mathlib documentation

data.multiset.basic

Multisets #

These are implemented as the quotient of a list by permutations.

Notation #

We define the global infix notation ::ₘ for multiset.cons.

@[protected, instance]
def multiset.has_coe {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe {α : Type u_1} (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe' {α : Type u_1} (l : list α) :
quot.mk has_equiv.equiv l = l
@[simp]
theorem multiset.quot_mk_to_coe'' {α : Type u_1} (l : list α) :
quot.mk setoid.r l = l
@[simp]
theorem multiset.coe_eq_coe {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ = l₂ l₁ ~ l₂
@[protected, instance]
Equations
@[protected]
def multiset.sizeof {α : Type u_1} [has_sizeof α] (s : multiset α) :

defines a size for a multiset by referring to the size of the underlying list

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_sizeof {α : Type u_1} [has_sizeof α] :
Equations

Empty multiset #

@[protected]
def multiset.zero {α : Type u_1} :

0 : multiset α is the empty set

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_zero {α : Type u_1} :
Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_emptyc {α : Type u_1} :
Equations
@[protected, instance]
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_nil {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem multiset.empty_eq_zero {α : Type u_1} :
= 0
@[simp]
theorem multiset.coe_eq_zero {α : Type u_1} (l : list α) :
theorem multiset.coe_eq_zero_iff_empty {α : Type u_1} (l : list α) :
l = 0 (l.empty)

multiset.cons #

def multiset.cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :

cons a s is the multiset which contains s plus one more instance of a.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_insert {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.insert_eq_cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.cons_coe {α : Type u_1} (a : α) (l : list α) :
a ::ₘ l = (a :: l)
@[simp]
theorem multiset.cons_inj_left {α : Type u_1} {a b : α} (s : multiset α) :
a ::ₘ s = b ::ₘ s a = b
@[simp]
theorem multiset.cons_inj_right {α : Type u_1} (a : α) {s t : multiset α} :
a ::ₘ s = a ::ₘ t s = t
@[protected]
theorem multiset.induction {α : Type u_1} {p : multiset α Prop} (h₁ : p 0) (h₂ : ⦃a : α⦄ {s : multiset α}, p s p (a ::ₘ s)) (s : multiset α) :
p s
@[protected]
theorem multiset.induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α Prop} (s : multiset α) (h₁ : p 0) (h₂ : ⦃a : α⦄ {s : multiset α}, p s p (a ::ₘ s)) :
p s
theorem multiset.cons_swap {α : Type u_1} (a b : α) (s : multiset α) :
a ::ₘ b ::ₘ s = b ::ₘ a ::ₘ s
@[protected]
def multiset.rec {α : Type u_1} {C : multiset α Sort u_4} (C_0 : C 0) (C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C m C (a ::ₘ m)) (C_cons_heq : (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)) (m : multiset α) :
C m

Dependent recursor on multisets. TODO: should be @[recursor 6], but then the definition of multiset.pi fails with a stack overflow in whnf.

Equations
@[protected]
def multiset.rec_on {α : Type u_1} {C : multiset α Sort u_4} (m : multiset α) (C_0 : C 0) (C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C m C (a ::ₘ m)) (C_cons_heq : (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)) :
C m

Companion to multiset.rec with more convenient argument order.

Equations
@[simp]
theorem multiset.rec_on_0 {α : Type u_1} {C : multiset α Sort u_4} {C_0 : C 0} {C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C m C (a ::ₘ m)} {C_cons_heq : (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)} :
0.rec_on C_0 C_cons C_cons_heq = C_0
@[simp]
theorem multiset.rec_on_cons {α : Type u_1} {C : multiset α Sort u_4} {C_0 : C 0} {C_cons : Π (a : α) (m : multiset α), C m C (a ::ₘ m)} {C_cons_heq : (a a' : α) (m : multiset α) (b : C m), C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b) == C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b)} (a : α) (m : multiset α) :
(a ::ₘ m).rec_on C_0 C_cons C_cons_heq = C_cons a m (m.rec_on C_0 C_cons C_cons_heq)
def multiset.mem {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
Prop

a ∈ s means that a has nonzero multiplicity in s.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_mem {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.mem_coe {α : Type u_1} {a : α} {l : list α} :
a l a l
@[protected, instance]
def multiset.decidable_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
Equations
@[simp]
theorem multiset.mem_cons {α : Type u_1} {a b : α} {s : multiset α} :
a b ::ₘ s a = b a s
theorem multiset.mem_cons_of_mem {α : Type u_1} {a b : α} {s : multiset α} (h : a s) :
a b ::ₘ s
@[simp]
theorem multiset.mem_cons_self {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
a a ::ₘ s
theorem multiset.forall_mem_cons {α : Type u_1} {p : α Prop} {a : α} {s : multiset α} :
( (x : α), x a ::ₘ s p x) p a (x : α), x s p x
theorem multiset.exists_cons_of_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} {a : α} :
a s ( (t : multiset α), s = a ::ₘ t)
@[simp]
theorem multiset.not_mem_zero {α : Type u_1} (a : α) :
a 0
theorem multiset.eq_zero_of_forall_not_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
( (x : α), x s) s = 0
theorem multiset.eq_zero_iff_forall_not_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s = 0 (a : α), a s
theorem multiset.exists_mem_of_ne_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0 ( (a : α), a s)
theorem multiset.empty_or_exists_mem {α : Type u_1} (s : multiset α) :
s = 0 (a : α), a s
@[simp]
theorem multiset.zero_ne_cons {α : Type u_1} {a : α} {m : multiset α} :
0 a ::ₘ m
@[simp]
theorem multiset.cons_ne_zero {α : Type u_1} {a : α} {m : multiset α} :
a ::ₘ m 0
theorem multiset.cons_eq_cons {α : Type u_1} {a b : α} {as bs : multiset α} :
a ::ₘ as = b ::ₘ bs a = b as = bs a b (cs : multiset α), as = b ::ₘ cs bs = a ::ₘ cs

