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data.set.function

Functions over sets

Main definitions

Predicate

Functions

Restrict

def set.restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
s → β

Restrict domain of a function f to a set s. Same as subtype.restrict but this version takes an argument ↥s instead of subtype s.

Equations
theorem set.restrict_eq {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

@[simp]
theorem set.restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (x : s) :
set.restrict f s x = f x

@[simp]
theorem set.range_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

def set.cod_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set β) :
(∀ (x : α), f x s)α → s

Restrict codomain of a function f to a set s. Same as subtype.coind but this version has codomain ↥s instead of subtype s.

Equations
@[simp]
theorem set.coe_cod_restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set β) (h : ∀ (x : α), f x s) (x : α) :
(set.cod_restrict f s h x) = f x

Equality on a set

def set.eq_on {α : Type u} {β : Type v} :
(α → β)(α → β)set α → Prop

Two functions f₁ f₂ : α → β are equal on s if f₁ x = f₂ x for all x ∈ a.

Equations
  • set.eq_on f₁ f₂ s = ∀ ⦃x : α⦄, x sf₁ x = f₂ x
theorem set.eq_on.symm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ sset.eq_on f₂ f₁ s

theorem set.eq_on_comm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s set.eq_on f₂ f₁ s

theorem set.eq_on_refl {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
set.eq_on f f s

theorem set.eq_on.trans {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ f₃ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ sset.eq_on f₂ f₃ sset.eq_on f₁ f₃ s

theorem set.eq_on.image_eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ sf₁ '' s = f₂ '' s

theorem set.eq_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
s₁ s₂set.eq_on f₁ f₂ s₂set.eq_on f₁ f₂ s₁

theorem set.comp_eq_of_eq_on_range {α : Type u} {β : Type v} {ι : Sort u_1} {f : ι → α} {g₁ g₂ : α → β} :
set.eq_on g₁ g₂ (set.range f)g₁ f = g₂ f

maps to

def set.maps_to {α : Type u} {β : Type v} :
(α → β)set αset β → Prop

maps_to f a b means that the image of a is contained in b.

Equations
def set.maps_to.restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (t : set β) :
set.maps_to f s ts → t

Given a map f sending s : set α into t : set β, restrict domain of f to s and the codomain to t. Same as subtype.map.

Equations
@[simp]
theorem set.maps_to.coe_restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) (x : s) :

theorem set.maps_to_iff_exists_map_subtype {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s t ∃ (g : s → t), ∀ (x : s), f x = (g x)

theorem set.maps_to' {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s t f '' s t

theorem set.maps_to_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (t : set β) :

theorem set.maps_to.image_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s tf '' s t

theorem set.maps_to.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.maps_to f₁ s tset.eq_on f₁ f₂ sset.maps_to f₂ s t

theorem set.eq_on.maps_to_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s(set.maps_to f₁ s t set.maps_to f₂ s t)

theorem set.maps_to.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} :
set.maps_to g t pset.maps_to f s tset.maps_to (g f) s p

theorem set.maps_to.iterate {α : Type u} {f : α → α} {s : set α} (h : set.maps_to f s s) (n : ) :

theorem set.maps_to.iterate_restrict {α : Type u} {f : α → α} {s : set α} (h : set.maps_to f s s) (n : ) :

theorem set.maps_to.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
s₂ s₁t₁ t₂set.maps_to f s₁ t₁set.maps_to f s₂ t₂

theorem set.maps_to.union_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s₁ t₁set.maps_to f s₂ t₂set.maps_to f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

theorem set.maps_to.union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s₁ tset.maps_to f s₂ tset.maps_to f (s₁ s₂) t

@[simp]
theorem set.maps_to_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f (s₁ s₂) t set.maps_to f s₁ t set.maps_to f s₂ t

theorem set.maps_to.inter {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s t₁set.maps_to f s t₂set.maps_to f s (t₁ t₂)

theorem set.maps_to.inter_inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s₁ t₁set.maps_to f s₂ t₂set.maps_to f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

@[simp]
theorem set.maps_to_inter {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s (t₁ t₂) set.maps_to f s t₁ set.maps_to f s t₂

theorem set.maps_to_univ {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

theorem set.maps_to_image {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
set.maps_to f s (f '' s)

theorem set.maps_to_preimage {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (t : set β) :

theorem set.maps_to_range {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

theorem set.surjective_maps_to_image_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

theorem set.maps_to.mem_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) (hc : set.maps_to f s t) {x : α} :
f x t x s

Injectivity on a set

def set.inj_on {α : Type u} {β : Type v} :
(α → β)set α → Prop

f is injective on a if the restriction of f to a is injective.

