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data.seq.computation

def computation (α : Type u) :
Type u

computation α is the type of unbounded computations returning α. An element of computation α is an infinite sequence of option α such that if f n = some a for some n then it is constantly some a after that.

Equations
def computation.return {α : Type u} (a : α) :

return a is the computation that immediately terminates with result a.

Equations
@[instance]
def computation.has_coe_t {α : Type u} :
Equations
def computation.think {α : Type u} (c : computation α) :

think c is the computation that delays for one "tick" and then performs computation c.

Equations
def computation.thinkN {α : Type u} (c : computation α) :

thinkN c n is the computation that delays for n ticks and then performs computation c.

Equations
def computation.head {α : Type u} (c : computation α) :

head c is the first step of computation, either some a if c = return a or none if c = think c'.

Equations
def computation.tail {α : Type u} (c : computation α) :

tail c is the remainder of computation, either c if c = return a or c' if c = think c'.

Equations
def computation.empty (α : Type u_1) :

empty α is the computation that never returns, an infinite sequence of thinks.

Equations
@[instance]
def computation.inhabited {α : Type u} :
Equations
def computation.run_for {α : Type u} :
computation αoption α

run_for c n evaluates c for n steps and returns the result, or none if it did not terminate after n steps.

Equations
def computation.destruct {α : Type u} (c : computation α) :

destruct c is the destructor for computation α as a coinductive type. It returns inl a if c = return a and inr c' if c = think c'.

Equations
meta def computation.run {α : Type u} :
computation α → α

run c is an unsound meta function that runs c to completion, possibly resulting in an infinite loop in the VM.

theorem computation.destruct_eq_ret {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
theorem computation.destruct_eq_think {α : Type u} {s s' : computation α} :
s.destruct = sum.inr s's = s'.think
@[simp]
theorem computation.destruct_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.destruct_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.head_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.head_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.head_empty {α : Type u} :
@[simp]
theorem computation.tail_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.tail_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
def computation.cases_on {α : Type u} {C : computation αSort v} (s : computation α) (h1 : Π (a : α), C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C s.think) :
C s
Equations
def computation.corec.F {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) :
α βoption α × β)
Equations
def computation.corec {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) (b : β) :

corec f b is the corecursor for computation α as a coinductive type. If f b = inl a then corec f b = return a, and if f b = inl b' then corec f b = think (corec f b').

Equations
@[simp]
def computation.lmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) :
α γβ γ

left map of

Equations
@[simp]
def computation.rmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : β → γ) :
α βα γ

right map of

Equations
@[simp]
theorem computation.corec_eq {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) (b : β) :
@[simp]
def computation.bisim_o {α : Type u} (R : computation αcomputation α → Prop) :
α computation αα computation α → Prop
Equations
def computation.is_bisimulation {α : Type u} (R : computation αcomputation α → Prop) :
Prop
Equations
theorem computation.eq_of_bisim {α : Type u} (R : computation αcomputation α → Prop) (bisim : computation.is_bisimulation R) {s₁ s₂ : computation α} (r : R s₁ s₂) :
s₁ = s₂
def computation.mem {α : Type u} (a : α) (s : computation α) :
Prop
Equations
@[instance]
def computation.has_mem {α : Type u} :
Equations
theorem computation.le_stable {α : Type u} (s : computation α) {a : α} {m n : } (h : m n) :
s.val m = some as.val n = some a
theorem computation.mem_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} :
a sb sa = b
@[class]
structure computation.terminates {α : Type u} (s : computation α) :
Prop
  • term : ∃ (a : α), a s

terminates s asserts that the computation s eventually terminates with some value.