Singleton #

@[protected, instance]
Equations
@[protected, instance]
@[simp]
theorem multiset.cons_zero {α : Type u_1} (a : α) :
a ::ₘ 0 = {a}
@[simp]
theorem multiset.coe_singleton {α : Type u_1} (a : α) :
[a] = {a}
@[simp]
theorem multiset.mem_singleton {α : Type u_1} {a b : α} :
b {a} b = a
theorem multiset.mem_singleton_self {α : Type u_1} (a : α) :
a {a}
@[simp]
theorem multiset.singleton_inj {α : Type u_1} {a b : α} :
{a} = {b} a = b
@[simp]
theorem multiset.singleton_eq_cons_iff {α : Type u_1} {a b : α} (m : multiset α) :
{a} = b ::ₘ m a = b m = 0
theorem multiset.pair_comm {α : Type u_1} (x y : α) :
{x, y} = {y, x}

multiset.subset #

@[protected]
def multiset.subset {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
Prop

s ⊆ t is the lift of the list subset relation. It means that any element with nonzero multiplicity in s has nonzero multiplicity in t, but it does not imply that the multiplicity of a in s is less or equal than in t; see s ≤ t for this relation.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_subset {α : Type u_1} :
Equations
@[protected, instance]
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_subset {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ l₂ l₁ l₂
@[simp]
theorem multiset.subset.refl {α : Type u_1} (s : multiset α) :
s s
theorem multiset.subset.trans {α : Type u_1} {s t u : multiset α} :
s t t u s u
theorem multiset.subset_iff {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t ⦃x : α⦄, x s x t
theorem multiset.mem_of_subset {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (h : s t) :
a s a t
@[simp]
theorem multiset.zero_subset {α : Type u_1} (s : multiset α) :
0 s
theorem multiset.subset_cons {α : Type u_1} (s : multiset α) (a : α) :
s a ::ₘ s
theorem multiset.ssubset_cons {α : Type u_1} {s : multiset α} {a : α} (ha : a s) :
s a ::ₘ s
@[simp]
theorem multiset.cons_subset {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} :
a ::ₘ s t a t s t
theorem multiset.cons_subset_cons {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} :
s t a ::ₘ s a ::ₘ t
theorem multiset.eq_zero_of_subset_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} (h : s 0) :
s = 0
theorem multiset.subset_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0 s = 0
theorem multiset.induction_on' {α : Type u_1} {p : multiset α Prop} (S : multiset α) (h₁ : p 0) (h₂ : {a : α} {s : multiset α}, a S s S p s p (has_insert.insert a s)) :
p S

multiset.to_list #

noncomputable def multiset.to_list {α : Type u_1} (s : multiset α) :
list α

Produces a list of the elements in the multiset using choice.

Equations
@[simp, norm_cast]
theorem multiset.coe_to_list {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.to_list_eq_nil {α : Type u_1} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.empty_to_list {α : Type u_1} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.to_list_zero {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem multiset.mem_to_list {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
a s.to_list a s

Partial order on multisets #

@[protected]
def multiset.le {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
Prop

s ≤ t means that s is a sublist of t (up to permutation). Equivalently, s ≤ t means that count a s ≤ count a t for all a.

Equations
@[protected, instance]
Equations
theorem multiset.subset_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t s t
theorem multiset.le.subset {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t s t

Alias of multiset.subset_of_le.

theorem multiset.mem_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (h : s t) :
a s a t
theorem multiset.not_mem_mono {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (h : s t) :
a t a s
@[simp]
theorem multiset.coe_le {α : Type u_1} {l₁ l₂ : list α} :
l₁ l₂ l₁ <+~ l₂
theorem multiset.le_induction_on {α : Type u_1} {C : multiset α multiset α Prop} {s t : multiset α} (h : s t) (H : {l₁ l₂ : list α}, l₁ <+ l₂ C l₁ l₂) :
C s t
theorem multiset.zero_le {α : Type u_1} (s : multiset α) :
0 s
@[protected, instance]
def multiset.order_bot {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.bot_eq_zero {α : Type u_1} :
= 0

This is a rfl and simp version of bot_eq_zero.

