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data.set.function

Functions over sets #

Main definitions #

Predicate #

Functions #

Restrict #

def set.restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
s → β

Restrict domain of a function f to a set s. Same as subtype.restrict but this version takes an argument ↥s instead of subtype s.

Equations
theorem set.restrict_eq {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
@[simp]
theorem set.restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (x : s) :
set.restrict f s x = f x
@[simp]
theorem set.range_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
theorem set.image_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s t : set α) :
set.restrict f s '' (coe ⁻¹' t) = f '' (t s)
def set.cod_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set β) (h : ∀ (x : α), f x s) :
α → s

Restrict codomain of a function f to a set s. Same as subtype.coind but this version has codomain ↥s instead of subtype s.

Equations
@[simp]
theorem set.coe_cod_restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set β) (h : ∀ (x : α), f x s) (x : α) :
(set.cod_restrict f s h x) = f x

Equality on a set #

def set.eq_on {α : Type u} {β : Type v} (f₁ f₂ : α → β) (s : set α) :
Prop

Two functions f₁ f₂ : α → β are equal on s if f₁ x = f₂ x for all x ∈ a.

Equations
  • set.eq_on f₁ f₂ s = ∀ ⦃x : α⦄, x sf₁ x = f₂ x
@[simp]
theorem set.eq_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f₁ f₂ : α → β) :
set.eq_on f₁ f₂
theorem set.eq_on.symm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} (h : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.eq_on f₂ f₁ s
theorem set.eq_on_comm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} :
set.eq_on f₁ f₂ s set.eq_on f₂ f₁ s
theorem set.eq_on_refl {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
set.eq_on f f s
theorem set.eq_on.trans {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ f₃ : α → β} (h₁ : set.eq_on f₁ f₂ s) (h₂ : set.eq_on f₂ f₃ s) :
set.eq_on f₁ f₃ s
theorem set.eq_on.image_eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} (heq : set.eq_on f₁ f₂ s) :
f₁ '' s = f₂ '' s
theorem set.eq_on.inter_preimage_eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} (heq : set.eq_on f₁ f₂ s) (t : set β) :
s f₁ ⁻¹' t = s f₂ ⁻¹' t
theorem set.eq_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f₁ f₂ : α → β} (hs : s₁ s₂) (hf : set.eq_on f₁ f₂ s₂) :
set.eq_on f₁ f₂ s₁
theorem set.comp_eq_of_eq_on_range {α : Type u} {β : Type v} {ι : Sort u_1} {f : ι → α} {g₁ g₂ : α → β} (h : set.eq_on g₁ g₂ (set.range f)) :
g₁ f = g₂ f

maps to #

def set.maps_to {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (t : set β) :
Prop

maps_to f a b means that the image of a is contained in b.

Equations
def set.maps_to.restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (t : set β) (h : set.maps_to f s t) :
s → t

Given a map f sending s : set α into t : set β, restrict domain of f to s and the codomain to t. Same as subtype.map.

