the sum of the elements of a multiset, promoted to a morphism of add_comm_monoids.

Equations
theorem multiset.prod_nsmul {α : Type u_1} [comm_monoid α] (m : multiset α) (n : ) :
(n m).prod = m.prod ^ n
@[simp]
theorem multiset.prod_repeat {α : Type u_1} [comm_monoid α] (a : α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.sum_repeat {α : Type u_1} [add_comm_monoid α] (a : α) (n : ) :
theorem multiset.sum_map_zero {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [add_comm_monoid γ] {m : multiset α} :
(multiset.map (λ (a : α), 0) m).sum = 0
theorem multiset.prod_map_one {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [comm_monoid γ] {m : multiset α} :
(multiset.map (λ (a : α), 1) m).prod = 1
@[simp]
theorem multiset.sum_map_add {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [add_comm_monoid γ] {m : multiset α} {f g : α → γ} :
(multiset.map (λ (a : α), f a + g a) m).sum = (multiset.map f m).sum + (multiset.map g m).sum
@[simp]
theorem multiset.prod_map_mul {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [comm_monoid γ] {m : multiset α} {f g : α → γ} :
(multiset.map (λ (a : α), (f a) * g a) m).prod = ((multiset.map f m).prod) * (multiset.map g m).prod
theorem multiset.prod_map_prod_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [comm_monoid γ] (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → γ} :
(multiset.map (λ (a : α), (multiset.map (λ (b : β), f a b) n).prod) m).prod = (multiset.map (λ (b : β), (multiset.map (λ (a : α), f a b) m).prod) n).prod
theorem multiset.sum_map_sum_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [add_comm_monoid γ] (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → γ} :
(multiset.map (λ (a : α), (multiset.map (λ (b : β), f a b) n).sum) m).sum = (multiset.map (λ (b : β), (multiset.map (λ (a : α), f a b) m).sum) n).sum
theorem multiset.sum_map_mul_left {α : Type u_1} {β : Type u_2} [semiring β] {b : β} {s : multiset α} {f : α → β} :
(multiset.map (λ (a : α), b * f a) s).sum = b * (multiset.map f s).sum
theorem multiset.sum_map_mul_right {α : Type u_1} {β : Type u_2} [semiring β] {b : β} {s : multiset α} {f : α → β} :
(multiset.map (λ (a : α), (f a) * b) s).sum = ((multiset.map f s).sum) * b
theorem multiset.prod_eq_zero {M₀ : Type u_1} [comm_monoid_with_zero M₀] {s : multiset M₀} (h : 0 s) :
s.prod = 0
theorem multiset.prod_eq_zero_iff {M₀ : Type u_1} [comm_monoid_with_zero M₀] [no_zero_divisors M₀] [nontrivial M₀] {s : multiset M₀} :
s.prod = 0 0 s
theorem multiset.prod_ne_zero {M₀ : Type u_1} [comm_monoid_with_zero M₀] [no_zero_divisors M₀] [nontrivial M₀] {m : multiset M₀} (h : 0 m) :
m.prod 0
theorem multiset.sum_hom {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid α] [add_comm_monoid β] (s : multiset α) (f : α →+ β) :
theorem multiset.prod_hom {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid α] [comm_monoid β] (s : multiset α) (f : α →* β) :
theorem multiset.sum_hom_rel {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [add_comm_monoid β] [add_comm_monoid γ] (s : multiset α) {r : β → γ → Prop} {f : α → β} {g : α → γ} (h₁ : r 0 0) (h₂ : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄ ⦃c : γ⦄, r b cr (f a + b) (g a + c)) :
theorem multiset.prod_hom_rel {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [comm_monoid β] [comm_monoid γ] (s : multiset α) {r : β → γ → Prop} {f : α → β} {g : α → γ} (h₁ : r 1 1) (h₂ : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄ ⦃c : γ⦄, r b cr ((f a) * b) ((g a) * c)) :
@[simp]
theorem multiset.sum_map_neg {G : Type u_1} [add_comm_group G] (m : multiset G) :
@[simp]
theorem multiset.prod_map_inv {G : Type u_1} [comm_group G] (m : multiset G) :
theorem multiset.dvd_prod {α : Type u_1} [comm_monoid α] {a : α} {s : multiset α} :
a sa s.prod
theorem multiset.prod_dvd_prod {α : Type u_1} [comm_monoid α] {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.prod_nonneg {α : Type u_1} [ordered_comm_semiring α] {m : multiset α} (h : ∀ (a : α), a m0 a) :
0 m.prod
theorem multiset.sum_nonneg {α : Type u_1} [ordered_add_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m0 x)0 m.sum
theorem multiset.one_le_prod_of_one_le {α : Type u_1} [ordered_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m1 x)1 m.prod