theorem multiset.le_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s 0 s = 0
theorem multiset.lt_cons_self {α : Type u_1} (s : multiset α) (a : α) :
s < a ::ₘ s
theorem multiset.le_cons_self {α : Type u_1} (s : multiset α) (a : α) :
s a ::ₘ s
theorem multiset.cons_le_cons_iff {α : Type u_1} {s t : multiset α} (a : α) :
a ::ₘ s a ::ₘ t s t
theorem multiset.cons_le_cons {α : Type u_1} {s t : multiset α} (a : α) :
s t a ::ₘ s a ::ₘ t
theorem multiset.le_cons_of_not_mem {α : Type u_1} {s t : multiset α} {a : α} (m : a s) :
s a ::ₘ t s t
@[simp]
theorem multiset.singleton_ne_zero {α : Type u_1} (a : α) :
{a} 0
@[simp]
theorem multiset.singleton_le {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
{a} s a s

Additive monoid #

@[protected]
def multiset.add {α : Type u_1} (s₁ s₂ : multiset α) :

The sum of two multisets is the lift of the list append operation. This adds the multiplicities of each element, i.e. count a (s + t) = count a s + count a t.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_add {α : Type u_1} :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_add {α : Type u_1} (s t : list α) :
s + t = (s ++ t)
@[simp]
theorem multiset.singleton_add {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
{a} + s = a ::ₘ s
@[protected, instance]
Equations
theorem multiset.le_add_right {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
s s + t
theorem multiset.le_add_left {α : Type u_1} (s t : multiset α) :
s t + s
theorem multiset.le_iff_exists_add {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s t (u : multiset α), t = s + u
@[simp]
theorem multiset.cons_add {α : Type u_1} (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ s + t = a ::ₘ (s + t)
@[simp]
theorem multiset.add_cons {α : Type u_1} (a : α) (s t : multiset α) :
s + a ::ₘ t = a ::ₘ (s + t)
@[simp]
theorem multiset.mem_add {α : Type u_1} {a : α} {s t : multiset α} :
a s + t a s a t
theorem multiset.mem_of_mem_nsmul {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} {n : } (h : a n s) :
a s
@[simp]
theorem multiset.mem_nsmul {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} {n : } (h0 : n 0) :
a n s a s
theorem multiset.nsmul_cons {α : Type u_1} {s : multiset α} (n : ) (a : α) :
n (a ::ₘ s) = n {a} + n s

Cardinality #

def multiset.card {α : Type u_1} :

The cardinality of a multiset is the sum of the multiplicities of all its elements, or simply the length of the underlying list.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_card {α : Type u_1} (l : list α) :
@[simp]
@[simp]
theorem multiset.card_zero {α : Type u_1} :
theorem multiset.card_nsmul {α : Type u_1} (s : multiset α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.card_cons {α : Type u_1} (a : α) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.card_singleton {α : Type u_1} (a : α) :
theorem multiset.card_pair {α : Type u_1} (a b : α) :
theorem multiset.card_eq_one {α : Type u_1} {s : multiset α} :
multiset.card s = 1 (a : α), s = {a}
theorem multiset.card_le_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.eq_of_le_of_card_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.card_lt_of_lt {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s < t) :
theorem multiset.lt_iff_cons_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s < t (a : α), a ::ₘ s t
@[simp]
theorem multiset.card_eq_zero {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_pos {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_pos_iff_exists_mem {α : Type u_1} {s : multiset α} :
0 < multiset.card s (a : α), a s
theorem multiset.card_eq_two {α : Type u_1} {s : multiset α} :
multiset.card s = 2 (x y : α), s = {x, y}
theorem multiset.card_eq_three {α : Type u_1} {s : multiset α} :
multiset.card s = 3 (x y z : α), s = {x, y, z}

Induction principles #

def multiset.strong_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} (s : multiset α) :
(Π (s : multiset α), (Π (t : multiset α), t < s p t) p s) p s

A strong induction principle for multisets: If you construct a value for a particular multiset given values for all strictly smaller multisets, you can construct a value for any multiset.

Equations
theorem multiset.strong_induction_eq {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} (s : multiset α) (H : Π (s : multiset α), (Π (t : multiset α), t < s p t) p s) :
s.strong_induction_on H = H s (λ (t : multiset α) (h : t < s), t.strong_induction_on H)
theorem multiset.case_strong_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α Prop} (s : multiset α) (h₀ : p 0) (h₁ : (a : α) (s : multiset α), ( (t : multiset α), t s p t) p (a ::ₘ s)) :
p s
def multiset.strong_downward_induction {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ n t₁ < t₂ p t₂) multiset.card t₁ n p t₁) (s : multiset α) :

Suppose that, given that p t can be defined on all supersets of s of cardinality less than n, one knows how to define p s. Then one can inductively define p s for all multisets s of cardinality less than n, starting from multisets of card n and iterating. This can be used either to define data, or to prove properties.

Equations
theorem multiset.strong_downward_induction_eq {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ n t₁ < t₂ p t₂) multiset.card t₁ n p t₁) (s : multiset α) :
def multiset.strong_downward_induction_on {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} {n : } (s : multiset α) :
(Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ n t₁ < t₂ p t₂) multiset.card t₁ n p t₁) multiset.card s n p s

Analogue of strong_downward_induction with order of arguments swapped.

Equations
theorem multiset.strong_downward_induction_on_eq {α : Type u_1} {p : multiset α Sort u_2} (s : multiset α) {n : } (H : Π (t₁ : multiset α), (Π {t₂ : multiset α}, multiset.card t₂ n t₁ < t₂ p t₂) multiset.card t₁ n p t₁) :
s.strong_downward_induction_on H = H s (λ (t : multiset α) (ht : multiset.card t n) (h : s < t), t.strong_downward_induction_on H ht)

Another way of expressing strong_induction_on: the (<) relation is well-founded.

multiset.repeat #

def multiset.repeat {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :

repeat a n is the multiset containing only a with multiplicity n.

