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analysis.convex.between

Betweenness in affine spaces #

This file defines notions of a point in an affine space being between two given points.

Main definitions #

def affine_segment (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
set P

The segment of points weakly between x and y. When convexity is refactored to support abstract affine combination spaces, this will no longer need to be a separate definition from segment. However, lemmas involving +ᵥ or -ᵥ will still be relevant after such a refactoring, as distinct from versions involving + or - in a module.

Equations
theorem affine_segment_eq_segment (R : Type u_1) {V : Type u_2} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] (x y : V) :
theorem affine_segment_comm (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
theorem left_mem_affine_segment (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
theorem right_mem_affine_segment (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
@[simp]
theorem affine_segment_image {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] (f : P →ᵃ[R] P') (x y : P) :
@[simp]
theorem affine_segment_const_vadd_image (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) (v : V) :
@[simp]
theorem affine_segment_vadd_const_image (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : V) (p : P) :
(λ (_x : V), _x +ᵥ p) '' affine_segment R x y = affine_segment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p)
@[simp]
theorem affine_segment_const_vsub_image (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y p : P) :
@[simp]
theorem affine_segment_vsub_const_image (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y p : P) :
(λ (_x : P), _x -ᵥ p) '' affine_segment R x y = affine_segment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p)
@[simp]
theorem mem_const_vadd_affine_segment {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (v : V) :
v +ᵥ z affine_segment R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) z affine_segment R x y
@[simp]
theorem mem_vadd_const_affine_segment {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : V} (p : P) :
z +ᵥ p affine_segment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) z affine_segment R x y
@[simp]
theorem mem_const_vsub_affine_segment {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
p -ᵥ z affine_segment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) z affine_segment R x y
@[simp]
theorem mem_vsub_const_affine_segment {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
z -ᵥ p affine_segment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) z affine_segment R x y
def wbtw (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y z : P) :
Prop

The point y is weakly between x and z.

Equations
def sbtw (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y z : P) :
Prop

The point y is strictly between x and z.

Equations
theorem wbtw.map {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) (f : P →ᵃ[R] P') :
wbtw R (f x) (f y) (f z)
theorem function.injective.wbtw_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] {x y z : P} {f : P →ᵃ[R] P'} (hf : function.injective f) :
wbtw R (f x) (f y) (f z) wbtw R x y z
theorem function.injective.sbtw_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] {x y z : P} {f : P →ᵃ[R] P'} (hf : function.injective f) :
sbtw R (f x) (f y) (f z) sbtw R x y z
@[simp]
theorem affine_equiv.wbtw_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] {x y z : P} (f : P ≃ᵃ[R] P') :
wbtw R (f x) (f y) (f z) wbtw R x y z
@[simp]
theorem affine_equiv.sbtw_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {V' : Type u_3} {P : Type u_4} {P' : Type u_5} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [add_comm_group V'] [module R V'] [add_torsor V' P'] {x y z : P} (f : P ≃ᵃ[R] P') :
sbtw R (f x) (f y) (f z) sbtw R x y z
@[simp]
theorem wbtw_const_vadd_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (v : V) :
wbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) wbtw R x y z
@[simp]
theorem wbtw_vadd_const_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : V} (p : P) :
wbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) wbtw R x y z
@[simp]
theorem wbtw_const_vsub_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
wbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) wbtw R x y z
@[simp]
theorem wbtw_vsub_const_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
wbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) wbtw R x y z
@[simp]
theorem sbtw_const_vadd_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (v : V) :
sbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) sbtw R x y z
@[simp]
theorem sbtw_vadd_const_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : V} (p : P) :
sbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) sbtw R x y z
@[simp]
theorem sbtw_const_vsub_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
sbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) sbtw R x y z
@[simp]
theorem sbtw_vsub_const_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (p : P) :
sbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) sbtw R x y z
theorem sbtw.wbtw {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
wbtw R x y z
theorem sbtw.ne_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
y x
theorem sbtw.left_ne {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
x y
theorem sbtw.ne_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
y z
theorem sbtw.right_ne {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
z y
theorem sbtw.mem_image_Ioo {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
theorem wbtw_comm {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} :
wbtw R x y z wbtw R z y x
theorem wbtw.symm {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} :
wbtw R x y z wbtw R z y x

Alias of the forward direction of wbtw_comm.

theorem sbtw_comm {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} :
sbtw R x y z sbtw R z y x
theorem sbtw.symm {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} :
sbtw R x y z sbtw R z y x

Alias of the forward direction of sbtw_comm.

