data.nat.prime

# Prime numbers #

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This file deals with prime numbers: natural numbers p ≥ 2 whose only divisors are p and 1.

## Important declarations #

• nat.prime: the predicate that expresses that a natural number p is prime
• nat.primes: the subtype of natural numbers that are prime
• nat.min_fac n: the minimal prime factor of a natural number n ≠ 1
• nat.exists_infinite_primes: Euclid's theorem that there exist infinitely many prime numbers. This also appears as nat.not_bdd_above_set_of_prime and nat.infinite_set_of_prime (the latter in data.nat.prime_fin).
• nat.prime_iff: nat.prime coincides with the general definition of prime
• nat.irreducible_iff_prime: a non-unit natural number is only divisible by 1 iff it is prime
def nat.prime (p : ) :
Prop

nat.prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1.

Equations
Instances for nat.prime
theorem nat.prime.ne_zero {n : } (h : nat.prime n) :
n 0
theorem nat.prime.pos {p : } (pp : nat.prime p) :
0 < p
theorem nat.prime.two_le {p : } :
2 p
theorem nat.prime.one_lt {p : } :
1 < p
@[protected, instance]
def nat.prime.one_lt' (p : ) [hp : fact (nat.prime p)] :
fact (1 < p)
theorem nat.prime.ne_one {p : } (hp : nat.prime p) :
p 1
theorem nat.prime.eq_one_or_self_of_dvd {p : } (pp : nat.prime p) (m : ) (hm : m p) :
m = 1 m = p
theorem nat.prime_def_lt'' {p : } :
2 p (m : ), m p m = 1 m = p
theorem nat.prime_def_lt {p : } :
2 p (m : ), m < p m p m = 1
theorem nat.prime_def_lt' {p : } :
2 p (m : ), 2 m m < p ¬m p
theorem nat.prime_def_le_sqrt {p : } :
2 p (m : ), 2 m m ¬m p
theorem nat.prime_of_coprime (n : ) (h1 : 1 < n) (h : (m : ), m < n m 0 n.coprime m) :
def nat.decidable_prime_1 (p : ) :

This instance is slower than the instance decidable_prime defined below, but has the advantage that it works in the kernel for small values.

If you need to prove that a particular number is prime, in any case you should not use dec_trivial, but rather by norm_num, which is much faster.

Equations
theorem nat.prime_two  :
theorem nat.prime_three  :
theorem nat.prime.five_le_of_ne_two_of_ne_three {p : } (hp : nat.prime p) (h_two : p 2) (h_three : p 3) :
5 p
theorem nat.prime.pred_pos {p : } (pp : nat.prime p) :
0 < p.pred
theorem nat.succ_pred_prime {p : } (pp : nat.prime p) :
p.pred.succ = p
theorem nat.dvd_prime {p m : } (pp : nat.prime p) :
m p m = 1 m = p
theorem nat.dvd_prime_two_le {p m : } (pp : nat.prime p) (H : 2 m) :
m p m = p
theorem nat.prime_dvd_prime_iff_eq {p q : } (pp : nat.prime p) (qp : nat.prime q) :
p q p = q
theorem nat.prime.not_dvd_one {p : } (pp : nat.prime p) :
¬p 1
theorem nat.not_prime_mul {a b : } (a1 : 1 < a) (b1 : 1 < b) :
theorem nat.not_prime_mul' {a b n : } (h : a * b = n) (h₁ : 1 < a) (h₂ : 1 < b) :
theorem nat.prime_mul_iff {a b : } :
nat.prime (a * b) b = 1 a = 1
theorem nat.prime.dvd_iff_eq {p a : } (hp : nat.prime p) (a1 : a 1) :
a p p = a
theorem nat.min_fac_lemma (n k : ) (h : ¬n < k * k) :
- k < + 2 - k
def nat.min_fac_aux (n : ) :

If n < k * k, then min_fac_aux n k = n, if k | n, then min_fac_aux n k = k. Otherwise, min_fac_aux n k = min_fac_aux n (k+2) using well-founded recursion. If n is odd and 1 < n, then then min_fac_aux n 3 is the smallest prime factor of n.

Equations
def nat.min_fac  :

Returns the smallest prime factor of n ≠ 1.