Equations
theorem multiset.coe_repeat {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_zero {α : Type u_1} (a : α) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_succ {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.repeat_add {α : Type u_1} (a : α) (m n : ) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_one {α : Type u_1} (a : α) :
@[simp]
theorem multiset.card_repeat {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.mem_repeat {α : Type u_1} {a b : α} {n : } :
b multiset.repeat a n n 0 b = a
theorem multiset.eq_of_mem_repeat {α : Type u_1} {a b : α} {n : } :
theorem multiset.eq_repeat' {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
s = multiset.repeat a (multiset.card s) (b : α), b s b = a
theorem multiset.eq_repeat_of_mem {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
( (b : α), b s b = a) s = multiset.repeat a (multiset.card s)
theorem multiset.eq_repeat {α : Type u_1} {a : α} {n : } {s : multiset α} :
s = multiset.repeat a n multiset.card s = n (b : α), b s b = a
theorem multiset.repeat_left_injective {α : Type u_1} {n : } (hn : n 0) :
@[simp]
theorem multiset.repeat_left_inj {α : Type u_1} {a b : α} {n : } (h : n 0) :
theorem multiset.repeat_subset_singleton {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.repeat_le_coe {α : Type u_1} {a : α} {n : } {l : list α} :
theorem multiset.nsmul_singleton {α : Type u_1} (a : α) (n : ) :
theorem multiset.nsmul_repeat {α : Type u_1} {a : α} (n m : ) :
theorem multiset.repeat_le_repeat {α : Type u_1} (a : α) {k n : } :
theorem multiset.le_repeat_iff {α : Type u_1} {m : multiset α} {a : α} {n : } :
m multiset.repeat a n (k : ) (H : k n), m = multiset.repeat a k
theorem multiset.lt_repeat_succ {α : Type u_1} {m : multiset α} {x : α} {n : } :

Erasing one copy of an element #

def multiset.erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a : α) :

erase s a is the multiset that subtracts 1 from the multiplicity of a.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (l : list α) (a : α) :
l.erase a = (l.erase a)
@[simp]
theorem multiset.erase_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :
0.erase a = 0
@[simp]
theorem multiset.erase_cons_head {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
(a ::ₘ s).erase a = s
@[simp]
theorem multiset.erase_cons_tail {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} (s : multiset α) (h : b a) :
(b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
@[simp]
theorem multiset.erase_singleton {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :
{a}.erase a = 0
@[simp]
theorem multiset.erase_of_not_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
a s s.erase a = s
@[simp]
theorem multiset.cons_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s : multiset α} {a : α} :
a s a ::ₘ s.erase a = s
theorem multiset.le_cons_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a : α) :
s a ::ₘ s.erase a
theorem multiset.add_singleton_eq_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
s + {a} = t a t s = t.erase a
theorem multiset.erase_add_left_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (t : multiset α) :
a s (s + t).erase a = s.erase a + t
theorem multiset.erase_add_right_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} (h : a t) :
(s + t).erase a = s + t.erase a
theorem multiset.erase_add_right_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (t : multiset α) :
a s (s + t).erase a = s + t.erase a
theorem multiset.erase_add_left_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} (h : a t) :
(s + t).erase a = s.erase a + t
theorem multiset.erase_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
s.erase a s
@[simp]
theorem multiset.erase_lt {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
s.erase a < s a s
theorem multiset.erase_subset {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
s.erase a s
theorem multiset.mem_erase_of_ne {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} {s : multiset α} (ab : a b) :
a s.erase b a s
theorem multiset.mem_of_mem_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} {s : multiset α} :
a s.erase b a s
theorem multiset.erase_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) (a b : α) :
(s.erase a).erase b = (s.erase b).erase a
theorem multiset.erase_le_erase {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (a : α) (h : s t) :
s.erase a t.erase a
theorem multiset.erase_le_iff_le_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
s.erase a t s a ::ₘ t
@[simp]
theorem multiset.card_erase_of_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.card_erase_add_one {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_erase_lt_of_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.card_erase_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.coe_reverse {α : Type u_1} (l : list α) :

multiset.map #

def multiset.map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (s : multiset α) :

map f s is the lift of the list map operation. The multiplicity of b in map f s is the number of a ∈ s (counting multiplicity) such that f a = b.