theorem multiset.single_le_prod {α : Type u_1} [ordered_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m1 x)∀ (x : α), x mx m.prod
theorem multiset.single_le_sum {α : Type u_1} [ordered_add_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m0 x)∀ (x : α), x mx m.sum
theorem multiset.prod_le_of_forall_le {α : Type u_1} [ordered_comm_monoid α] (l : multiset α) (n : α) (h : ∀ (x : α), x lx n) :
theorem multiset.sum_le_of_forall_le {α : Type u_1} [ordered_add_comm_monoid α] (l : multiset α) (n : α) (h : ∀ (x : α), x lx n) :
theorem multiset.all_one_of_le_one_le_of_prod_eq_one {α : Type u_1} [ordered_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m1 x)m.prod = 1∀ (x : α), x mx = 1
theorem multiset.all_zero_of_le_zero_le_of_sum_eq_zero {α : Type u_1} [ordered_add_comm_monoid α] {m : multiset α} :
(∀ (x : α), x m0 x)m.sum = 0∀ (x : α), x mx = 0
theorem multiset.sum_eq_zero_iff {α : Type u_1} [canonically_ordered_add_monoid α] {m : multiset α} :
m.sum = 0 ∀ (x : α), x mx = 0
theorem multiset.prod_induction {M : Type u_1} [comm_monoid M] (p : M → Prop) (s : multiset M) (p_mul : ∀ (a b : M), p ap bp (a * b)) (p_one : p 1) (p_s : ∀ (a : M), a sp a) :
p s.prod
theorem multiset.sum_induction {M : Type u_1} [add_comm_monoid M] (p : M → Prop) (s : multiset M) (p_mul : ∀ (a b : M), p ap bp (a + b)) (p_one : p 0) (p_s : ∀ (a : M), a sp a) :
p s.sum
theorem multiset.le_sum_of_subadditive_on_pred {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid α] [ordered_add_comm_monoid β] (f : α → β) (p : α → Prop) (h_one : f 0 = 0) (hp_one : p 0) (h_mul : ∀ (a b : α), p ap bf (a + b) f a + f b) (hp_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a + b)) (s : multiset α) (hps : ∀ (a : α), a sp a) :
theorem multiset.le_prod_of_submultiplicative_on_pred {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid α] [ordered_comm_monoid β] (f : α → β) (p : α → Prop) (h_one : f 1 = 1) (hp_one : p 1) (h_mul : ∀ (a b : α), p ap bf (a * b) (f a) * f b) (hp_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a * b)) (s : multiset α) (hps : ∀ (a : α), a sp a) :
theorem multiset.le_prod_of_submultiplicative {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid α] [ordered_comm_monoid β] (f : α → β) (h_one : f 1 = 1) (h_mul : ∀ (a b : α), f (a * b) (f a) * f b) (s : multiset α) :
theorem multiset.le_sum_of_subadditive {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid α] [ordered_add_comm_monoid β] (f : α → β) (h_one : f 0 = 0) (h_mul : ∀ (a b : α), f (a + b) f a + f b) (s : multiset α) :
theorem multiset.sum_induction_nonempty {M : Type u_1} [add_comm_monoid M] (p : M → Prop) (p_mul : ∀ (a b : M), p ap bp (a + b)) {s : multiset M} (hs_nonempty : s ) (p_s : ∀ (a : M), a sp a) :
p s.sum
theorem multiset.prod_induction_nonempty {M : Type u_1} [comm_monoid M] (p : M → Prop) (p_mul : ∀ (a b : M), p ap bp (a * b)) {s : multiset M} (hs_nonempty : s ) (p_s : ∀ (a : M), a sp a) :
p s.prod
theorem multiset.le_prod_nonempty_of_submultiplicative_on_pred {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid α] [ordered_comm_monoid β] (f : α → β) (p : α → Prop) (h_mul : ∀ (a b : α), p ap bf (a * b) (f a) * f b) (hp_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a * b)) (s : multiset α) (hs_nonempty : s ) (hs : ∀ (a : α), a sp a) :
theorem multiset.le_sum_nonempty_of_subadditive_on_pred {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid α] [ordered_add_comm_monoid β] (f : α → β) (p : α → Prop) (h_mul : ∀ (a b : α), p ap bf (a + b) f a + f b) (hp_mul : ∀ (a b : α), p ap bp (a + b)) (s : multiset α) (hs_nonempty : s ) (hs : ∀ (a : α), a sp a) :
theorem multiset.le_sum_nonempty_of_subadditive {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid α] [ordered_add_comm_monoid β] (f : α → β) (h_mul : ∀ (a b : α), f (a + b) f a + f b) (s : multiset α) (hs_nonempty : s ) :
theorem multiset.le_prod_nonempty_of_submultiplicative {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid α] [ordered_comm_monoid β] (f : α → β) (h_mul : ∀ (a b : α), f (a * b) (f a) * f b) (s : multiset α) (hs_nonempty : s ) :
theorem multiset.dvd_sum {α : Type u_1} [comm_semiring α] {a : α} {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x sa x)a s.sum
@[simp]
theorem multiset.sum_map_singleton {α : Type u_1} (s : multiset α) :
(multiset.map (λ (a : α), {a}) s).sum = s