Equations
@[simp]
theorem nat.min_fac_zero  :
@[simp]
theorem nat.min_fac_one  :
theorem nat.min_fac_eq (n : ) :
n.min_fac = ite (2 n) 2 (n.min_fac_aux 3)
theorem nat.min_fac_aux_has_prop {n : } (n2 : 2 n) (k i : ) :
k = 2 * i + 3 ( (m : ), 2 m m n k m) min_fac_prop n (n.min_fac_aux k)
theorem nat.min_fac_has_prop {n : } (n1 : n 1) :
min_fac_prop n n.min_fac
theorem nat.min_fac_dvd (n : ) :
theorem nat.min_fac_prime {n : } (n1 : n 1) :
theorem nat.min_fac_le_of_dvd {n m : } :
2 m m n n.min_fac m
theorem nat.min_fac_pos (n : ) :
theorem nat.min_fac_le {n : } (H : 0 < n) :
theorem nat.le_min_fac {m n : } :
n = 1 m n.min_fac (p : ), p n m p
theorem nat.le_min_fac' {m n : } :
n = 1 m n.min_fac (p : ), 2 p p n m p
theorem nat.prime_def_min_fac {p : } :
2 p p.min_fac = p
@[simp]
theorem nat.prime.min_fac_eq {p : } (hp : nat.prime p) :
@[protected, instance]
def nat.decidable_prime (p : ) :

This instance is faster in the virtual machine than decidable_prime_1, but slower in the kernel.

If you need to prove that a particular number is prime, in any case you should not use dec_trivial, but rather by norm_num, which is much faster.

Equations
theorem nat.not_prime_iff_min_fac_lt {n : } (n2 : 2 n) :
theorem nat.min_fac_le_div {n : } (pos : 0 < n) (np : ¬) :
theorem nat.min_fac_sq_le_self {n : } (w : 0 < n) (h : ¬) :
n.min_fac ^ 2 n

The square of the smallest prime factor of a composite number n is at most n.

@[simp]
theorem nat.min_fac_eq_one_iff {n : } :
n.min_fac = 1 n = 1
@[simp]
theorem nat.min_fac_eq_two_iff (n : ) :
n.min_fac = 2 2 n
theorem nat.exists_dvd_of_not_prime {n : } (n2 : 2 n) (np : ¬) :
(m : ), m n m 1 m n
theorem nat.exists_dvd_of_not_prime2 {n : } (n2 : 2 n) (np : ¬) :
(m : ), m n 2 m m < n
theorem nat.exists_prime_and_dvd {n : } (hn : n 1) :
(p : ), p n
theorem nat.dvd_of_forall_prime_mul_dvd {a b : } (hdvd : (p : ), p a p * a b) :
a b
theorem nat.exists_infinite_primes (n : ) :
(p : ), n p

Euclid's theorem on the infinitude of primes. Here given in the form: for every n, there exists a prime number p ≥ n.

A version of nat.exists_infinite_primes using the bdd_above predicate.

theorem nat.prime.eq_two_or_odd {p : } (hp : nat.prime p) :
p = 2 p % 2 = 1
theorem nat.prime.eq_two_or_odd' {p : } (hp : nat.prime p) :
p = 2 odd p
theorem nat.prime.even_iff {p : } (hp : nat.prime p) :
even p p = 2
theorem nat.prime.odd_of_ne_two {p : } (hp : nat.prime p) (h_two : p 2) :
odd p
theorem nat.prime.even_sub_one {p : } (hp : nat.prime p) (h2 : p 2) :
even (p - 1)
theorem nat.prime.mod_two_eq_one_iff_ne_two {p : } [fact (nat.prime p)] :
p % 2 = 1 p 2

A prime p satisfies p % 2 = 1 if and only if p ≠ 2.

theorem nat.coprime_of_dvd {m n : } (H : (k : ), k m ¬k n) :
theorem nat.coprime_of_dvd' {m n : } (H : (k : ), k m k n k 1) :
theorem nat.factors_lemma {k : } :
(k + 2) / (k + 2).min_fac < k + 2
theorem nat.prime.coprime_iff_not_dvd {p n : } (pp : nat.prime p) :
p.coprime n ¬p n
theorem nat.prime.dvd_iff_not_coprime {p n : } (pp : nat.prime p) :
p n ¬p.coprime n
theorem nat.prime.not_coprime_iff_dvd {m n : } :
¬m.coprime n (p : ), p m p n
theorem nat.prime.dvd_mul {p m n : } (pp : nat.prime p) :
p m * n p m p n
theorem nat.prime.not_dvd_mul {p m n : } (pp : nat.prime p) (Hm : ¬p m) (Hn : ¬p n) :
¬p m * n
theorem nat.prime_iff {p : } :
theorem prime.nat_prime {p : } :

Alias of the reverse direction of nat.prime_iff.