Equations
Instances for multiset.map
theorem multiset.map_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α β} {s t : multiset α} :
s = t ( (x : α), x t f x = g x) multiset.map f s = multiset.map g t
theorem multiset.map_hcongr {α : Type u_1} {β β' : Type u_2} {m : multiset α} {f : α β} {f' : α β'} (h : β = β') (hf : (a : α), a m f a == f' a) :
theorem multiset.forall_mem_map_iff {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {p : β Prop} {s : multiset α} :
( (y : β), y multiset.map f s p y) (x : α), x s p (f x)
@[simp]
theorem multiset.coe_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.map_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) :
@[simp]
theorem multiset.map_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (a : α) (s : multiset α) :
theorem multiset.map_comp_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (t : α) :
@[simp]
theorem multiset.map_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (a : α) :
multiset.map f {a} = {f a}
theorem multiset.map_repeat {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (a : α) (k : ) :
@[simp]
theorem multiset.map_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (s t : multiset α) :
@[protected, instance]
def multiset.can_lift {α : Type u_1} {β : Type u_2} (c : out_param α)) (p : out_param Prop)) [can_lift α β c p] :
can_lift (multiset α) (multiset β) (multiset.map c) (λ (s : multiset α), (x : α), x s p x)

If each element of s : multiset α can be lifted to β, then s can be lifted to multiset β.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_map_add_monoid_hom {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) :
theorem multiset.map_nsmul {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (n : ) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {b : β} {s : multiset α} :
b multiset.map f s (a : α), a s f a = b
@[simp]
theorem multiset.card_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.map_eq_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {f : α β} :
multiset.map f s = 0 s = 0
theorem multiset.mem_map_of_mem {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) {a : α} {s : multiset α} (h : a s) :
theorem multiset.map_eq_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {s : multiset α} {b : β} :
multiset.map f s = {b} (a : α), s = {a} f a = b
theorem multiset.map_eq_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] (f : α β) (s : multiset α) (t : multiset β) (b : β) :
( (a : α) (H : a s), f a = b multiset.map f (s.erase a) = t) multiset.map f s = b ::ₘ t
theorem multiset.mem_map_of_injective {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} (H : function.injective f) {a : α} {s : multiset α} :
f a multiset.map f s a s
@[simp]
theorem multiset.map_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (g : β γ) (f : α β) (s : multiset α) :
theorem multiset.map_id {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.map_id' {α : Type u_1} (s : multiset α) :
multiset.map (λ (x : α), x) s = s
@[simp]
theorem multiset.map_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (b : β) :
theorem multiset.eq_of_mem_map_const {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b₁ b₂ : β} {l : list α} (h : b₁ multiset.map (function.const α b₂) l) :
b₁ = b₂
@[simp]
theorem multiset.map_le_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {s t : multiset α} (h : s t) :
@[simp]
theorem multiset.map_lt_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {s t : multiset α} (h : s < t) :
theorem multiset.map_mono {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) :
theorem multiset.map_strict_mono {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) :
@[simp]
theorem multiset.map_subset_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α β} {s t : multiset α} (H : s t) :
theorem multiset.map_erase {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] [decidable_eq β] (f : α β) (hf : function.injective f) (x : α) (s : multiset α) :
multiset.map f (s.erase x) = (multiset.map f s).erase (f x)

multiset.fold #

def multiset.foldl {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
β

foldl f H b s is the lift of the list operation foldl f b l, which folds f over the multiset. It is well defined when f is right-commutative, that is, f (f b a₁) a₂ = f (f b a₂) a₁.

Equations
@[simp]
theorem multiset.foldl_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) :
multiset.foldl f H b 0 = b
@[simp]
theorem multiset.foldl_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) (a : α) (s : multiset α) :
multiset.foldl f H b (a ::ₘ s) = multiset.foldl f H (f b a) s
@[simp]
theorem multiset.foldl_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) (s t : multiset α) :
multiset.foldl f H b (s + t) = multiset.foldl f H (multiset.foldl f H b s) t
def multiset.foldr {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
β

foldr f H b s is the lift of the list operation foldr f b l, which folds f over the multiset. It is well defined when f is left-commutative, that is, f a₁ (f a₂ b) = f a₂ (f a₁ b).

Equations
@[simp]
theorem multiset.foldr_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) :
multiset.foldr f H b 0 = b
@[simp]
theorem multiset.foldr_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (a : α) (s : multiset α) :
multiset.foldr f H b (a ::ₘ s) = f a (multiset.foldr f H b s)
@[simp]
theorem multiset.foldr_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (a : α) :
multiset.foldr f H b {a} = f a b
@[simp]
theorem multiset.foldr_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (s t : multiset α) :
multiset.foldr f H b (s + t) = multiset.foldr f H (multiset.foldr f H b t) s
@[simp]
theorem multiset.coe_foldr {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.coe_foldl {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) (l : list α) :
theorem multiset.coe_foldr_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (l : list α) :
multiset.foldr f H b l = list.foldl (λ (x : β) (y : α), f y x) b l
theorem multiset.foldr_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
multiset.foldr f H b s = multiset.foldl (λ (x : β) (y : α), f y x) _ b s
theorem multiset.foldl_swap {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (b : β) (s : multiset α) :
multiset.foldl f H b s = multiset.foldr (λ (x : α) (y : β), f y x) _ b s
theorem multiset.foldr_induction' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β β) (H : left_commutative f) (x : β) (q : α Prop) (p : β Prop) (s : multiset α) (hpqf : (a : α) (b : β), q a p b p (f a b)) (px : p x) (q_s : (a : α), a s q a) :
p (multiset.foldr f H x s)
theorem multiset.foldr_induction {α : Type u_1} (f : α α α) (H : left_commutative f) (x : α) (p : α Prop) (s : multiset α) (p_f : (a b : α), p a p b p (f a b)) (px : p x) (p_s : (a : α), a s p a) :
p (multiset.foldr f H x s)
theorem multiset.foldl_induction' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : β α β) (H : right_commutative f) (x : β) (q : α Prop) (p : β Prop) (s : multiset α) (hpqf : (a : α) (b : β), q a p b p (f b a)) (px : p x) (q_s : (a : α), a s q a) :
p (multiset.foldl f H x s)
theorem multiset.foldl_induction {α : Type u_1} (f : α α α) (H : right_commutative f) (x : α) (p : α Prop) (s : multiset α) (p_f : (a b : α), p a p b p (f b a)) (px : p x) (p_s : (a : α), a s p a) :
p (multiset.foldl f H x s)