Instances
theorem computation.terminates_iff {α : Type u} (s : computation α) :
s.terminates ∃ (a : α), a s
theorem computation.terminates_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
theorem computation.terminates_def {α : Type u} (s : computation α) :
s.terminates ∃ (n : ), ((s.val n).is_some)
theorem computation.ret_mem {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.eq_of_ret_mem {α : Type u} {a a' : α} (h : a' computation.return a) :
a' = a
@[instance]
def computation.ret_terminates {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a sa s.think
@[instance]
theorem computation.of_think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a s.thinka s
theorem computation.of_think_terminates {α : Type u} {s : computation α} :
theorem computation.not_mem_empty {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.thinkN_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (n : ) :
a s.thinkN n a s
@[instance]
def computation.thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) [s.terminates] (n : ) :
theorem computation.of_thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) (n : ) :
def computation.promises {α : Type u} (s : computation α) (a : α) :
Prop

promises s a, or s ~> a, asserts that although the computation s may not terminate, if it does, then the result is a.

Equations
  • s ~> a = ∀ ⦃a' : α⦄, a' sa = a'
theorem computation.mem_promises {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a ss ~> a
theorem computation.empty_promises {α : Type u} (a : α) :
def computation.length {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :

length s gets the number of steps of a terminating computation

Equations
def computation.get {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
α

get s returns the result of a terminating computation

Equations
theorem computation.get_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s.get s
theorem computation.get_eq_of_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
a ss.get = a
theorem computation.mem_of_get_eq {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
s.get = aa s
@[simp]
theorem computation.get_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
@[simp]
theorem computation.get_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ) :
(s.thinkN n).get = s.get
theorem computation.get_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s ~> s.get
theorem computation.mem_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (p : s ~> a) :
a s
theorem computation.get_eq_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
s ~> as.get = a
def computation.results {α : Type u} (s : computation α) (a : α) (n : ) :
Prop

results s a n completely characterizes a terminating computation: it asserts that s terminates after exactly n steps, with result a.

Equations
theorem computation.results_of_terminates {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] :
theorem computation.results_of_terminates' {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] {a : α} (h : a s) :
theorem computation.results.mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } :
s.results a na s
theorem computation.results.terminates {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
theorem computation.results.length {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } [T : s.terminates] :
s.results a ns.length = n
theorem computation.results.val_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
a = b
theorem computation.results.len_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
m = n
theorem computation.exists_results_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
∃ (n : ), s.results a n
@[simp]
theorem computation.get_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.length_ret {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.results_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.length_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
theorem computation.results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
s.think.results a (n + 1)
theorem computation.of_results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.think.results a n) :
∃ (m : ), s.results a m n = m + 1
@[simp]
theorem computation.results_think_iff {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } :
s.think.results a (n + 1) s.results a n
theorem computation.results_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {m : } (n : ) :
s.results a m(s.thinkN n).results a (m + n)
theorem computation.results_thinkN_ret {α : Type u} (a : α) (n : ) :
@[simp]
theorem computation.length_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ) :
(s.thinkN n).length = s.length + n
theorem computation.eq_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
theorem computation.eq_thinkN' {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
def computation.mem_rec_on {α : Type u} {C : computation αSort v} {a : α} {s : computation α} (M : a s) (h1 : C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C sC s.think) :
C s
Equations
def computation.terminates_rec_on {α : Type u} {C : computation αSort v} (s : computation α) [s.terminates] (h1 : Π (a : α), C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C sC s.think) :
C s
Equations
def computation.map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :

Map a function on the result of a computation.

Equations
def computation.bind.G {α : Type u} {β : Type v} :
Equations
def computation.bind.F {α : Type u} {β : Type v} (f : α → computation β) :
Equations
def computation.bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → computation β) :

Compose two computations into a monadic bind operation.

Equations
theorem computation.has_bind_eq_bind {α β : Type u} (c : computation α) (f : α → computation β) :
c >>= f = c.bind f
def computation.join {α : Type u} (c : computation (computation α)) :

Flatten a computation of computations into a single computation.