Join #

def multiset.join {α : Type u_1} :

join S, where S is a multiset of multisets, is the lift of the list join operation, that is, the union of all the sets. join {{1, 2}, {1, 2}, {0, 1}} = {0, 1, 1, 1, 2, 2}

Equations
theorem multiset.coe_join {α : Type u_1} (L : list (list α)) :
@[simp]
theorem multiset.join_zero {α : Type u_1} :
0.join = 0
@[simp]
theorem multiset.join_cons {α : Type u_1} (s : multiset α) (S : multiset (multiset α)) :
(s ::ₘ S).join = s + S.join
@[simp]
theorem multiset.join_add {α : Type u_1} (S T : multiset (multiset α)) :
(S + T).join = S.join + T.join
@[simp]
theorem multiset.singleton_join {α : Type u_1} (a : multiset α) :
{a}.join = a
@[simp]
theorem multiset.mem_join {α : Type u_1} {a : α} {S : multiset (multiset α)} :
a S.join ∃ (s : multiset α) (H : s S), a s
@[simp]

multiset.bind #

def multiset.bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → multiset β) :

bind s f is the monad bind operation, defined as join (map f s). It is the union of f a as a ranges over s.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (l : list α) (f : α → list β) :
l.bind (λ (a : α), (f a)) = (l.bind f)
@[simp]
theorem multiset.zero_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → multiset β) :
0.bind f = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : multiset α) (f : α → multiset β) :
(a ::ₘ s).bind f = f a + s.bind f
@[simp]
theorem multiset.singleton_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (f : α → multiset β) :
{a}.bind f = f a
@[simp]
theorem multiset.add_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : multiset α) (f : α → multiset β) :
(s + t).bind f = s.bind f + t.bind f
@[simp]
theorem multiset.bind_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) :
s.bind (λ (a : α), 0) = 0
@[simp]
theorem multiset.bind_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f g : α → multiset β) :
s.bind (λ (a : α), f a + g a) = s.bind f + s.bind g
@[simp]
theorem multiset.bind_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → β) (g : α → multiset β) :
s.bind (λ (a : α), f a ::ₘ g a) = multiset.map f s + s.bind g
@[simp]
theorem multiset.bind_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → β) :
s.bind (λ (x : α), {f x}) = multiset.map f s
@[simp]
theorem multiset.mem_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : multiset α} {f : α → multiset β} :
b s.bind f ∃ (a : α) (H : a s), b f a
@[simp]
theorem multiset.card_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → multiset β) :
theorem multiset.bind_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α → multiset β} {m : multiset α} :
(∀ (a : α), a mf a = g a)m.bind f = m.bind g
theorem multiset.bind_hcongr {α : Type u_1} {β β' : Type u_2} {m : multiset α} {f : α → multiset β} {f' : α → multiset β'} (h : β = β') (hf : ∀ (a : α), a mf a == f' a) :
m.bind f == m.bind f'
theorem multiset.map_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : α → multiset β) (f : β → γ) :
multiset.map f (m.bind n) = m.bind (λ (a : α), multiset.map f (n a))
theorem multiset.bind_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : β → multiset γ) (f : α → β) :
(multiset.map f m).bind n = m.bind (λ (a : α), n (f a))
theorem multiset.bind_assoc {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : multiset α} {f : α → multiset β} {g : β → multiset γ} :
(s.bind f).bind g = s.bind (λ (a : α), (f a).bind g)
theorem multiset.bind_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → multiset γ} :