Equations
  • set.inj_on f s = ∀ ⦃x₁ : α⦄, x₁ s∀ ⦃x₂ : α⦄, x₂ sf x₁ = f x₂x₁ = x₂
theorem set.inj_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :

theorem set.inj_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.inj_on f₁ sset.eq_on f₁ f₂ sset.inj_on f₂ s

theorem set.eq_on.inj_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s(set.inj_on f₁ s set.inj_on f₂ s)

theorem set.inj_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f : α → β} :
s₁ s₂set.inj_on f s₂set.inj_on f s₁

theorem set.inj_on_insert {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {s : set α} {a : α} :
a s(set.inj_on f (insert a s) set.inj_on f s f a f '' s)

theorem set.injective_iff_inj_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :

theorem set.inj_on_of_injective {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (h : function.injective f) (s : set α) :

theorem set.inj_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {g : β → γ} :
set.inj_on g tset.inj_on f sset.maps_to f s tset.inj_on (g f) s

theorem set.inj_on_iff_injective {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} :

theorem set.inj_on.inv_fun_on_image {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f : α → β} [nonempty α] :
set.inj_on f s₂s₁ s₂function.inv_fun_on f s₂ '' (f '' s₁) = s₁

theorem set.inj_on_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {B : set (set β)} :

Surjectivity on a set

def set.surj_on {α : Type u} {β : Type v} :
(α → β)set αset β → Prop

f is surjective from a to b if b is contained in the image of a.

Equations
theorem set.surj_on.subset_range {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s tt set.range f

theorem set.surj_on_iff_exists_map_subtype {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s t ∃ (t' : set β) (g : s → t'), t t' function.surjective g ∀ (x : s), f x = (g x)

theorem set.surj_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :

theorem set.surj_on.comap_nonempty {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s tt.nonempty → s.nonempty

theorem set.surj_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.surj_on f₁ s tset.eq_on f₁ f₂ sset.surj_on f₂ s t

theorem set.eq_on.surj_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s(set.surj_on f₁ s t set.surj_on f₂ s t)

theorem set.surj_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
s₁ s₂t₁ t₂set.surj_on f s₁ t₂set.surj_on f s₂ t₁

theorem set.surj_on.union {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s t₁set.surj_on f s t₂set.surj_on f s (t₁ t₂)

theorem set.surj_on.union_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s₁ t₁set.surj_on f s₂ t₂set.surj_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

theorem set.surj_on.inter_inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s₁ t₁set.surj_on f s₂ t₂set.inj_on f (s₁ s₂)set.surj_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

theorem set.surj_on.inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s₁ tset.surj_on f s₂ tset.inj_on f (s₁ s₂)set.surj_on f (s₁ s₂) t

theorem set.surj_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} :
set.surj_on g t pset.surj_on f s tset.surj_on (g f) s p

theorem set.surjective_iff_surj_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :

theorem set.surj_on_iff_surjective {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} :

theorem set.surj_on.image_eq_of_maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s tset.maps_to f s tf '' s = t

theorem set.surj_on.maps_to_compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :

theorem set.maps_to.surj_on_compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :

Bijectivity

def set.bij_on {α : Type u} {β : Type v} :
(α → β)set αset β → Prop

f is bijective from s to t if f is injective on s and f '' s = t.

Equations
theorem set.bij_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s tset.maps_to f s t

theorem set.bij_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s tset.inj_on f s

theorem set.bij_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s tset.surj_on f s t

theorem set.bij_on.mk {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s tset.inj_on f sset.surj_on f s tset.bij_on f s t

theorem set.bij_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :

theorem set.bij_on.inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s₁ t₁set.bij_on f s₂ t₂set.inj_on f (s₁ s₂)set.bij_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

theorem set.bij_on.union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s₁ t₁set.bij_on f s₂ t₂set.inj_on f (s₁ s₂)set.bij_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)

theorem set.bij_on.subset_range {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s tt set.range f

theorem set.inj_on.bij_on_image {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} :
set.inj_on f sset.bij_on f s (f '' s)

theorem set.bij_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.bij_on f₁ s tset.eq_on f₁ f₂ sset.bij_on f₂ s t

theorem set.eq_on.bij_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s(set.bij_on f₁ s t set.bij_on f₂ s t)

theorem set.bij_on.image_eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.bij_on f s tf '' s = t

theorem set.bij_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} :
set.bij_on g t pset.bij_on f s tset.bij_on (g f) s p

theorem set.bijective_iff_bij_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :

theorem set.bij_on.compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :

left inverse

def set.left_inv_on {α : Type u} {β : Type v} :
(β → α)(α → β)set α → Prop

g is a left inverse to f on a means that g (f x) = x for all x ∈ a.