Equations
@[simp]
theorem computation.map_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (a : α) :
@[simp]
theorem computation.map_think {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.destruct_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.map_id {α : Type u} (s : computation α) :
theorem computation.map_comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (g : β → γ) (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.ret_bind {α : Type u} {β : Type v} (a : α) (f : α → computation β) :
@[simp]
theorem computation.think_bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → computation β) :
c.think.bind f = (c.bind f).think
@[simp]
theorem computation.bind_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.bind_ret' {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.bind_assoc {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (s : computation α) (f : α → computation β) (g : β → computation γ) :
(s.bind f).bind g = s.bind (λ (x : α), (f x).bind g)
theorem computation.results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : (f a).results b n) :
(s.bind f).results b (n + m)
theorem computation.mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} (h1 : a s) (h2 : b f a) :
b s.bind f
@[instance]
def computation.terminates_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
@[simp]
theorem computation.get_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
(s.bind f).get = (f s.get).get
@[simp]
theorem computation.length_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [T1 : s.terminates] [T2 : (f s.get).terminates] :
(s.bind f).length = (f s.get).length + s.length
theorem computation.of_results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {b : β} {k : } :
(s.bind f).results b k(∃ (a : α) (m n : ), s.results a m (f a).results b n k = n + m)
theorem computation.exists_of_mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {b : β} (h : b s.bind f) :
∃ (a : α) (H : a s), b f a
theorem computation.bind_promises {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} (h1 : s ~> a) (h2 : f a ~> b) :
s.bind f ~> b
theorem computation.has_map_eq_map {α β : Type u} (f : α → β) (c : computation α) :
@[simp]
theorem computation.return_def {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.map_ret' {α β : Type u_1} (f : α → β) (a : α) :
@[simp]
theorem computation.map_think' {α β : Type u_1} (f : α → β) (s : computation α) :
f <$> s.think = (f <$> s).think
theorem computation.mem_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) {a : α} {s : computation α} (m : a s) :
theorem computation.exists_of_mem_map {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {b : β} {s : computation α} (h : b computation.map f s) :
∃ (a : α), a s f a = b
@[instance]
def computation.terminates_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) [s.terminates] :
theorem computation.terminates_map_iff {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
def computation.orelse {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :

c₁ <|> c₂ calculates c₁ and c₂ simultaneously, returning the first one that gives a result.

Equations
@[simp]
theorem computation.ret_orelse {α : Type u} (a : α) (c₂ : computation α) :
@[simp]
theorem computation.orelse_ret {α : Type u} (c₁ : computation α) (a : α) :
@[simp]
theorem computation.orelse_think {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
(c₁.think <|> c₂.think) = (c₁ <|> c₂).think
@[simp]
theorem computation.empty_orelse {α : Type u} (c : computation α) :
@[simp]
theorem computation.orelse_empty {α : Type u} (c : computation α) :
def computation.equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
Prop

c₁ ~ c₂ asserts that c₁ and c₂ either both terminate with the same result, or both loop forever.

Equations
  • c₁ ~ c₂ = ∀ (a : α), a c₁ a c₂
theorem computation.equiv.refl {α : Type u} (s : computation α) :
s ~ s
theorem computation.equiv.symm {α : Type u} {s t : computation α} :
s ~ tt ~ s
theorem computation.equiv.trans {α : Type u} {s t u : computation α} :
s ~ tt ~ us ~ u
theorem computation.equiv_of_mem {α : Type u} {s t : computation α} {a : α} (h1 : a s) (h2 : a t) :
s ~ t
theorem computation.terminates_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) :
theorem computation.promises_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) (a : α) :
c₁ ~> a c₂ ~> a
theorem computation.get_equiv {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) [c₁.terminates] [c₂.terminates] :
c₁.get = c₂.get
theorem computation.think_equiv {α : Type u} (s : computation α) :
s.think ~ s
theorem computation.thinkN_equiv {α : Type u} (s : computation α) (n : ) :
s.thinkN n ~ s
theorem computation.bind_congr {α : Type u} {β : Type v} {s1 s2 : computation α} {f1 f2 : α → computation β} (h1 : s1 ~ s2) (h2 : ∀ (a : α), f1 a ~ f2 a) :
s1.bind f1 ~ s2.bind f2
theorem computation.equiv_ret_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
def computation.lift_rel {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
Prop

lift_rel R ca cb is a generalization of equiv to relations other than equality. It asserts that if ca terminates with a, then cb terminates with some b such that R a b, and if cb terminates with b then ca terminates with some a such that R a b.