m.bind (λ (a : α), n.bind (λ (b : β), f a b)) = n.bind (λ (b : β), m.bind (λ (a : α), f a b))
theorem multiset.bind_map_comm {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → γ} :
m.bind (λ (a : α), multiset.map (λ (b : β), f a b) n) = n.bind (λ (b : β), multiset.map (λ (a : α), f a b) m)
@[simp]
theorem multiset.prod_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid β] (s : multiset α) (t : α → multiset β) :
(s.bind t).prod = (multiset.map (λ (a : α), (t a).prod) s).prod
@[simp]
theorem multiset.sum_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} [add_comm_monoid β] (s : multiset α) (t : α → multiset β) :
(s.bind t).sum = (multiset.map (λ (a : α), (t a).sum) s).sum

Product of two multisets #

def multiset.product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t : multiset β) :
multiset × β)

The multiplicity of (a, b) in product s t is the product of the multiplicity of a in s and b in t.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (l₁ : list α) (l₂ : list β) :
l₁.product l₂ = (l₁.product l₂)
@[simp]
theorem multiset.zero_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : multiset β) :
0.product t = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : multiset α) (t : multiset β) :
@[simp]
theorem multiset.product_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (b : β) :
{a}.product {b} = {(a, b)}
@[simp]
theorem multiset.add_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : multiset α) (u : multiset β) :
(s + t).product u = s.product u + t.product u
@[simp]
theorem multiset.product_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t u : multiset β) :
s.product (t + u) = s.product t + s.product u
@[simp]
theorem multiset.mem_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {t : multiset β} {p : α × β} :
p s.product t p.fst s p.snd t
@[simp]
theorem multiset.card_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t : multiset β) :

Sigma multiset #

def multiset.sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
multiset (Σ (a : α), σ a)

sigma s t is the dependent version of product. It is the sum of (a, b) as a ranges over s and b ranges over t a.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (l₁ : list α) (l₂ : Π (a : α), list (σ a)) :
l₁.sigma (λ (a : α), (l₂ a)) = (l₁.sigma l₂)
@[simp]
theorem multiset.zero_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
0.sigma t = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (a : α) (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
(a ::ₘ s).sigma t = multiset.map (sigma.mk a) (t a) + s.sigma t
@[simp]
theorem multiset.sigma_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (b : α → β) :
{a}.sigma (λ (a : α), {b a}) = {a, b a⟩}
@[simp]
theorem multiset.add_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (s t : multiset α) (u : Π (a : α), multiset (σ a)) :
(s + t).sigma u = s.sigma u + t.sigma u
@[simp]
theorem multiset.sigma_add {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (s : multiset α) (t u : Π (a : α), multiset (σ a)) :
s.sigma (λ (a : α), t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
@[simp]
theorem multiset.mem_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} {s : multiset α} {t : Π (a : α), multiset (σ a)} {p : Σ (a : α), σ a} :
p s.sigma t p.fst s p.snd t p.fst
@[simp]
theorem multiset.card_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_4} (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
multiset.card (s.sigma t) = (multiset.map (λ (a : α), multiset.card (t a)) s).sum