Equations
@[simp]
theorem set.maps_to.coe_restrict_apply {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) (x : s) :
theorem set.maps_to_iff_exists_map_subtype {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s t ∃ (g : s → t), ∀ (x : s), f x = (g x)
theorem set.maps_to' {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s t f '' s t
theorem set.maps_to_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (t : set β) :
theorem set.maps_to.image_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) :
f '' s t
theorem set.maps_to.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (h₁ : set.maps_to f₁ s t) (h : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.maps_to f₂ s t
theorem set.eq_on.maps_to_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (H : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.maps_to f₁ s t set.maps_to f₂ s t
theorem set.maps_to.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} (h₁ : set.maps_to g t p) (h₂ : set.maps_to f s t) :
set.maps_to (g f) s p
theorem set.maps_to_id {α : Type u} (s : set α) :
theorem set.maps_to.iterate {α : Type u} {f : α → α} {s : set α} (h : set.maps_to f s s) (n : ) :
theorem set.maps_to.iterate_restrict {α : Type u} {f : α → α} {s : set α} (h : set.maps_to f s s) (n : ) :
theorem set.maps_to.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (hs : s₂ s₁) (ht : t₁ t₂) (hf : set.maps_to f s₁ t₁) :
set.maps_to f s₂ t₂
theorem set.maps_to.union_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.maps_to f s₁ t₁) (h₂ : set.maps_to f s₂ t₂) :
set.maps_to f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
theorem set.maps_to.union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} (h₁ : set.maps_to f s₁ t) (h₂ : set.maps_to f s₂ t) :
set.maps_to f (s₁ s₂) t
@[simp]
theorem set.maps_to_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f (s₁ s₂) t set.maps_to f s₁ t set.maps_to f s₂ t
theorem set.maps_to.inter {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.maps_to f s t₁) (h₂ : set.maps_to f s t₂) :
set.maps_to f s (t₁ t₂)
theorem set.maps_to.inter_inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.maps_to f s₁ t₁) (h₂ : set.maps_to f s₂ t₂) :
set.maps_to f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
@[simp]
theorem set.maps_to_inter {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} :
set.maps_to f s (t₁ t₂) set.maps_to f s t₁ set.maps_to f s t₂
theorem set.maps_to_univ {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
theorem set.maps_to_image {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
set.maps_to f s (f '' s)
theorem set.maps_to_preimage {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (t : set β) :
theorem set.maps_to_range {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
@[simp]
theorem set.maps_image_to {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (g : γ → α) (s : set γ) (t : set β) :
set.maps_to f (g '' s) t set.maps_to (f g) s t
@[simp]
theorem set.maps_univ_to {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set β) :
set.maps_to f set.univ s ∀ (a : α), f a s
@[simp]
theorem set.maps_range_to {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (g : γ → α) (s : set β) :
theorem set.surjective_maps_to_image_restrict {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
theorem set.maps_to.mem_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) (hc : set.maps_to f s t) {x : α} :
f x t x s

Injectivity on a set #

def set.inj_on {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
Prop

f is injective on a if the restriction of f to a is injective.

Equations
  • set.inj_on f s = ∀ ⦃x₁ : α⦄, x₁ s∀ ⦃x₂ : α⦄, x₂ sf x₁ = f x₂x₁ = x₂
theorem set.inj_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :
theorem set.inj_on.eq_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {x y : α} (h : set.inj_on f s) (hx : x s) (hy : y s) :
f x = f y x = y
theorem set.inj_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} (h₁ : set.inj_on f₁ s) (h : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.inj_on f₂ s
theorem set.eq_on.inj_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} (H : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.inj_on f₁ s set.inj_on f₂ s
theorem set.inj_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f : α → β} (h : s₁ s₂) (ht : set.inj_on f s₂) :
set.inj_on f s₁
theorem set.inj_on_insert {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {s : set α} {a : α} (has : a s) :
set.inj_on f (insert a s) set.inj_on f s f a f '' s
theorem set.injective_iff_inj_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :
theorem set.inj_on_of_injective {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (h : function.injective f) (s : set α) :
theorem function.injective.inj_on {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (h : function.injective f) (s : set α) :

Alias of inj_on_of_injective.

theorem set.inj_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {g : β → γ} (hg : set.inj_on g t) (hf : set.inj_on f s) (h : set.maps_to f s t) :
set.inj_on (g f) s
theorem set.inj_on_iff_injective {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} :
theorem set.inj_on_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {B : set (set β)} (hB : B 𝒫set.range f) :
theorem set.inj_on.mem_of_mem_image {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {x : α} (hf : set.inj_on f s) (hs : s₁ s) (h : x s) (h₁ : f x f '' s₁) :
x s₁
theorem set.inj_on.mem_image_iff {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {x : α} (hf : set.inj_on f s) (hs : s₁ s) (hx : x s) :
f x f '' s₁ x s₁
theorem set.inj_on.preimage_image_inter {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} (hf : set.inj_on f s) (hs : s₁ s) :
f ⁻¹' (f '' s₁) s = s₁

Surjectivity on a set #

def set.surj_on {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (t : set β) :
Prop

f is surjective from a to b if b is contained in the image of a.