@[protected, nolint]
theorem nat.prime.prime {p : } :

Alias of the forward direction of nat.prime_iff.

theorem nat.prime.dvd_of_dvd_pow {p m n : } (pp : nat.prime p) (h : p m ^ n) :
p m
theorem nat.prime.pow_not_prime {x n : } (hn : 2 n) :
theorem nat.prime.pow_not_prime' {x n : } :
n 1 ¬nat.prime (x ^ n)
theorem nat.prime.eq_one_of_pow {x n : } (h : nat.prime (x ^ n)) :
n = 1
theorem nat.prime.pow_eq_iff {p a k : } (hp : nat.prime p) :
a ^ k = p a = p k = 1
theorem nat.pow_min_fac {n k : } (hk : k 0) :
(n ^ k).min_fac = n.min_fac
theorem nat.prime.pow_min_fac {p k : } (hp : nat.prime p) (hk : k 0) :
(p ^ k).min_fac = p
theorem nat.prime.mul_eq_prime_sq_iff {x y p : } (hp : nat.prime p) (hx : x 1) (hy : y 1) :
x * y = p ^ 2 x = p y = p
theorem nat.prime.dvd_factorial {n p : } (hp : nat.prime p) :
theorem nat.prime.coprime_pow_of_not_dvd {p m a : } (pp : nat.prime p) (h : ¬p a) :
a.coprime (p ^ m)
theorem nat.coprime_primes {p q : } (pp : nat.prime p) (pq : nat.prime q) :
p.coprime q p q
theorem nat.coprime_pow_primes {p q : } (n m : ) (pp : nat.prime p) (pq : nat.prime q) (h : p q) :
(p ^ n).coprime (q ^ m)
theorem nat.coprime_or_dvd_of_prime {p : } (pp : nat.prime p) (i : ) :
p.coprime i p i
theorem nat.coprime_of_lt_prime {n p : } (n_pos : 0 < n) (hlt : n < p) (pp : nat.prime p) :
theorem nat.eq_or_coprime_of_le_prime {n p : } (n_pos : 0 < n) (hle : n p) (pp : nat.prime p) :
p = n p.coprime n
theorem nat.dvd_prime_pow {p : } (pp : nat.prime p) {m i : } :
i p ^ m (k : ) (H : k m), i = p ^ k
theorem nat.prime.dvd_mul_of_dvd_ne {p1 p2 n : } (h_neq : p1 p2) (pp1 : nat.prime p1) (pp2 : nat.prime p2) (h1 : p1 n) (h2 : p2 n) :
p1 * p2 n
theorem nat.eq_prime_pow_of_dvd_least_prime_pow {a p k : } (pp : nat.prime p) (h₁ : ¬a p ^ k) (h₂ : a p ^ (k + 1)) :
a = p ^ (k + 1)

If p is prime, and a doesn't divide p^k, but a does divide p^(k+1) then a = p^(k+1).

theorem nat.ne_one_iff_exists_prime_dvd {n : } :
n 1 (p : ), p n
theorem nat.eq_one_iff_not_exists_prime_dvd {n : } :
n = 1 (p : ), ¬p n
theorem nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul {p : } (p_prime : nat.prime p) {m n k l : } (hpm : p ^ k m) (hpn : p ^ l n) (hpmn : p ^ (k + l + 1) m * n) :
p ^ (k + 1) m p ^ (l + 1) n
def nat.primes  :

The type of prime numbers

Equations
Instances for nat.primes
@[protected, instance]
Equations
@[protected, instance]
Equations
@[protected, instance]
Equations
theorem nat.primes.coe_nat_inj (p q : nat.primes) :
p = q p = q
@[protected, instance]
def nat.monoid.prime_pow {α : Type u_1} [monoid α] :
Equations
@[protected, instance]
@[protected, instance]
theorem int.prime_two  :
theorem int.prime_three  :