Map for partial functions #

def multiset.pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (s : multiset α) :
(∀ (a : α), a sp a)multiset β

Lift of the list pmap operation. Map a partial function f over a multiset s whose elements are all in the domain of f.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (l : list α) (H : ∀ (a : α), a lp a) :
@[simp]
theorem multiset.pmap_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (h : ∀ (a : α), a 0p a) :
@[simp]
theorem multiset.pmap_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (a : α) (m : multiset α) (h : ∀ (b : α), b a ::ₘ mp b) :
multiset.pmap f (a ::ₘ m) h = f a _ ::ₘ multiset.pmap f m _
def multiset.attach {α : Type u_1} (s : multiset α) :
multiset {x // x s}

"Attach" a proof that a ∈ s to each element a in s to produce a multiset on {x // x ∈ s}.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_attach {α : Type u_1} (l : list α) :
theorem multiset.sizeof_lt_sizeof_of_mem {α : Type u_1} [has_sizeof α] {x : α} {s : multiset α} (hx : x s) :
theorem multiset.pmap_eq_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α → Prop) (f : α → β) (s : multiset α) (H : ∀ (a : α), a sp a) :
multiset.pmap (λ (a : α) (_x : p a), f a) s H = multiset.map f s
theorem multiset.pmap_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p q : α → Prop} {f : Π (a : α), p a → β} {g : Π (a : α), q a → β} (s : multiset α) {H₁ : ∀ (a : α), a sp a} {H₂ : ∀ (a : α), a sq a} (h : ∀ (a : α) (h₁ : p a) (h₂ : q a), f a h₁ = g a h₂) :
multiset.pmap f s H₁ = multiset.pmap g s H₂
theorem multiset.map_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {p : α → Prop} (g : β → γ) (f : Π (a : α), p a → β) (s : multiset α) (H : ∀ (a : α), a sp a) :
multiset.map g (multiset.pmap f s H) = multiset.pmap (λ (a : α) (h : p a), g (f a h)) s H
theorem multiset.pmap_eq_map_attach {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (s : multiset α) (H : ∀ (a : α), a sp a) :
multiset.pmap f s H = multiset.map (λ (x : {x // x s}), f x.val _) s.attach
theorem multiset.attach_map_val {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_attach {α : Type u_1} (s : multiset α) (x : {x // x s}) :
@[simp]
theorem multiset.mem_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} {f : Π (a : α), p a → β} {s : multiset α} {H : ∀ (a : α), a sp a} {b : β} :
b multiset.pmap f s H ∃ (a : α) (h : a s), f a _ = b
@[simp]
theorem multiset.card_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} (f : Π (a : α), p a → β) (s : multiset α) (H : ∀ (a : α), a sp a) :
@[simp]
theorem multiset.card_attach {α : Type u_1} {m : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.attach_zero {α : Type u_1} :
0.attach = 0
theorem multiset.attach_cons {α : Type u_1} (a : α) (m : multiset α) :
(a ::ₘ m).attach = a, _⟩ ::ₘ multiset.map (λ (p : {x // x m}), p.val, _⟩) m.attach
def multiset.decidable_forall_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : α → Prop} [hp : Π (a : α), decidable (p a)] :
decidable (∀ (a : α), a mp a)

If p is a decidable predicate, so is the predicate that all elements of a multiset satisfy p.

Equations
@[instance]
def multiset.decidable_dforall_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : Π (a : α), a m → Prop} [hp : Π (a : α) (h : a m), decidable (p a h)] :
decidable (∀ (a : α) (h : a m), p a h)
Equations
@[instance]
def multiset.decidable_eq_pi_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {β : α → Type u_2} [h : Π (a : α), decidable_eq (β a)] :
decidable_eq (Π (a : α), a mβ a)

decidable equality for functions whose domain is bounded by multisets

Equations
def multiset.decidable_exists_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : α → Prop} [decidable_pred p] :
decidable (∃ (x : α) (H : x m), p x)

If p is a decidable predicate, so is the existence of an element in a multiset satisfying p.