Equations
theorem set.surj_on.subset_range {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.surj_on f s t) :
theorem set.surj_on_iff_exists_map_subtype {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s t ∃ (t' : set β) (g : s → t'), t t' function.surjective g ∀ (x : s), f x = (g x)
theorem set.surj_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
theorem set.surj_on_image {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) :
set.surj_on f s (f '' s)
theorem set.surj_on.comap_nonempty {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.surj_on f s t) (ht : t.nonempty) :
theorem set.surj_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (h : set.surj_on f₁ s t) (H : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.surj_on f₂ s t
theorem set.eq_on.surj_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (h : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.surj_on f₁ s t set.surj_on f₂ s t
theorem set.surj_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (hs : s₁ s₂) (ht : t₁ t₂) (hf : set.surj_on f s₁ t₂) :
set.surj_on f s₂ t₁
theorem set.surj_on.union {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.surj_on f s t₁) (h₂ : set.surj_on f s t₂) :
set.surj_on f s (t₁ t₂)
theorem set.surj_on.union_union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.surj_on f s₁ t₁) (h₂ : set.surj_on f s₂ t₂) :
set.surj_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
theorem set.surj_on.inter_inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.surj_on f s₁ t₁) (h₂ : set.surj_on f s₂ t₂) (h : set.inj_on f (s₁ s₂)) :
set.surj_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
theorem set.surj_on.inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t : set β} {f : α → β} (h₁ : set.surj_on f s₁ t) (h₂ : set.surj_on f s₂ t) (h : set.inj_on f (s₁ s₂)) :
set.surj_on f (s₁ s₂) t
theorem set.surj_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} (hg : set.surj_on g t p) (hf : set.surj_on f s t) :
set.surj_on (g f) s p
theorem set.surjective_iff_surj_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :
theorem set.surj_on_iff_surjective {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} :
theorem set.surj_on.image_eq_of_maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h₁ : set.surj_on f s t) (h₂ : set.maps_to f s t) :
f '' s = t
theorem set.surj_on.maps_to_compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.surj_on f s t) (h' : function.injective f) :
theorem set.maps_to.surj_on_compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.maps_to f s t) (h' : function.surjective f) :

Bijectivity #

def set.bij_on {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : set α) (t : set β) :
Prop

f is bijective from s to t if f is injective on s and f '' s = t.

Equations
theorem set.bij_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.bij_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.bij_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.bij_on.mk {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h₁ : set.maps_to f s t) (h₂ : set.inj_on f s) (h₃ : set.surj_on f s t) :
theorem set.bij_on_empty {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :
theorem set.bij_on.inter {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.bij_on f s₁ t₁) (h₂ : set.bij_on f s₂ t₂) (h : set.inj_on f (s₁ s₂)) :
set.bij_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
theorem set.bij_on.union {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {t₁ t₂ : set β} {f : α → β} (h₁ : set.bij_on f s₁ t₁) (h₂ : set.bij_on f s₂ t₂) (h : set.inj_on f (s₁ s₂)) :
set.bij_on f (s₁ s₂) (t₁ t₂)
theorem set.bij_on.subset_range {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.inj_on.bij_on_image {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} (h : set.inj_on f s) :
set.bij_on f s (f '' s)
theorem set.bij_on.congr {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (h₁ : set.bij_on f₁ s t) (h : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.bij_on f₂ s t
theorem set.eq_on.bij_on_iff {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} (H : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.bij_on f₁ s t set.bij_on f₂ s t
theorem set.bij_on.image_eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
f '' s = t
theorem set.bij_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} (hg : set.bij_on g t p) (hf : set.bij_on f s t) :
set.bij_on (g f) s p
theorem set.bij_on.bijective {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.bijective_iff_bij_on_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} :
theorem set.bij_on.compl {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} (hst : set.bij_on f s t) (hf : function.bijective f) :

left inverse #

def set.left_inv_on {α : Type u} {β : Type v} (f' : β → α) (f : α → β) (s : set α) :
Prop

g is a left inverse to f on a means that g (f x) = x for all x ∈ a.

