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data.multiset.nodup

The nodup predicate for multisets without duplicate elements. #

def multiset.nodup {α : Type u_1} (s : multiset α) :
Prop

nodup s means that s has no duplicates, i.e. the multiplicity of any element is at most 1.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_nodup {α : Type u_1} {l : list α} :
@[simp]
theorem multiset.nodup_zero {α : Type u_1} :
@[simp]
theorem multiset.nodup_cons {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} :
(a ::ₘ s).nodup a s s.nodup
theorem multiset.nodup_cons_of_nodup {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} (m : a s) (n : s.nodup) :
(a ::ₘ s).nodup
theorem multiset.nodup_singleton {α : Type u_1} (a : α) :
{a}.nodup
theorem multiset.nodup_of_nodup_cons {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} (h : (a ::ₘ s).nodup) :
theorem multiset.not_mem_of_nodup_cons {α : Type u_1} {a : α} {s : multiset α} (h : (a ::ₘ s).nodup) :
a s
theorem multiset.nodup_of_le {α : Type u_1} {s t : multiset α} (h : s t) :
t.nodup → s.nodup
theorem multiset.not_nodup_pair {α : Type u_1} (a : α) :
theorem multiset.nodup_iff_le {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s.nodup ∀ (a : α), ¬a ::ₘ a ::ₘ 0 s
theorem multiset.nodup_iff_ne_cons_cons {α : Type u_1} {s : multiset α} :
s.nodup ∀ (a : α) (t : multiset α), s a ::ₘ a ::ₘ t
theorem multiset.nodup_iff_count_le_one {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s : multiset α} :
s.nodup ∀ (a : α), multiset.count a s 1
@[simp]
theorem multiset.count_eq_one_of_mem {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s : multiset α} (d : s.nodup) (h : a s) :
theorem multiset.nodup_iff_pairwise {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.pairwise_of_nodup {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {s : multiset α} :
(∀ (a : α), a s∀ (b : α), b sa br a b)s.nodupmultiset.pairwise r s
theorem multiset.forall_of_pairwise {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} (H : symmetric r) {s : multiset α} (hs : multiset.pairwise r s) (a : α) (H_1 : a s) (b : α) (H_2 : b s) :
a br a b
theorem multiset.nodup_add {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
theorem multiset.disjoint_of_nodup_add {α : Type u_1} {s t : multiset α} (d : (s + t).nodup) :
theorem multiset.nodup_add_of_nodup {α : Type u_1} {s t : multiset α} (d₁ : s.nodup) (d₂ : t.nodup) :
(s + t).nodup s.disjoint t
theorem multiset.nodup_of_nodup_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) {s : multiset α} :
theorem multiset.nodup_map_on {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : multiset α} :
(∀ (x : α), x s∀ (y : α), y sf x = f yx = y)s.nodup(multiset.map f s).nodup
theorem multiset.nodup_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : multiset α} (hf : function.injective f) :
theorem multiset.inj_on_of_nodup_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : multiset α} :
(multiset.map f s).nodup∀ (x : α), x s∀ (y : α), y sf x = f yx = y
theorem multiset.nodup_map_iff_inj_on {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {s : multiset α} (d : s.nodup) :
(multiset.map f s).nodup ∀ (x : α), x s∀ (y : α), y sf x = f yx = y
theorem multiset.nodup_filter {α : Type u_1} (p : α → Prop) [decidable_pred p] {s : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.nodup_attach {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.nodup_pmap {α : Type u_1} {β : Type u_2} {p : α → Prop} {f : Π (a : α), p a → β} {s : multiset α} {H : ∀ (a : α), a sp a} (hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hba = b) :
s.nodup(multiset.pmap f s H).nodup
@[instance]
def multiset.nodup_decidable {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) :
Equations
theorem multiset.nodup_erase_eq_filter {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) {s : multiset α} :
s.nodups.erase a = multiset.filter (λ (_x : α), _x a) s
theorem multiset.nodup_erase_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] (a : α) {l : multiset α} :
l.nodup(l.erase a).nodup
theorem multiset.mem_erase_iff_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a b : α} {l : multiset α} (d : l.nodup) :
a l.erase b a b a l
theorem multiset.mem_erase_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {l : multiset α} (h : l.nodup) :
a l.erase a
theorem multiset.nodup_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {t : multiset β} :
s.nodupt.nodup(s.product t).nodup
theorem multiset.nodup_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_2} {s : multiset α} {t : Π (a : α), multiset (σ a)} :
s.nodup(∀ (a : α), (t a).nodup)(s.sigma t).nodup
theorem multiset.nodup_filter_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → option β) {s : multiset α} (H : ∀ (a a' : α) (b : β), b f ab f a'a = a') :
theorem multiset.nodup_inter_left {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s : multiset α} (t : multiset α) :
s.nodup(s t).nodup
theorem multiset.nodup_inter_right {α : Type u_1} [decidable_eq α] (s : multiset α) {t : multiset α} :
t.nodup(s t).nodup
@[simp]
theorem multiset.nodup_union {α : Type u_1} [decidable_eq α] {s t : multiset α} :
@[simp]
theorem multiset.nodup_powerset {α : Type u_1} {s : multiset α} :
theorem multiset.nodup_powerset_len {α : Type u_1} {n : } {s : multiset α} (h : s.nodup) :
@[simp]
theorem multiset.nodup_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {t : α → multiset β} :
(s.bind t).nodup (∀ (a : α), a s(t a).nodup) multiset.pairwise (λ (a b : α), (t a).disjoint (t b)) s
theorem multiset.nodup_ext {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s.nodupt.nodup(s = t ∀ (a : α), a s a t)
theorem multiset.le_iff_subset {α : Type u_1} {s t : multiset α} :
s.nodup(s t s t)
theorem multiset.mem_sub_of_nodup {α : Type u_1} [decidable_eq α] {a : α} {s t : multiset α} (d : s.nodup) :
a s - t a s a t
theorem multiset.map_eq_map_of_bij_of_nodup {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α → γ) (g : β → γ) {s : multiset α} {t : multiset β} (hs : s.nodup) (ht : t.nodup) (i : Π (a : α), a s → β) (hi : ∀ (a : α) (ha : a s), i a ha t) (h : ∀ (a : α) (ha : a s), f a = g (i a ha)) (i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ s) (ha₂ : a₂ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂a₁ = a₂) (i_surj : ∀ (b : β), b t(∃ (a : α) (ha : a s), b = i a ha)) :