Map for partial functions #

def multiset.pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (s : multiset α) :
( (a : α), a s p a) multiset β

Lift of the list pmap operation. Map a partial function f over a multiset s whose elements are all in the domain of f.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (l : list α) (H : (a : α), a l p a) :
@[simp]
theorem multiset.pmap_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (h : (a : α), a 0 p a) :
@[simp]
theorem multiset.pmap_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (a : α) (m : multiset α) (h : (b : α), b a ::ₘ m p b) :
multiset.pmap f (a ::ₘ m) h = f a _ ::ₘ multiset.pmap f m _
def multiset.attach {α : Type u_1} (s : multiset α) :
multiset {x // x s}

"Attach" a proof that a ∈ s to each element a in s to produce a multiset on {x // x ∈ s}.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_attach {α : Type u_1} (l : list α) :
theorem multiset.sizeof_lt_sizeof_of_mem {α : Type u_1} [has_sizeof α] {x : α} {s : multiset α} (hx : x s) :
theorem multiset.pmap_eq_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α Prop) (f : α β) (s : multiset α) (H : (a : α), a s p a) :
multiset.pmap (λ (a : α) (_x : p a), f a) s H = multiset.map f s
theorem multiset.pmap_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p q : α Prop} {f : Π (a : α), p a β} {g : Π (a : α), q a β} (s : multiset α) {H₁ : (a : α), a s p a} {H₂ : (a : α), a s q a} :
( (a : α), a s (h₁ : p a) (h₂ : q a), f a h₁ = g a h₂) multiset.pmap f s H₁ = multiset.pmap g s H₂
theorem multiset.map_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {p : α Prop} (g : β γ) (f : Π (a : α), p a β) (s : multiset α) (H : (a : α), a s p a) :
multiset.map g (multiset.pmap f s H) = multiset.pmap (λ (a : α) (h : p a), g (f a h)) s H
theorem multiset.pmap_eq_map_attach {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (s : multiset α) (H : (a : α), a s p a) :
multiset.pmap f s H = multiset.map (λ (x : {x // x s}), f x _) s.attach
@[simp]
theorem multiset.attach_map_coe' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α β) :
multiset.map (λ (i : {x // x s}), f i) s.attach = multiset.map f s
theorem multiset.attach_map_val' {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α β) :
multiset.map (λ (i : {x // x s}), f i.val) s.attach = multiset.map f s
@[simp]
theorem multiset.attach_map_coe {α : Type u_1} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_attach {α : Type u_1} (s : multiset α) (x : {x // x s}) :
@[simp]
theorem multiset.mem_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} {f : Π (a : α), p a β} {s : multiset α} {H : (a : α), a s p a} {b : β} :
b multiset.pmap f s H (a : α) (h : a s), f a _ = b
@[simp]
theorem multiset.card_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α Prop} (f : Π (a : α), p a β) (s : multiset α) (H : (a : α), a s p a) :
@[simp]
@[simp]
theorem multiset.attach_zero {α : Type u_1} :
0.attach = 0
theorem multiset.attach_cons {α : Type u_1} (a : α) (m : multiset α) :
(a ::ₘ m).attach = a, _⟩ ::ₘ multiset.map (λ (p : {x // x m}), p.val, _⟩) m.attach
@[protected]
def multiset.decidable_forall_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : α Prop} [hp : Π (a : α), decidable (p a)] :
decidable ( (a : α), a m p a)

If p is a decidable predicate, so is the predicate that all elements of a multiset satisfy p.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.decidable_dforall_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : Π (a : α), a m Prop} [hp : Π (a : α) (h : a m), decidable (p a h)] :
decidable ( (a : α) (h : a m), p a h)
Equations
@[protected, instance]
def multiset.decidable_eq_pi_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {β : α Type u_2} [h : Π (a : α), decidable_eq (β a)] :
decidable_eq (Π (a : α), a m β a)

decidable equality for functions whose domain is bounded by multisets

Equations
@[protected]
def multiset.decidable_exists_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : α Prop} [decidable_pred p] :
decidable ( (x : α) (H : x m), p x)

If p is a decidable predicate, so is the existence of an element in a multiset satisfying p.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.decidable_dexists_multiset {α : Type u_1} {m : multiset α} {p : Π (a : α), a m Prop} [hp : Π (a : α) (h : a m), decidable (p a h)] :
decidable ( (a : α) (h : a m), p a h)
Equations

Subtraction #

@[protected]
def multiset.sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s - t is the multiset such that count a (s - t) = count a s - count a t for all a (note that it is truncated subtraction, so it is 0 if count a t ≥ count a s).

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : list α) :
s - t = (s.diff t)
@[protected]
theorem multiset.sub_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
s - 0 = s

This is a special case of tsub_zero, which should be used instead of this. This is needed to prove has_ordered_sub (multiset α).