Equations
@[instance]
def multiset.decidable_dexists_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : Π (a : α), a m → Prop} [hp : Π (a : α) (h : a m), decidable (p a h)] :
decidable (∃ (a : α) (h : a m), p a h)
Equations

Subtraction #

def multiset.sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s - t is the multiset such that count a (s - t) = count a s - count a t for all a (note that it is truncated subtraction, so it is 0 if count a t ≥ count a s).

Equations
@[instance]
def multiset.has_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : list α) :
s - t = (s.diff t)
theorem multiset.sub_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
s - 0 = s

This is a special case of tsub_zero, which should be used instead of this. This is needed to prove has_ordered_sub (multiset α).

@[simp]
theorem multiset.sub_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
s - a ::ₘ t = s.erase a - t
theorem multiset.sub_le_iff_le_add {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s - t u s u + t

This is a special case of tsub_le_iff_right, which should be used instead of this. This is needed to prove has_ordered_sub (multiset α).

@[simp]
theorem multiset.card_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : t s) :

Union #

def multiset.union {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s ∪ t is the lattice join operation with respect to the multiset . The multiplicity of a in s ∪ t is the maximum of the multiplicities in s and t.

Equations
@[instance]
def multiset.has_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
theorem multiset.union_def {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s - t + t
theorem multiset.le_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s s t
theorem multiset.le_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
t s t
theorem multiset.eq_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} :
t ss t = s
theorem multiset.union_le_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) (u : multiset α) :
s u t u
theorem multiset.union_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} (h₁ : s u) (h₂ : t u) :
s t u
@[simp]
theorem multiset.mem_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
a s t a s a t
@[simp]
theorem multiset.map_union {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] [decidable_eq β] {f : α → β} (finj : function.injective f) {s t : multiset α} :

Intersection #

def multiset.inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s ∩ t is the lattice meet operation with respect to the multiset . The multiplicity of a in s ∩ t is the minimum of the multiplicities in s and t.

Equations
@[instance]
def multiset.has_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
@[simp]
theorem multiset.inter_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
s 0 = 0
@[simp]
theorem multiset.zero_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
0 s = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_inter_of_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} :
a t(a ::ₘ s) t = a ::ₘ s t.erase a
@[simp]
theorem multiset.cons_inter_of_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} :
a t(a ::ₘ s) t = s t
theorem multiset.inter_le_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t s
theorem multiset.inter_le_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t t
theorem multiset.le_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} (h₁ : s t) (h₂ : s u) :
s t u
@[simp]
theorem multiset.mem_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
a s t a s a t
@[simp]
theorem multiset.sup_eq_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s t
@[simp]
theorem multiset.inf_eq_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s t
@[simp]
theorem multiset.le_inter_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s t u s t s u
@[simp]
theorem multiset.union_le_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s t u s u t u
theorem multiset.union_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = t s
theorem multiset.inter_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = t s
theorem multiset.eq_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) :
s t = t
theorem multiset.union_le_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) (u : multiset α) :
u s u t
theorem multiset.union_le_add {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t s + t
theorem multiset.union_add_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s t + u = s + u (t + u)
theorem multiset.add_union_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s + (t u) = s + t (s + u)
theorem multiset.cons_union_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ (s t) = a ::ₘ s a ::ₘ t
theorem multiset.inter_add_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s t + u = (s + u) (t + u)
theorem multiset.add_inter_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s + t u = (s + t) (s + u)
theorem multiset.cons_inter_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ s t = (a ::ₘ s) (a ::ₘ t)
theorem multiset.union_add_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t + s t = s + t
theorem multiset.sub_add_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s - t + s t = s
theorem multiset.sub_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s - s t = s - t

multiset.filter #

def multiset.filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :

filter p s returns the elements in s (with the same multiplicities) which satisfy p, and removes the rest.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_zero {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] :
theorem multiset.filter_congr {α : Type u_1} {p q : α → Prop} [decidable_pred p] [decidable_pred q] {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x s(p x q x))multiset.filter p s = multiset.filter q s
@[simp]
theorem multiset.filter_add {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_le {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_subset {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_le_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.monotone_filter_left {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] :
theorem multiset.monotone_filter_right {α : Type u_1} (s : multiset α) ⦃p q : α → Prop⦄ [decidable_pred p] [decidable_pred q] (h : p q) :
@[simp]
theorem multiset.filter_cons_of_pos {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_cons_of_neg {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_filter {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} :
a multiset.filter p s a s p a
theorem multiset.of_mem_filter {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} (h : a multiset.filter p s) :
p a
theorem multiset.mem_of_mem_filter {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} (h : a multiset.filter p s) :
a s
theorem multiset.mem_filter_of_mem {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} {l : multiset α} (m : a l) (h : p a) :
theorem multiset.filter_eq_self {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.filter p s = s ∀ (a : α), a sp a
theorem multiset.filter_eq_nil {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.filter p s = 0 ∀ (a : α), a s¬p a
theorem multiset.le_filter {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {s t : multiset α} :
s multiset.filter p t s t ∀ (a : α), a sp a
theorem multiset.filter_cons {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
multiset.filter p (a ::ₘ s) = ite (p a) {a} 0 + multiset.filter p s
theorem multiset.filter_nsmul {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] (s : multiset α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.filter_sub {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_union {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_inter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (q : α → Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.filter p (multiset.filter q s) = multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s
theorem multiset.filter_add_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (q : α → Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.filter p s + multiset.filter q s = multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s + multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s
theorem multiset.filter_add_not {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
multiset.filter p s + multiset.filter (λ (a : α), ¬p a) s = s
theorem multiset.map_filter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (f : β → α) (s : multiset β) :

Simultaneously filter and map elements of a multiset #

def multiset.filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (s : multiset α) :

filter_map f s is a combination filter/map operation on s. The function f : α → option β is applied to each element of s; if f a is some b then b is added to the result, otherwise a is removed from the resulting multiset.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_cons_none {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → option β} (a : α) (s : multiset α) (h : f a = none) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_cons_some {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (a : α) (s : multiset α) {b : β} (h : f a = some b) :
theorem multiset.filter_map_eq_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) :
theorem multiset.filter_map_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → option β) (g : β → option γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.map_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → option β) (g : β → γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → β) (g : β → option γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (p : β → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_filter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (f : α → option β) (s : multiset α) :
multiset.filter_map f (multiset.filter p s) = multiset.filter_map (λ (x : α), ite (p x) (f x) none) s
@[simp]
theorem multiset.filter_map_some {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (s : multiset α) {b : β} :
b multiset.filter_map f s ∃ (a : α), a s f a = some b
theorem multiset.map_filter_map_of_inv {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) (g : β → α) (H : ∀ (x : α), option.map g (f x) = some x) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_le_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) {s t : multiset α} (h : s t) :

countp #

def multiset.countp {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :

countp p s counts the number of elements of s (with multiplicity) that satisfy p.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_countp {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_zero {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] :
@[simp]
theorem multiset.countp_cons_of_pos {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
p amultiset.countp p (a ::ₘ s) = multiset.countp p s + 1
@[simp]
theorem multiset.countp_cons_of_neg {α : Type u_1} {p : α → Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
theorem multiset.countp_cons {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (b : α) (s : multiset α) :
multiset.countp p (b ::ₘ s) = multiset.countp p s + ite (p b) 1 0
theorem multiset.countp_eq_card_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_add {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (s t : multiset α) :
def multiset.countp_add_monoid_hom {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] :

countp p, the number of elements of a multiset satisfying p, promoted to an add_monoid_hom.

Equations
@[simp]
@[simp]
theorem multiset.countp_sub {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : t s) :
theorem multiset.countp_le_of_le {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] {s t : multiset α} (h : s t) :
@[simp]
theorem multiset.countp_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] (q : α → Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.countp p (multiset.filter q s) = multiset.countp (λ (a : α), p a q a) s
theorem multiset.countp_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : multiset α) (p : β → Prop) [decidable_pred p] :