Equations
theorem set.left_inv_on.eq_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) :
set.eq_on (f' f) id s
theorem set.left_inv_on.eq {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) {x : α} (hx : x s) :
f' (f x) = x
theorem set.left_inv_on.congr_left {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} (h₁ : set.left_inv_on f₁' f s) {t : set β} (h₁' : set.maps_to f s t) (heq : set.eq_on f₁' f₂' t) :
set.left_inv_on f₂' f s
theorem set.left_inv_on.congr_right {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f₁ f₂ : α → β} {f₁' : β → α} (h₁ : set.left_inv_on f₁' f₁ s) (heq : set.eq_on f₁ f₂ s) :
set.left_inv_on f₁' f₂ s
theorem set.left_inv_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f₁' : β → α} (h : set.left_inv_on f₁' f s) :
theorem set.left_inv_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) (hf : set.maps_to f s t) :
theorem set.left_inv_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) (hf : set.surj_on f s t) :
theorem set.left_inv_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {g : β → γ} {f' : β → α} {g' : γ → β} (hf' : set.left_inv_on f' f s) (hg' : set.left_inv_on g' g t) (hf : set.maps_to f s t) :
set.left_inv_on (f' g') (g f) s
theorem set.left_inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.left_inv_on f' f s) (ht : s₁ s) :
set.left_inv_on f' f s₁
theorem set.left_inv_on.image_inter' {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.left_inv_on f' f s) :
f '' (s₁ s) = f' ⁻¹' s₁ f '' s
theorem set.left_inv_on.image_inter {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.left_inv_on f' f s) :
f '' (s₁ s) = f' ⁻¹' (s₁ s) f '' s
theorem set.left_inv_on.image_image {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.left_inv_on f' f s) :
f' '' (f '' s) = s
theorem set.left_inv_on.image_image' {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.left_inv_on f' f s) (hs : s₁ s) :
f' '' (f '' s₁) = s₁

Right inverse #

def set.right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} (f' : β → α) (f : α → β) (t : set β) :
Prop

g is a right inverse to f on b if f (g x) = x for all x ∈ b.

Equations
theorem set.right_inv_on.eq_on {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.right_inv_on f' f t) :
set.eq_on (f f') id t
theorem set.right_inv_on.eq {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.right_inv_on f' f t) {y : β} (hy : y t) :
f (f' y) = y
theorem set.left_inv_on.right_inv_on_image {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.left_inv_on f' f s) :
set.right_inv_on f' f (f '' s)
theorem set.right_inv_on.congr_left {α : Type u} {β : Type v} {t : set β} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} (h₁ : set.right_inv_on f₁' f t) (heq : set.eq_on f₁' f₂' t) :
theorem set.right_inv_on.congr_right {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f₁ f₂ : α → β} {f' : β → α} (h₁ : set.right_inv_on f' f₁ t) (hg : set.maps_to f' t s) (heq : set.eq_on f₁ f₂ s) :
theorem set.right_inv_on.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.right_inv_on f' f t) (hf' : set.maps_to f' t s) :
theorem set.right_inv_on.maps_to {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.right_inv_on f' f t) (hf : set.surj_on f' t s) :
theorem set.right_inv_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {t : set β} {p : set γ} {f : α → β} {g : β → γ} {f' : β → α} {g' : γ → β} (hf : set.right_inv_on f' f t) (hg : set.right_inv_on g' g p) (g'pt : set.maps_to g' p t) :
set.right_inv_on (f' g') (g f) p
theorem set.right_inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {t t₁ : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.right_inv_on f' f t) (ht : t₁ t) :
theorem set.inj_on.right_inv_on_of_left_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.inj_on f s) (hf' : set.left_inv_on f f' t) (h₁ : set.maps_to f s t) (h₂ : set.maps_to f' t s) :
theorem set.eq_on_of_left_inv_on_of_right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f₁' f₂' : β → α} (h₁ : set.left_inv_on f₁' f s) (h₂ : set.right_inv_on f₂' f t) (h : set.maps_to f₂' t s) :
set.eq_on f₁' f₂' t
theorem set.surj_on.left_inv_on_of_right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (hf : set.surj_on f s t) (hf' : set.right_inv_on f f' s) :

Two-side inverses #

def set.inv_on {α : Type u} {β : Type v} (g : β → α) (f : α → β) (s : set α) (t : set β) :
Prop

g is an inverse to f viewed as a map from a to b

Equations
theorem set.inv_on.symm {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.inv_on f' f s t) :
set.inv_on f f' t s
theorem set.inv_on.mono {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ : set α} {t t₁ : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.inv_on f' f s t) (hs : s₁ s) (ht : t₁ t) :
set.inv_on f' f s₁ t₁
theorem set.inv_on.bij_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} {f' : β → α} (h : set.inv_on f' f s t) (hf : set.maps_to f s t) (hf' : set.maps_to f' t s) :