Equations
theorem set.left_inv_on.eq_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.left_inv_on f' f sset.eq_on (f' f) id s

theorem set.left_inv_on.eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) {x : α} :
x sf' (f x) = x

theorem set.left_inv_on.congr_left {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} (h₁ : set.left_inv_on f₁' f s) {t : set β} :
set.maps_to f s tset.eq_on f₁' f₂' tset.left_inv_on f₂' f s

theorem set.left_inv_on.congr_right {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} {f₁' : β → α} :
set.left_inv_on f₁' f₁ sset.eq_on f₁ f₂ sset.left_inv_on f₁' f₂ s

theorem set.left_inv_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f₁' : β → α} :
set.left_inv_on f₁' f sset.inj_on f s

theorem set.left_inv_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.left_inv_on f' f sset.maps_to f s tset.surj_on f' t s

theorem set.left_inv_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.left_inv_on f' f sset.surj_on f s tset.maps_to f' t s

theorem set.left_inv_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {g : β → γ} {f' : β → α} {g' : γ → β} :
set.left_inv_on f' f sset.left_inv_on g' g tset.maps_to f s tset.left_inv_on (f' g') (g f) s

theorem set.left_inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.left_inv_on f' f ss₁ sset.left_inv_on f' f s₁

Right inverse

def set.right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} :
(β → α)(α → β)set β → Prop

g is a right inverse to f on b if f (g x) = x for all x ∈ b.

Equations
theorem set.right_inv_on.eq_on {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.right_inv_on f' f tset.eq_on (f f') id t

theorem set.right_inv_on.eq {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.right_inv_on f' f t) {y : β} :
y tf (f' y) = y

theorem set.right_inv_on.congr_left {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} :
set.right_inv_on f₁' f tset.eq_on f₁' f₂' tset.right_inv_on f₂' f t

theorem set.right_inv_on.congr_right {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} {f' : β → α} :
set.right_inv_on f' f₁ tset.maps_to f' t sset.eq_on f₁ f₂ sset.right_inv_on f' f₂ t

theorem set.right_inv_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.right_inv_on f' f tset.maps_to f' t sset.surj_on f s t

theorem set.right_inv_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.right_inv_on f' f tset.surj_on f' t sset.maps_to f s t

theorem set.right_inv_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} {f' : β → α} {g' : γ → β} :
set.right_inv_on f' f tset.right_inv_on g' g pset.maps_to g' p tset.right_inv_on (f' g') (g f) p

theorem set.right_inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {t t₁ : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.right_inv_on f' f tt₁ tset.right_inv_on f' f t₁

theorem set.inj_on.right_inv_on_of_left_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.inj_on f sset.left_inv_on f f' tset.maps_to f s tset.maps_to f' t sset.right_inv_on f f' s

theorem set.eq_on_of_left_inv_on_of_right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} :
set.left_inv_on f₁' f sset.right_inv_on f₂' f tset.maps_to f₂' t sset.eq_on f₁' f₂' t

theorem set.surj_on.left_inv_on_of_right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.surj_on f s tset.right_inv_on f f' sset.left_inv_on f f' t

Two-side inverses

def set.inv_on {α : Type u} {β : Type v} :
(β → α)(α → β)set αset β → Prop

g is an inverse to f viewed as a map from a to b

Equations
theorem set.inv_on.symm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.inv_on f' f s tset.inv_on f f' t s

theorem set.inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {t t₁ : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.inv_on f' f s ts₁ st₁ tset.inv_on f' f s₁ t₁

theorem set.inv_on.bij_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} :
set.inv_on f' f s tset.maps_to f s tset.maps_to f' t sset.bij_on f s t

If functions f' and f are inverse on s and t, f maps s into t, and f' maps t into s, then f is a bijection between s and t. The maps_to arguments can be deduced from surj_on statements using left_inv_on.maps_to and right_inv_on.maps_to.