@[simp]
theorem wbtw_self_left (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
wbtw R x x y
@[simp]
theorem wbtw_self_right (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
wbtw R x y y
@[simp]
theorem wbtw_self_iff (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y : P} :
wbtw R x y x y = x
@[simp]
theorem not_sbtw_self_left (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
¬sbtw R x x y
@[simp]
theorem not_sbtw_self_right (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
¬sbtw R x y y
theorem wbtw.left_ne_right_of_ne_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) (hne : y x) :
x z
theorem wbtw.left_ne_right_of_ne_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) (hne : y z) :
x z
theorem sbtw.left_ne_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
x z
theorem sbtw_iff_mem_image_Ioo_and_ne {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} :
@[simp]
theorem not_sbtw_self (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
¬sbtw R x y x
theorem wbtw_swap_left_iff (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y : P} (z : P) :
wbtw R x y z wbtw R y x z x = y
theorem wbtw_swap_right_iff (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] (x : P) {y z : P} :
wbtw R x y z wbtw R x z y y = z
theorem wbtw_rotate_iff (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] (x : P) {y z : P} :
wbtw R x y z wbtw R z x y x = y
theorem wbtw.swap_left_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
wbtw R y x z x = y
theorem wbtw.swap_right_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
wbtw R x z y y = z
theorem wbtw.rotate_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
wbtw R z x y x = y
theorem sbtw.not_swap_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
¬wbtw R y x z
theorem sbtw.not_swap_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
¬wbtw R x z y
theorem sbtw.not_rotate {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y z : P} (h : sbtw R x y z) :
¬wbtw R z x y
@[simp]
theorem wbtw_line_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y : P} {r : R} :
wbtw R x ((affine_map.line_map x y) r) y x = y r set.Icc 0 1
@[simp]
theorem sbtw_line_map_iff {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {x y : P} {r : R} :
sbtw R x ((affine_map.line_map x y) r) y x y r set.Ioo 0 1
theorem wbtw.trans_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w y z) (h₂ : wbtw R w x y) :
wbtw R w x z
theorem wbtw.trans_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w x z) (h₂ : wbtw R x y z) :
wbtw R w y z
theorem wbtw.trans_sbtw_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w y z) (h₂ : sbtw R w x y) :
sbtw R w x z
theorem wbtw.trans_sbtw_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w x z) (h₂ : sbtw R x y z) :
sbtw R w y z
theorem sbtw.trans_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {w x y z : P} (h₁ : sbtw R w y z) (h₂ : sbtw R w x y) :
sbtw R w x z
theorem sbtw.trans_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [ordered_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] [no_zero_smul_divisors R V] {w x y z : P} (h₁ : sbtw R w x z) (h₂ : sbtw R x y z) :
sbtw R w y z
theorem wbtw.same_ray_vsub {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [strict_ordered_comm_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
same_ray R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
theorem wbtw.same_ray_vsub_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [strict_ordered_comm_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
same_ray R (y -ᵥ x) (z -ᵥ x)
theorem wbtw.same_ray_vsub_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [strict_ordered_comm_ring R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
same_ray R (z -ᵥ x) (z -ᵥ y)
theorem wbtw_smul_vadd_smul_vadd_of_nonneg_of_le {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : 0 r₁) (hr₂ : r₁ r₂) :
wbtw R x (r₁ v +ᵥ x) (r₂ v +ᵥ x)
theorem wbtw_or_wbtw_smul_vadd_of_nonneg {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : 0 r₁) (hr₂ : 0 r₂) :
wbtw R x (r₁ v +ᵥ x) (r₂ v +ᵥ x) wbtw R x (r₂ v +ᵥ x) (r₁ v +ᵥ x)
theorem wbtw_smul_vadd_smul_vadd_of_nonpos_of_le {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : r₁ 0) (hr₂ : r₂ r₁) :
wbtw R x (r₁ v +ᵥ x) (r₂ v +ᵥ x)
theorem wbtw_or_wbtw_smul_vadd_of_nonpos {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : r₁ 0) (hr₂ : r₂ 0) :
wbtw R x (r₁ v +ᵥ x) (r₂ v +ᵥ x) wbtw R x (r₂ v +ᵥ x) (r₁ v +ᵥ x)
theorem wbtw_smul_vadd_smul_vadd_of_nonpos_of_nonneg {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : r₁ 0) (hr₂ : 0 r₂) :
wbtw R (r₁ v +ᵥ x) x (r₂ v +ᵥ x)
theorem wbtw_smul_vadd_smul_vadd_of_nonneg_of_nonpos {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x : P) (v : V) {r₁ r₂ : R} (hr₁ : 0 r₁) (hr₂ : r₂ 0) :
wbtw R (r₁ v +ᵥ x) x (r₂ v +ᵥ x)
theorem wbtw.trans_left_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w y z) (h₂ : wbtw R w x y) :
wbtw R x y z
theorem wbtw.trans_right_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : wbtw R w x z) (h₂ : wbtw R x y z) :
wbtw R w x y
theorem sbtw.trans_left_right {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : sbtw R w y z) (h₂ : sbtw R w x y) :
sbtw R x y z
theorem sbtw.trans_right_left {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {w x y z : P} (h₁ : sbtw R w x z) (h₂ : sbtw R x y z) :
sbtw R w x y
theorem wbtw.collinear {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : wbtw R x y z) :
collinear R {x, y, z}
theorem collinear.wbtw_or_wbtw_or_wbtw {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} (h : collinear R {x, y, z}) :
wbtw R x y z wbtw R y z x wbtw R z x y
theorem wbtw_iff_same_ray_vsub {R : Type u_1} {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y z : P} :
wbtw R x y z same_ray R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
theorem wbtw_point_reflection (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
theorem sbtw_point_reflection_of_ne (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y : P} (h : x y) :
theorem wbtw_midpoint (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] (x y : P) :
wbtw R x (midpoint R x y) y
theorem sbtw_midpoint_of_ne (R : Type u_1) {V : Type u_2} {P : Type u_4} [linear_ordered_field R] [add_comm_group V] [module R V] [add_torsor V P] {x y : P} (h : x y) :
sbtw R x (midpoint R x y) y