If functions f' and f are inverse on s and t, f maps s into t, and f' maps t into s, then f is a bijection between s and t. The maps_to arguments can be deduced from surj_on statements using left_inv_on.maps_to and right_inv_on.maps_to.

inv_fun_on is a left/right inverse #

theorem set.inj_on.left_inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.inj_on f s) :
theorem set.inj_on.inv_fun_on_image {α : Type u} {β : Type v} {s₁ s₂ : set α} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.inj_on f s₂) (ht : s₁ s₂) :
function.inv_fun_on f s₂ '' (f '' s₁) = s₁
theorem set.surj_on.right_inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.surj_on f s t) :
theorem set.bij_on.inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.bij_on f s t) :
theorem set.surj_on.inv_on_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.surj_on f s t) :
theorem set.surj_on.maps_to_inv_fun_on {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.surj_on f s t) :
theorem set.surj_on.bij_on_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} [nonempty α] (h : set.surj_on f s t) :
theorem set.surj_on_iff_exists_bij_on_subset {α : Type u} {β : Type v} {s : set α} {t : set β} {f : α → β} :
set.surj_on f s t ∃ (s' : set α) (H : s' s), set.bij_on f s' t
theorem set.preimage_inv_fun_of_mem {α : Type u} {β : Type v} [n : nonempty α] {f : α → β} (hf : function.injective f) {s : set α} (h : classical.choice n s) :
theorem set.preimage_inv_fun_of_not_mem {α : Type u} {β : Type v} [n : nonempty α] {f : α → β} (hf : function.injective f) {s : set α} (h : classical.choice n s) :