Equations
theorem computation.lift_rel.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
theorem computation.lift_eq_iff_equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
computation.lift_rel eq c₁ c₂ c₁ ~ c₂
theorem computation.lift_rel.refl {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : reflexive R) :
theorem computation.lift_rel.symm {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : symmetric R) :
theorem computation.lift_rel.trans {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : transitive R) :
theorem computation.lift_rel.equiv {α : Type u} (R : α → α → Prop) :
theorem computation.lift_rel.imp {α : Type u} {β : Type v} {R S : α → β → Prop} (H : ∀ {a : α} {b : β}, R a bS a b) (s : computation α) (t : computation β) :
theorem computation.terminates_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {s : computation α} {t : computation β} :
theorem computation.rel_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} :
computation.lift_rel R ca cb∀ {a : α} {b : β}, a cab cbR a b
theorem computation.lift_rel_of_mem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {a : α} {b : β} {ca : computation α} {cb : computation β} (ma : a ca) (mb : b cb) (ab : R a b) :
theorem computation.exists_of_lift_rel_left {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : computation.lift_rel R ca cb) {a : α} (h : a ca) :
∃ {b : β}, b cb R a b
theorem computation.exists_of_lift_rel_right {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : computation.lift_rel R ca cb) {b : β} (h : b cb) :
∃ {a : α}, a ca R a b
theorem computation.lift_rel_def {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} :
computation.lift_rel R ca cb (ca.terminates cb.terminates) ∀ {a : α} {b : β}, a cab cbR a b
theorem computation.lift_rel_bind {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → computation γ} {f2 : β → computation δ} (h1 : computation.lift_rel R s1 s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a bcomputation.lift_rel S (f1 a) (f2 b)) :
computation.lift_rel S (s1.bind f1) (s2.bind f2)
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel R (computation.return a) cb ∃ {b : β}, b cb R a b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (b : β) :
computation.lift_rel R ca (computation.return b) ∃ {a : α}, a ca R a b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (b : β) :
@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
theorem computation.lift_rel_mem_cases {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (Ha : ∀ (a : α), a cacomputation.lift_rel R ca cb) (Hb : ∀ (b : β), b cbcomputation.lift_rel R ca cb) :
theorem computation.lift_rel_congr {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca ca' : computation α} {cb cb' : computation β} (ha : ca ~ ca') (hb : cb ~ cb') :
theorem computation.lift_rel_map {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → γ} {f2 : β → δ} (h1 : computation.lift_rel R s1 s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a bS (f1 a) (f2 b)) :
theorem computation.map_congr {α : Type u} {β : Type v} (R : α → α → Prop) (S : β → β → Prop) {s1 s2 : computation α} {f : α → β} (h1 : s1 ~ s2) :
@[simp]
def computation.lift_rel_aux {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation αcomputation β → Prop) :
α computation αβ computation β → Prop
Equations
@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation αcomputation β → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel_aux R C (sum.inl a) cb.destruct ∃ {b : β}, b cb R a b
theorem computation.lift_rel_aux.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation αcomputation β → Prop) (a : α computation α) (b : β computation β) :
@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation αcomputation β → Prop) (b : β) (ca : computation α) :
computation.lift_rel_aux R C ca.destruct (sum.inl b) ∃ {a : α}, a ca R a b
theorem computation.lift_rel_rec.lem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : computation αcomputation β → Prop) (H : ∀ {ca : computation α} {cb : computation β}, C ca cbcomputation.lift_rel_aux R C ca.destruct cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) (a : α) (ha : a ca) :
theorem computation.lift_rel_rec {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : computation αcomputation β → Prop) (H : ∀ {ca : computation α} {cb : computation β}, C ca cbcomputation.lift_rel_aux R C ca.destruct cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) :