inv_fun_on is a left/right inverse

theorem set.inj_on.left_inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.surj_on.right_inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.bij_on.inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.surj_on.inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.surj_on.maps_to_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.surj_on.bij_on_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] :

theorem set.surj_on_iff_exists_bij_on_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s t ∃ (s' : set α) (H : s' s), set.bij_on f s' t

Piecewise defined function

@[simp]
theorem set.piecewise_empty {α : Type u} {δ : α → Sort y} (f g : Π (i : α), δ i) [Π (i : α), decidable (i )] :

@[simp]
theorem set.piecewise_univ {α : Type u} {δ : α → Sort y} (f g : Π (i : α), δ i) [Π (i : α), decidable (i set.univ)] :

@[simp]
theorem set.piecewise_insert_self {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) {j : α} [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g j = f j

@[instance]
def set.compl.decidable_mem {α : Type u} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (j : α) :

Equations
theorem set.piecewise_insert {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] [decidable_eq α] (j : α) [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g = function.update (s.piecewise f g) j (f j)

@[simp]
theorem set.piecewise_eq_of_mem {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i : α} :
i ss.piecewise f g i = f i

@[simp]
theorem set.piecewise_eq_of_not_mem {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i : α} :
i ss.piecewise f g i = g i

theorem set.piecewise_eq_on {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :
set.eq_on (s.piecewise f g) f s

theorem set.piecewise_eq_on_compl {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :

@[simp]
theorem set.piecewise_insert_of_ne {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i j : α} (h : i j) [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g i = s.piecewise f g i

@[simp]
theorem set.piecewise_compl {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] [Π (i : α), decidable (i s)] :

@[simp]
theorem set.piecewise_range_comp {α : Type u} {β : Type v} {ι : Sort u_1} (f : ι → α) [Π (j : α), decidable (j set.range f)] (g₁ g₂ : α → β) :
(set.range f).piecewise g₁ g₂ f = g₁ f

theorem set.piecewise_preimage {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) (t : set β) :
s.piecewise f g ⁻¹' t = s f ⁻¹' t s g ⁻¹' t

theorem set.comp_piecewise {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (h : β → γ) {f g : α → β} {x : α} :
h (s.piecewise f g x) = s.piecewise (h f) (h g) x

@[simp]
theorem set.piecewise_same {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] :
s.piecewise f f = f

theorem set.range_piecewise {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :
set.range (s.piecewise f g) = f '' s g '' s

theorem strict_mono_incr_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} [linear_order α] [preorder β] {f : α → β} {s : set α} :

theorem strict_mono_decr_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} [linear_order α] [preorder β] {f : α → β} {s : set α} :

theorem function.injective.comp_inj_on {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {f : α → β} {g : β → γ} {s : set α} :

theorem function.surjective.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (hf : function.surjective f) (s : set β) :

theorem function.semiconj.maps_to_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} :
function.semiconj f fa fbset.maps_to fa s tset.maps_to fb (f '' s) (f '' t)

theorem function.semiconj.maps_to_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} :

theorem function.semiconj.surj_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} :
function.semiconj f fa fbset.surj_on fa s tset.surj_on fb (f '' s) (f '' t)

theorem function.semiconj.surj_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} :

theorem function.semiconj.inj_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s : set α} :
function.semiconj f fa fbset.inj_on fa sset.inj_on f (fa '' s)set.inj_on fb (f '' s)

theorem function.semiconj.inj_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} :

theorem function.semiconj.bij_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} :
function.semiconj f fa fbset.bij_on fa s tset.inj_on f tset.bij_on fb (f '' s) (f '' t)

theorem function.semiconj.bij_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} :

theorem function.semiconj.maps_to_preimage {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) {s t : set β} :
set.maps_to fb s tset.maps_to fa (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)

theorem function.semiconj.inj_on_preimage {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) {s : set β} :
set.inj_on fb sset.inj_on f (f ⁻¹' s)set.inj_on fa (f ⁻¹' s)

theorem function.update_comp_eq_of_not_mem_range {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [decidable_eq β] (g : β → γ) {f : α → β} {i : β} (a : γ) :
i set.range ffunction.update g i a f = g f

theorem function.update_comp_eq_of_injective {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [decidable_eq α] [decidable_eq β] (g : β → γ) {f : α → β} (hf : function.injective f) (i : α) (a : γ) :
function.update g (f i) a f = function.update (g f) i a