Piecewise defined function #

@[simp]
theorem set.piecewise_empty {α : Type u} {δ : α → Sort y} (f g : Π (i : α), δ i) [Π (i : α), decidable (i )] :
@[simp]
theorem set.piecewise_univ {α : Type u} {δ : α → Sort y} (f g : Π (i : α), δ i) [Π (i : α), decidable (i set.univ)] :
@[simp]
theorem set.piecewise_insert_self {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) {j : α} [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g j = f j
@[instance]
def set.compl.decidable_mem {α : Type u} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (j : α) :
Equations
theorem set.piecewise_insert {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] [decidable_eq α] (j : α) [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g = function.update (s.piecewise f g) j (f j)
@[simp]
theorem set.piecewise_eq_of_mem {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i : α} (hi : i s) :
s.piecewise f g i = f i
@[simp]
theorem set.piecewise_eq_of_not_mem {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i : α} (hi : i s) :
s.piecewise f g i = g i
theorem set.piecewise_singleton {α : Type u} {β : Type v} (x : α) [Π (y : α), decidable (y {x})] [decidable_eq α] (f g : α → β) :
{x}.piecewise f g = function.update g x (f x)
theorem set.piecewise_eq_on {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :
set.eq_on (s.piecewise f g) f s
theorem set.piecewise_eq_on_compl {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :
theorem set.piecewise_le {α : Type u} {δ : α → Type u_1} [Π (i : α), preorder (δ i)] {s : set α} [Π (j : α), decidable (j s)] {f₁ f₂ g : Π (i : α), δ i} (h₁ : ∀ (i : α), i sf₁ i g i) (h₂ : ∀ (i : α), i sf₂ i g i) :
s.piecewise f₁ f₂ g
theorem set.le_piecewise {α : Type u} {δ : α → Type u_1} [Π (i : α), preorder (δ i)] {s : set α} [Π (j : α), decidable (j s)] {f₁ f₂ g : Π (i : α), δ i} (h₁ : ∀ (i : α), i sg i f₁ i) (h₂ : ∀ (i : α), i sg i f₂ i) :
g s.piecewise f₁ f₂
theorem set.piecewise_le_piecewise {α : Type u} {δ : α → Type u_1} [Π (i : α), preorder (δ i)] {s : set α} [Π (j : α), decidable (j s)] {f₁ f₂ g₁ g₂ : Π (i : α), δ i} (h₁ : ∀ (i : α), i sf₁ i g₁ i) (h₂ : ∀ (i : α), i sf₂ i g₂ i) :
s.piecewise f₁ f₂ s.piecewise g₁ g₂
@[simp]
theorem set.piecewise_insert_of_ne {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {i j : α} (h : i j) [Π (i : α), decidable (i insert j s)] :
(insert j s).piecewise f g i = s.piecewise f g i
@[simp]
theorem set.piecewise_compl {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] [Π (i : α), decidable (i s)] :
@[simp]
theorem set.piecewise_range_comp {α : Type u} {β : Type v} {ι : Sort u_1} (f : ι → α) [Π (j : α), decidable (j set.range f)] (g₁ g₂ : α → β) :
(set.range f).piecewise g₁ g₂ f = g₁ f
theorem set.maps_to.piecewise_ite {α : Type u} {β : Type v} {s s₁ s₂ : set α} {t t₁ t₂ : set β} {f₁ f₂ : α → β} [Π (i : α), decidable (i s)] (h₁ : set.maps_to f₁ (s₁ s) (t₁ t)) (h₂ : set.maps_to f₂ (s₂ s) (t₂ t)) :
set.maps_to (s.piecewise f₁ f₂) (s.ite s₁ s₂) (t.ite t₁ t₂)
theorem set.eq_on_piecewise {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] {f f' g : α → β} {t : set α} :
set.eq_on (s.piecewise f f') g t set.eq_on f g (t s) set.eq_on f' g (t s)
theorem set.eq_on.piecewise_ite' {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] {f f' g : α → β} {t t' : set α} (h : set.eq_on f g (t s)) (h' : set.eq_on f' g (t' s)) :
set.eq_on (s.piecewise f f') g (s.ite t t')
theorem set.eq_on.piecewise_ite {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] {f f' g : α → β} {t t' : set α} (h : set.eq_on f g t) (h' : set.eq_on f' g t') :
set.eq_on (s.piecewise f f') g (s.ite t t')
theorem set.piecewise_preimage {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) (t : set β) :
s.piecewise f g ⁻¹' t = s.ite (f ⁻¹' t) (g ⁻¹' t)
theorem set.apply_piecewise {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {δ' : α → Sort u_1} (h : Π (i : α), δ iδ' i) {x : α} :
h x (s.piecewise f g x) = s.piecewise (λ (x : α), h x (f x)) (λ (x : α), h x (g x)) x
theorem set.apply_piecewise₂ {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {δ' : α → Sort u_1} {δ'' : α → Sort u_2} (f' g' : Π (i : α), δ' i) (h : Π (i : α), δ iδ' iδ'' i) {x : α} :
h x (s.piecewise f g x) (s.piecewise f' g' x) = s.piecewise (λ (x : α), h x (f x) (f' x)) (λ (x : α), h x (g x) (g' x)) x
theorem set.piecewise_op {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {δ' : α → Sort u_1} (h : Π (i : α), δ iδ' i) :
s.piecewise (λ (x : α), h x (f x)) (λ (x : α), h x (g x)) = λ (x : α), h x (s.piecewise f g x)
theorem set.piecewise_op₂ {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f g : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] {δ' : α → Sort u_1} {δ'' : α → Sort u_2} (f' g' : Π (i : α), δ' i) (h : Π (i : α), δ iδ' iδ'' i) :
s.piecewise (λ (x : α), h x (f x) (f' x)) (λ (x : α), h x (g x) (g' x)) = λ (x : α), h x (s.piecewise f g x) (s.piecewise f' g' x)