@[simp]
theorem multiset.sub_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
s - a ::ₘ t = s.erase a - t
@[protected]
theorem multiset.sub_le_iff_le_add {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s - t u s u + t

This is a special case of tsub_le_iff_right, which should be used instead of this. This is needed to prove has_ordered_sub (multiset α).

@[protected, instance]
Equations
theorem multiset.cons_sub_of_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) {s t : multiset α} (h : t s) :
a ::ₘ s - t = a ::ₘ (s - t)
@[simp]
theorem multiset.card_sub {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : t s) :

Union #

def multiset.union {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s ∪ t is the lattice join operation with respect to the multiset . The multiplicity of a in s ∪ t is the maximum of the multiplicities in s and t.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
theorem multiset.union_def {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s - t + t
theorem multiset.le_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s s t
theorem multiset.le_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
t s t
theorem multiset.eq_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} :
t s s t = s
theorem multiset.union_le_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) (u : multiset α) :
s u t u
theorem multiset.union_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} (h₁ : s u) (h₂ : t u) :
s t u
@[simp]
theorem multiset.mem_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
a s t a s a t
@[simp]
theorem multiset.map_union {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] [decidable_eq β] {f : α β} (finj : function.injective f) {s t : multiset α} :

Intersection #

def multiset.inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :

s ∩ t is the lattice meet operation with respect to the multiset . The multiplicity of a in s ∩ t is the minimum of the multiplicities in s and t.

Equations
@[protected, instance]
def multiset.has_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] :
Equations
@[simp]
theorem multiset.inter_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
s 0 = 0
@[simp]
theorem multiset.zero_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
0 s = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_inter_of_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} :
a t (a ::ₘ s) t = a ::ₘ s t.erase a
@[simp]
theorem multiset.cons_inter_of_neg {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} (s : multiset α) {t : multiset α} :
a t (a ::ₘ s) t = s t
theorem multiset.inter_le_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t s
theorem multiset.inter_le_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t t
theorem multiset.le_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} (h₁ : s t) (h₂ : s u) :
s t u
@[simp]
theorem multiset.mem_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} {a : α} :
a s t a s a t
@[simp]
theorem multiset.sup_eq_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s t
@[simp]
theorem multiset.inf_eq_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = s t
@[simp]
theorem multiset.le_inter_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s t u s t s u
@[simp]
theorem multiset.union_le_iff {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t u : multiset α} :
s t u s u t u
theorem multiset.union_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = t s
theorem multiset.inter_comm {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t = t s
theorem multiset.eq_union_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) :
s t = t
theorem multiset.union_le_union_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : s t) (u : multiset α) :
u s u t
theorem multiset.union_le_add {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t s + t
theorem multiset.union_add_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s t + u = s + u (t + u)
theorem multiset.add_union_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s + (t u) = s + t (s + u)
theorem multiset.cons_union_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ (s t) = a ::ₘ s a ::ₘ t
theorem multiset.inter_add_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s t + u = (s + u) (t + u)
theorem multiset.add_inter_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t u : multiset α) :
s + t u = (s + t) (s + u)
theorem multiset.cons_inter_distrib {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
a ::ₘ s t = (a ::ₘ s) (a ::ₘ t)
theorem multiset.union_add_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s t + s t = s + t
theorem multiset.sub_add_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s - t + s t = s
theorem multiset.sub_inter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
s - s t = s - t

multiset.filter #

def multiset.filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :

filter p s returns the elements in s (with the same multiplicities) which satisfy p, and removes the rest.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_zero {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] :
theorem multiset.filter_congr {α : Type u_1} {p q : α Prop} [decidable_pred p] [decidable_pred q] {s : multiset α} :
( (x : α), x s (p x q x)) multiset.filter p s = multiset.filter q s
@[simp]
theorem multiset.filter_add {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_le {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_subset {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_le_filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] {s t : multiset α} (h : s t) :
theorem multiset.monotone_filter_right {α : Type u_1} (s : multiset α) ⦃p q : α Prop⦄ [decidable_pred p] [decidable_pred q] (h : p q) :
@[simp]
theorem multiset.filter_cons_of_pos {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_cons_of_neg {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.mem_filter {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} :
a multiset.filter p s a s p a
theorem multiset.of_mem_filter {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} (h : a multiset.filter p s) :
p a
theorem multiset.mem_of_mem_filter {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} {s : multiset α} (h : a multiset.filter p s) :
a s
theorem multiset.mem_filter_of_mem {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} {l : multiset α} (m : a l) (h : p a) :
theorem multiset.filter_eq_self {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.filter p s = s (a : α), a s p a
theorem multiset.filter_eq_nil {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.filter p s = 0 (a : α), a s ¬p a
theorem multiset.le_filter {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s t : multiset α} :
s multiset.filter p t s t (a : α), a s p a
theorem multiset.filter_cons {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
multiset.filter p (a ::ₘ s) = ite (p a) {a} 0 + multiset.filter p s
theorem multiset.filter_singleton {α : Type u_1} {a : α} (p : α Prop) [decidable_pred p] :
multiset.filter p {a} = ite (p a) {a}
theorem multiset.filter_nsmul {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] (s : multiset α) (n : ) :
@[simp]
theorem multiset.filter_sub {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_union {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_inter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (q : α Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.filter p (multiset.filter q s) = multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s
theorem multiset.filter_add_filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (q : α Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.filter p s + multiset.filter q s = multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s + multiset.filter (λ (a : α), p a q a) s
theorem multiset.filter_add_not {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
multiset.filter p s + multiset.filter (λ (a : α), ¬p a) s = s
theorem multiset.map_filter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α Prop) [decidable_pred p] (f : β α) (s : multiset β) :