@[simp]
theorem set.piecewise_same {α : Type u} {δ : α → Sort y} (s : set α) (f : Π (i : α), δ i) [Π (j : α), decidable (j s)] :
s.piecewise f f = f
theorem set.range_piecewise {α : Type u} {β : Type v} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] (f g : α → β) :
set.range (s.piecewise f g) = f '' s g '' s
theorem set.piecewise_mem_pi {α : Type u} (s : set α) [Π (j : α), decidable (j s)] {δ : α → Type u_1} {t : set α} {t' : Π (i : α), set (δ i)} {f g : Π (i : α), δ i} (hf : f t.pi t') (hg : g t.pi t') :
s.piecewise f g t.pi t'
@[simp]
theorem set.pi_piecewise {ι : Type u_1} {α : ι → Type u_2} (s s' : set ι) (t t' : Π (i : ι), set (α i)) [Π (x : ι), decidable (x s')] :
s.pi (s'.piecewise t t') = (s s').pi t (s \ s').pi t'
theorem set.univ_pi_piecewise {ι : Type u_1} {α : ι → Type u_2} (s : set ι) (t : Π (i : ι), set (α i)) [Π (x : ι), decidable (x s)] :
set.univ.pi (s.piecewise t (λ (_x : ι), set.univ)) = s.pi t
theorem strict_mono_incr_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} [linear_order α] [preorder β] {f : α → β} {s : set α} (H : strict_mono_incr_on f s) :
theorem strict_mono_decr_on.inj_on {α : Type u} {β : Type v} [linear_order α] [preorder β] {f : α → β} {s : set α} (H : strict_mono_decr_on f s) :
theorem strict_mono_incr_on.comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [preorder α] [preorder β] [preorder γ] {g : β → γ} {f : α → β} {s : set α} {t : set β} (hg : strict_mono_incr_on g t) (hf : strict_mono_incr_on f s) (hs : set.maps_to f s t) :
theorem strict_mono.comp_strict_mono_incr_on {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [preorder α] [preorder β] [preorder γ] {g : β → γ} {f : α → β} {s : set α} (hg : strict_mono g) (hf : strict_mono_incr_on f s) :
theorem strict_mono.cod_restrict {α : Type u} {β : Type v} [preorder α] [preorder β] {f : α → β} (hf : strict_mono f) {s : set β} (hs : ∀ (x : α), f x s) :
theorem function.injective.comp_inj_on {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {f : α → β} {g : β → γ} {s : set α} (hg : function.injective g) (hf : set.inj_on f s) :
set.inj_on (g f) s
theorem function.surjective.surj_on {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (hf : function.surjective f) (s : set β) :
theorem function.left_inverse.left_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {g : β → α} (h : function.left_inverse f g) (s : set β) :
theorem function.right_inverse.right_inv_on {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {g : β → α} (h : function.right_inverse f g) (s : set α) :
theorem function.left_inverse.right_inv_on_range {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {g : β → α} (h : function.left_inverse f g) :
theorem function.semiconj.maps_to_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : set.maps_to fa s t) :
set.maps_to fb (f '' s) (f '' t)
theorem function.semiconj.maps_to_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) :
theorem function.semiconj.surj_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : set.surj_on fa s t) :
set.surj_on fb (f '' s) (f '' t)
theorem function.semiconj.surj_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : function.surjective fa) :
theorem function.semiconj.inj_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s : set α} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : set.inj_on fa s) (hf : set.inj_on f (fa '' s)) :
set.inj_on fb (f '' s)
theorem function.semiconj.inj_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : function.injective fa) (hf : set.inj_on f (set.range fa)) :
theorem function.semiconj.bij_on_image {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} {s t : set α} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : set.bij_on fa s t) (hf : set.inj_on f t) :
set.bij_on fb (f '' s) (f '' t)
theorem function.semiconj.bij_on_range {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) (ha : function.bijective fa) (hf : function.injective f) :
theorem function.semiconj.maps_to_preimage {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) {s t : set β} (hb : set.maps_to fb s t) :
set.maps_to fa (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
theorem function.semiconj.inj_on_preimage {α : Type u} {β : Type v} {fa : α → α} {fb : β → β} {f : α → β} (h : function.semiconj f fa fb) {s : set β} (hb : set.inj_on fb s) (hf : set.inj_on f (f ⁻¹' s)) :
theorem function.update_comp_eq_of_not_mem_range' {α : Sort u_1} {β : Type u_2} {γ : β → Sort u_3} [decidable_eq β] (g : Π (b : β), γ b) {f : α → β} {i : β} (a : γ i) (h : i set.range f) :
(λ (j : α), function.update g i a (f j)) = λ (j : α), g (f j)
theorem function.update_comp_eq_of_not_mem_range {α : Sort u_1} {β : Type u_2} {γ : Sort u_3} [decidable_eq β] (g : β → γ) {f : α → β} {i : β} (a : γ) (h : i set.range f) :
function.update g i a f = g f

Non-dependent version of function.update_comp_eq_of_not_mem_range'