Simultaneously filter and map elements of a multiset #

def multiset.filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (s : multiset α) :

filter_map f s is a combination filter/map operation on s. The function f : α → option β is applied to each element of s; if f a is some b then b is added to the result, otherwise a is removed from the resulting multiset.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_cons_none {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α option β} (a : α) (s : multiset α) (h : f a = option.none) :
@[simp]
theorem multiset.filter_map_cons_some {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (a : α) (s : multiset α) {b : β} (h : f a = option.some b) :
theorem multiset.filter_map_eq_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) :
theorem multiset.filter_map_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α option β) (g : β option γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.map_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α option β) (g : β γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α β) (g : β option γ) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (p : β Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_filter {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : α Prop) [decidable_pred p] (f : α option β) (s : multiset α) :
@[simp]
@[simp]
theorem multiset.mem_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (s : multiset α) {b : β} :
b multiset.filter_map f s (a : α), a s f a = option.some b
theorem multiset.map_filter_map_of_inv {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) (g : β α) (H : (x : α), option.map g (f x) = option.some x) (s : multiset α) :
theorem multiset.filter_map_le_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α option β) {s t : multiset α} (h : s t) :

countp #

def multiset.countp {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :

countp p s counts the number of elements of s (with multiplicity) that satisfy p.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_countp {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_zero {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] :
@[simp]
theorem multiset.countp_cons_of_pos {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_cons_of_neg {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {a : α} (s : multiset α) :
theorem multiset.countp_cons {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (b : α) (s : multiset α) :
multiset.countp p (b ::ₘ s) = multiset.countp p s + ite (p b) 1 0
theorem multiset.countp_le_card {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_add {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s t : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.countp_nsmul {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) (n : ) :
theorem multiset.card_eq_countp_add_countp {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (s : multiset α) :
def multiset.countp_add_monoid_hom {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] :

countp p, the number of elements of a multiset satisfying p, promoted to an add_monoid_hom.

Equations
@[simp]
theorem multiset.countp_sub {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] [decidable_eq α] {s t : multiset α} (h : t s) :
theorem multiset.countp_le_of_le {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] {s t : multiset α} (h : s t) :
@[simp]
theorem multiset.countp_filter {α : Type u_1} (p : α Prop) [decidable_pred p] (q : α Prop) [decidable_pred q] (s : multiset α) :
multiset.countp p (multiset.filter q s) = multiset.countp (λ (a : α), p a q a) s
@[simp]
theorem multiset.countp_true {α : Type u_1} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.countp_false {α : Type u_1} {s : multiset α} :
multiset.countp (λ (_x : α), false) s = 0
theorem multiset.countp_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α β) (s : multiset α) (p : β Prop) [decidable_pred p] :
theorem multiset.countp_pos {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
0 < multiset.countp p s (a : α) (H : a s), p a
theorem multiset.countp_eq_zero {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.countp p s = 0 (a : α), a s ¬p a
theorem multiset.countp_eq_card {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} :
multiset.countp p s = multiset.card s (a : α), a s p a
theorem multiset.countp_pos_of_mem {α : Type u_1} {p : α Prop} [decidable_pred p] {s : multiset α} {a : α} (h : a s) (pa : p a) :
theorem multiset.countp_congr {α : Type u_1} {s s' : multiset α} (hs : s = s') {p p' : α Prop} [decidable_pred p] [decidable_pred p'] (hp : (x : α), x s p x = p' x) :

Multiplicity of an element #

def multiset.count {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :

count a s is the multiplicity of a in s.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_count {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (l : list α) :
@[simp]
theorem multiset.count_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :
@[simp]
theorem multiset.count_cons_self {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
@[simp]
theorem multiset.count_cons_of_ne {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} (h : a b) (s : multiset α) :
theorem multiset.count_le_card {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s : multiset α) :
theorem multiset.count_le_of_le {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) {s t : multiset α} :
theorem multiset.count_le_count_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a b : α) (s : multiset α) :
theorem multiset.count_cons {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a b : α) (s : multiset α) :
multiset.count a (b ::ₘ s) = multiset.count a s + ite (a = b) 1 0
theorem multiset.count_singleton_self {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :
theorem multiset.count_singleton {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a b : α) :
multiset.count a {b} = ite (a = b) 1 0
@[simp]
theorem multiset.count_add {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (s t : multiset α) :
def multiset.count_add_monoid_hom {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) :

count a, the multiplicity of a in a multiset, promoted to an add_monoid_hom.

Equations
@[simp]
theorem multiset.count_nsmul {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) (n : ) (s : multiset α) :
theorem multiset.count_pos {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.one_le_count_iff_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.count_eq_zero_of_not_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (h : a s) :
@[simp]
theorem multiset.count_eq_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :
theorem multiset.count_ne_zero {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} :